Velocit media Abbiamo definito la velocit vettoriale media

Velocità media • Abbiamo definito la velocità vettoriale media G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Descrizione del moto attraverso la velocità media • • Supponiamo di far muovere tra t 1 e t 2 il punto materiale con la velocità media appena calcolata Valutiamo la sua posizione all’istante t=2 s. Posizione vera al tempo t=2 s Posizione al tempo t=2 s predetta con la velocità media Conclusione: La descrizione del moto mediante la velocità media è insoddisfacente Le predizioni sono corrette solo agli estremi t 1 e t 2. G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Determinazione della velocità media in intervalli di tempo sempre più piccoli • Riduciamo gli intervalli di tempo in cui calcolare la velocità media – si ottiene una descrizione del moto decisamente migliore • Riducendo sempre più gli intervalli di tempo in cui si calcola la velocità media si otterrà una descrizione sempre migliore! • Sarebbe opportuno ridurre a zero l’ampiezza degli intervalli di tempo in cui si calcola la velocità media, così la descrizione del moto sarà perfetta! • Ridurre a zero l’ampiezza degli intervalli di tempo equivale a calcolare la velocità del corpo ad ogni istante: la velocità istantanea G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

La velocità istantanea • Procediamo nel seguente modo: • Consideriamo l’istante t 1 in cui vogliamo calcolare la velocità • Consideriamo un intervallo di tempo Dt maggiore di zero. • Calcoliamo la velocità media in Dt • La velocità media corrisponderà al coefficiente angolare della retta passante per i punti 1 e 2 del grafico 2 x(t 1+Dt) x(t 1) 1 Dx Dt • Riduciamo ora l’intervallo di tempo Dt facendolo tendere a zero. • Si definisce velocità istantanea all’istante t 1 il seguente limite: t 1+Dt • Osserviamo che quando Dt tende a zero, il coefficiente angolare della retta che rappresenta la velocità media in Dt, tende a diventare quello della retta tangente al grafico all’istante t 1. G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

La velocità istantanea 2 • Riassumendo: • Abbiamo definito la velocità istantanea come all’istante di tempo t 1: • Nel grafico essa è rappresentata dal x(t 1) coefficiente angolare della retta tangente 1 al grafico all’istante t 1. • Il limite di: rapporto incrementale t 1 • corrisponde anche al valore della derivata rispetto al tempo della funzione x(t) all’istante t 1. G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Velocità istantanea ad ogni istante di tempo • Ripetendo l’operazione di limite per altri istanti di tempo, per esempio t 2 o t 3, possiamo conoscere la velocità istantanea (e quindi la derivata rispetto al tempo della funzione x(t)) a questi istanti di tempo. • Se ripetiamo l’operazione per tutti gli istanti di tempo dell’intervallo di osservazione del moto possiamo ricavare la velocità istantanea in funzione del tempo vx(t) • Questa funzione altro non è che la derivata rispetto al tempo della funzione x(t) Positiva --> x crescenti x(t 2) x(t 1) x(t 3) Negativa --> x decrescenti t 1 t 2 t 3 G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Velocità scalare istantanea e velocità vettoriale istantanea • Anche per la velocità scalare di può definire la velocità istantanea: xmassimo xfinale • Ma quando Dt tende a zero, avremo xiniziale • Si ottiene quindi la seguente relazione • La velocità scalare istantanea è uguale al valore assoluto, al modulo, della velocità vettoriale istantanea G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Grafico della velocità istantanea • Nel moto che stavamo studiando: – La pendenza del grafico orario non è costante – Questo implica che la velocità non è costante – Possiamo costruirci il grafico della velocità: la velocità decresce linearmente con il tempo. – La velocità è maggiore di zero fino a quando il corpo non raggiunge la sua posizione massima: si muove nella direzione positiva dell’asse x – Poi diventa negativa: si inverte il moto, il corpo si muove nella direzione negativa dell’asse x. – Quando x è massimo la velocità è nulla G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Accelerazione media e istantanea • Se la velocità di un corpo varia nel tempo, ci possiamo chiedere con che rapidità varia. • Si definisce l’accelerazione media nell’intervallo di tempo tra t 1 e t 2 il seguente rapporto: • Come abbiamo fatto per la velocità anche per l’accelerazione possiamo passare all’accelerazione istantanea: – L’accelerazione istantanea all’istante t 1 è data da: • Tenendo conto della definizione di derivata: G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Grafico dell’accelerazione istantanea • Ripetendo l’operazione di limite per tutti gli istanti di tempo, possiamo determinare la funzione accelerazione. • Questo equivale a determinare la derivata della funzione velocità. • Dato che noi conosciamo la velocità in funzione del tempo • possiamo utilizzare questa relazione per determinare l’accelerazione in funzione del tempo. • L’accelerazione è costante (negativa), come d’altra parte ci aspettavamo dal grafico della velocità. G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Il segno dell’accelerazione • Riguardando la definizione dell’accelerazione media (ma le stesse considerazioni valgono per l’accelerazione istantanea), si vede che: – axm maggiore di zero, diretta nella direzione positiva dell’asse x: • v finale è maggiore di quella iniziale (naturalmente bisogna tenere conto del segno della velocità) – Se la velocità è positiva il valore della velocità aumenta – Se la velocità è negativa il valore della velocità con il segno aumenta, il suo valore assoluto però diminuisce – axm minore di zero, diretta nella direzione negativa dell’asse x: • v finale è minore di quella iniziale (naturalmente bisogna tenere conto del segno della velocità) – Se la velocità è positiva il valore della velocità diminuisce – Se la velocità è negativa il valore della velocità con il segno diminuisce, e quindi il suo valore assoluto aumenta. • Possiamo concludere: – Se l’accelerazione ha lo stesso verso (segno) della velocità, il modulo della velocità aumenta. – se ha verso opposto il modulo della velocità diminuisce. G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Conclusioni • Conoscendo la legge oraria: x(t) la posizione in funzione del tempo • Possiamo calcolarci la velocità: vx(t) la velocità in funzione del tempo • E quindi l’accelerazione: ax(t) l’accelerazione in funzione del tempo • Combinando le due espressioni: L’accelerazione è la derivata seconda della funzione x(t) rispetto al tempo G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Le seguenti equazioni danno la posizione x(t) di una particella in quattro situazioni diverse (in tutte comunque x è in m e t in s e t>0) (1) x=3 t (2) x=-4 t 2 -2 (3) x=2/t 2 (4) x=-2 a) In quale situazione la velocità vettoriale è costante? b) in quale altra v è diretta nel verso negativo dell’asse x? Applica zione a) la velocità vettoriale è costante nella situazione (1) e (4) b) la velocità vettoriale è diretta nella direzione negativa dell’asse x nei casi (2) e (3). Infatti: G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Avete viaggiato sulla Statale 100 da Bari a Taranto per metà tempo a 55 km/h e per il tempo restante a 90 km/h. Al ritorno percorrete metà della distanza a 55 km/h ed il resto della distanza a 90 km/h. Qual è la velocità scalare media all’andata e al ritorno? Qual è la velocità vettoriale media complessiva? Tracciate il grafico orario ed indicate le velocità medie Applica zione Indichiamo con Dt il tempo impiegato per andare da Bari a Taranto. Le distanze percorse nelle due parti sono: La distanza totale percorsa sarà la somma delle due distanze ed il tempo impiegato è Dt. G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Al ritorno diciamo d la distanza totale tra Taranto e Bari. I tempi necessari percorrere le due metà sono: Applica zione cont. Il tempo totale impiegato Dt per tornare da Taranto a Bari sarà la somma dei due tempi. La velocità vettoriale media complessiva è nulla. G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Tracciate il grafico orario ed indicate le velocità medie Applica zione cont. x Dt 2 Dt t G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

La posizione di un oggetto che si muove in linea retta è data dall’espressione x=3 t-4 t 2+t 3, ove x è in metri e t in secondi. a) qual è la posizione per t=1, 2, 3 e 4 s? b) qual è lo spostamento dell’oggetto nell’intervallo di tempo tra t=0 e t=4 s? c) qual è la velocità vettoriale media nell’intervallo tra t=2 s e t=4 s? d) qual è la velocità istantanea all’istante di tempo t=3 s? e) costruire il grafico della funzione e costruire sul grafico alle domande c) e d). Applica zione a) per risponere alla domanda a) basta sostiuire alla variabile t nell’espressione della legge oraria gli istanti di tempo richiesti: G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

b) qual è lo spostamento dell’oggetto nell’intervallo di tempo tra t=0 e t=4 s? Applica zione cont. c) qual è la velocità vettoriale media nell’intervallo tra t=2 s e t=4 s? d) qual è la velocità istantanea all’istante di tempo t=3 s? G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

e) costruire il grafico della funzione e costruire sul grafico alle domande c) e d). Applica zione cont. G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Il campione del kilogrammo ha la forma di un cilindro di altezza pari al diametro. Si dimostri che a parità di volume e di forma, queste dimensioni forniscono la minima area; ciò consente di minimizzare gli effetti della contaminazione superficiale. Applica zione G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Abbiamo espresso la superficie del cilindro in funzione del suo volume e del rapporto e tra il raggio e l’altezza Applica zione cont. Poiché il volume del cilindro deve rimanere costante, deve contenere sempre la stessa massa, possiamo limitarci a studiare la dipendenza da e. La superficie sarà minima quando f(e) sarà minima. Abbiamo visto che nei punti di massimo o di minimo relativo derivata si annulla. Cerchiamo e in cui G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Calcoliamoci la derivata: Applica zione cont. Imponendo che la derivata sia nulla: Da cui G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Applica zione cont. G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03