Vektorfunksjoner og rombevegelse Parameterisering av en linje P

Vektorfunksjoner og rombevegelse

Parameterisering av en linje P (x, y, z) P 0 (x 0, y 0, z 0)

Parameterisering av en kurve P (x, y, z) O De ulike punktene på kurven fremkommer ved ulike verdier av parameteren t

Parameterisering av en kurve Eks - Helix

Grense av vektorfunksjon Def M r(t) L

Grense av vektorfunksjon Eks

Kontinuerlig vektorfunksjon Def M r(t) L En vektorfunksjon kalles kontinuerlig i et punkt t = t 0 hvis: En vektorfunksjon kalles kontinuerlig hvis den er kontinuerlig i hele sin definisjonsmengde.

Kontinuerlig vektorfunksjon Eks Kontinuerlig: Diskontinuerlig:

Derivasjon av vektorfunksjon Def r r(t) r(t+ t) r’(t) En vektorfunksjon kalles deriverbar hvis den deriverte eksisterer i hvert punkt i sitt domene. En kurve beskrevet ved r kalles glatt hvis dr/dt er kontinuerlig og aldri 0.

Derivasjon av vektorfunksjon Eks r(t) r’(π/4)

Derivasjonsregler for vektorfunksjon r(t)

Vektorfunksjoner med konstant lengde r(t) Den deriverte av enhetsvektoren T står alltid normalt på T. T En vektorfunksjon som har konstant lengde står normalt på sin egen derivert.

Integrasjon av vektorfunksjon Def r(t)

Integrasjon av vektorfunksjon Eks r(t) Integral [r(t)]

Hastighetsvektor B r A M r. A r. B r v

Akselerasjonsvektor v. B A v B v. A v. B a v. A M r v

Hastighetsvektor - Akselerasjonsvektor Eks: Hangglider a v

Buelengde av en glatt kurve Def ds b a L

Buelengde av en glatt kurve Eks - Hangglider

Enhetstangentvektor Def T v

Enhetstangentvektor Def - Detaljer T v T-vektor definert som den deriverte av r-vektor mht buen s, gir en parameter-uavhengig definisjon. s r. A r r. B Den deriverte av r-vektor mht buen s, gir en enhetsvektor tangentielt til banen.

Enhetstangentvektor Eks v T

Krumning Def T T

Krumning Eks Rett linje En rett linje har krumning lik 0, dvs ingen krumning. T Sirkel T En sirkel har krumning lik den inverse av radien dvs jo mindre radius, jo større krumning.

Enhetsnormalvektor Def T N

Enhetsnormalvektor Eks - Sirkel med radius a T N r v

Akselerasjon Lineær kombinasjon av T og N [1/2] T a N Akselerasjonen er en lineær kombinasjon av enhetstangentvektoren T og enhetsnormalvektoren N og ligger derfor i planet utspent av T og N.

Akselerasjon Lineær kombinasjon av T og N [2/2] Akselerasjonens tangentiellkomponent er fartsendringen tangentielt: T a N Akselerasjonens normalkomponent er krumningen multiplisert med farten kvadrert: Spesialtilfelle: Sirkelbevegelse med konstant banefart Akselerasjonen er en lineær kombinasjon av enhetstangentvektoren T og enhetsnormalvektoren N og ligger derfor i planet utspent av T og N.

Binormalvektor Def B B står normalt på både T og N. B er en enhetsvektor (lengde 1) siden både T og N er enhetsvektorer. Endringen av B (dvs retningsendring av B) blir et mål for hvordan a vris ut av TN-planet. Det er derfor av interesse å studere endring av B. N T