Vektor Skalar dan Bidang Rata Vektor dan Skalar

Vektor , Skalar, dan Bidang Rata

Vektor dan Skalar Vektor adalah Besaran yang mempunyai besar dan arah. Contoh : Kecepatan, momentum, berat, percepatan, gaya dan lain-lain Skalar adalah besaran yang mempunyai besar tapi tanpa arah. Contoh : Volume, massa, panjang, waktu dan lain-lain

PENYAJIAN VEKTOR Ekor panah disebut ttk pangkal Arah panah menentukan arah vektor Panjang panah menentukan arah vektor Ujung panah disebut ttk ujung Maka vektor v = V = AB

ALJABAR VEKTOR 1. Vektor-vektor yang panjang dan arahnya sama v=w=z 4

2. Vektor negatif Adalah vektor yang besarnya sama tetapi arahnya terbalik/berlawanan

3. Vektor Nol Vektor yang panjangnya nol Dinyatakan dengan O 4. Penjumlahan Vektor +

5. Jika v adalah suatu vektor tak nol dan k adalah suatu bilangan real tak nol (skalar), maka hasil kali kv didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya (k*panjang v)dan yang arahnya sama dengan arah v jika k>0 dan berlawanan arah dengan v jika k< 0

Hukum Aljabar Vektor Jika a, b dan c adalah vektor-vektor serta m dan n adalah skalar, maka : 1. a + b = b + a ; Hukum Komutatif untuk penjumlahan 2. a + (b+c) = (a+b)+c ; Hukum Assosiatif untuk penjumlahan 3. ma = am ; Hukum Komutatif untuk perkalian 4. m(na) = (mn)a ; Hukum Asosiatif untuk perkalian 5. (m+n) a = ma + na ; Hukum Distributif 6. m (a + b) = ma + mb ; Hukum Distributif

Komponen-Komponen Vektor dalam bidang OP = a (sepanjang OX) + b (sepanjang OY) 1. y p r o Ѳ x Jika i sebagai vektor satuan dalam arah ox j sebagai vektor satuan dalam arah OY maka : a = ai dan b = bj Dengan demikian vektor OP = dapat ditulis sebagai : R = ai + bj

2. Vektor dalam ruang Vektor OP dalam ruang atau dalam sistem koordinat OX, OY, OZ dapat dilihat pada gambar berikut: z p r c y o b a x Misal : OP = ai + bj + ck, maka : |r | = panjang vektor OP = a² + b² + c²

HASIL KALI TITIK DAN SILANG 1. Hasil kali titik (skalar) dua vektor A dan B didefinisikan : A B = A B cos dengan : Ø A dan B masing-masing panjang vektor A dan B Ø adalah sudut antara vektor A dan B Ø ( 0 )

Hukum-hukum yang berlaku pada perkalian skalar 1. A B = B A 2. A (B+C) = A B + A C 3. m (A B) = (m. A) B = A (m. B) , m adalah skalar 4. i i = j j = k k = 1 , i j = j k = k i = 0 5. Jika A = a 1 i + a 2 j + a 3 k dan B = b 1 i + b 2 j + b 3 k maka A B = a 1 b 1 +a 2 b 2 + a 3 b 3 6. Jika A B = 0 dan A , B bukan vektor nol, maka A dan B tegak lurus.

2. Hasil Kali Silang Hasil kali silang (vektor) dari A dan B adalah vektor C yang arahnya tegak lurus vektor A dan B dengan mengikuti kaidah tangan kanan yang didefinisikan sebagai berikut : A x B = A B sin u dengan : - adalah sudut antara A dan B ( 0 ) - u adalah vektor satuan yang menunjukkan arah dari C

Hukum-hukum yang berlaku pada perkalian silang (vektor) : 1. A x B = - B x A 2. A x (B+C) = A x B + A x C 3. m (A x B) = (m. A) x B = A x (m. B) = (A x B)m, m adalah skalar 4. i x i = j x j = k x k = 0 , i x j = k , j x k = i , k x i = j 5. jika A = a 1 i + a 2 j + a 3 k dan B = b 1 i + b 2 j + b 3 k , maka : = (a 2 b 3 - b 2 a 3) i - (a 1 b 3 - b 1 a 3) j + (a 1 b 2 - b 1 a 2) k 6. Besarnya A x B = luas jajaran genjang dengan sisinya vektor A dan B 7. Jika A x B = 0 dan A = B 0 maka A dan B sejajar.

CONTOH Diketahui Vektor A = 2 i – 3 j + k B = – i + 4 j + 5 k Maka : 1. A + B = (2 – 1) i + (– 3 + 4) j + (1 + 5) k = i + j + 6 k 2. A – B = (2 + 1) i + (– 3 – 4) j + (1 – 5) k = 3 i – 7 j – 4 k 3. A. B = (2)(-1)i + (-3)(4)j + (1)(5)k = -2 i – 12 j + 5 k

Jarak dua titik yang berada pada dua ujung z vektor d x y Maka jarak antara titik A ke titik B adalah d, dengan:

BIDANG RATA DAN GARIS LURUS

Terlihat pada gambar bahwa : OX = OP + PX . . . (1) dimana Merupakan persamaan vektoris bidang rata yang melalui satu titik P( x 1 , y 1, z 1 ) dan diketahui kedua vektor arahnya a = [ x a , y a, z a] dan b = [xb , y b, z b].

Persamaan (1) dapat ditulis menjadi 3 persamaan : ………. (2) yang disebut persamaan parameter bidang rata. Dengan mengeliminasi λ dan μ pada persamaan diatas diperoleh : V = Ax + By + Cz + D = 0 ………. (3) yang disebut persamaan linier bidang rata yang mempunyai vektor normal bidang ( vektor yang tegak lurus bidang rata ) : [ A, B, C ]

= a x b dimana : Dari persamaan (3) di atas, suatu bidang rata yang di ketahui melalui satu titik ( x 1 , y 1, z 1 ) dengan vektor normalnya ( A , B , C ) berbentuk: A ( x — x 1) + B ( y — y 1) + C ( z — z 1) = 0

HAL-HAL KHUSUS DARI BIDANG RATA V = AX + BY + CZ + D = 0. 1. Bila D = 0 maka bidang rata akan melalui titik asal O (0, 0, 0) dan sebaliknya, setiap bidang rata yang melalui titik asal persamaannya akan mempunyai harga D = 0. 2. Apabila D ≠ 0 persamaan Ax + By + Cz + D = 0 dapat ditulis menjadi Ax/ -D + By/ -D + Cz/ -D = 1 dan sebut berturut-turut A/ -D = 1/p, B/ -D=1/ q, C/-D =1/ r, didapat persamaan : x/p + y/q + z/r = 1 yang mana memotong sumbu X di (p, 0, 0 ) sumbu Y di ( 0, q , 0 ) sumbu Z di ( 0, 0, r ). 3. Bila A = 0, bidang rata sejajar sumbu X bila B = 0, bidang rata sejajar sumbu Y, dan bila C = 0, bidang rata sejajar sumbu Z 4. Bila A = B = 0, bidang rata sejajar bidang XOY bila B = C = 0, bidang rata sejajar bidang YOZ bila A = C = 0, bidang rata sejajar bidang XOZ

Contoh : 1. Untuk mengubah kepersamaan linier dapat kita lakukan dgn mencari vektor normal sebagai hasil cross product ( 1, 2, 3 ) x ( 0, 2, 5) = ( 4, — 5, 2 ) 4 x – 5 y + 2 z – 13 = 0

2. Bidang 2 x + 3 y + 4 z = 12 dapat ditulis menjadi : x/6 + y/4 + z/3 = 1 akan memotong sumbu-sumbu di (6, 0, 0), (0, 4, 0) & (0, 0, 3).

Catatan : 1. Jika n = a x b. di mana a dan b adalah vektor-vektor pada bidang, maka persamaan bidang rata dapat ditulis dalam bentuk : 2. Jika vektor a bertitik awal di p (x 1, y 1, z 1) dan titik ujungnya q (x 2, y 2, z 2), serta b titik awalnya p (x 1, y 1, z 1) dan titik ujungnya r (x 3, y 3, z 3), maka persamaan bidang rata dapat ditulis dalam bentuk :

4. Jadi empat buah titik ( x 1, y 1, z 1 ), ( x 2, y 2, z 2 ), ( x 3, y 3, z 3 ), dan ( x 4, y 4, z 4 ) akan sebidang jika dan hanya jika : Contoh : 1. Tentukan persamaan bidang yang melalui ketiga titik ( 2, -1, 1 ), ( 3, 2, 1 ), dan ( -1, 3, 2 ) 2. Apakah empat titik berikut sebidang, jika sebidang , tentukan persamaan liniernya : ( 2, 1, 3 ), ( 4, 2, 1 ), ( -1, -2, 4 ) dan ( 0, 0, 5 )

SUDUT ANTARA DUA BIDANG RATA Sudut antara dua bidang rata merupakan sudut antara vektor-vektor normalnya. Misanya, sudut antara bidang : maka sudutnya adalah sudut antara normal-normal , yaitu :

Contoh : Jawab :

KEDUDUKAN 2 BUAH BIDANG RATA 1. Kedudukan sejajar : Bila V 1 dan V 2 sejajar maka n 1 dan n 2 sama (atau berkelipatan), berarti [A 1, B 1, C 1] = λ [A 2, B 2, C 2] adalah syarat bidang V 1 dan V 2 sejajar (λ sebarang ≠ 0 ) 2. Kedudukan tegak lurus : Bila V 1 tegak lurus V 2, maka vektor normalnya akan saling tegak lurus,

CONTOH : 1. Tentukan persamaan bidang rata V 2 yang sejajar dengan bidang rata V 1 = x + y + 5 z = 9 dan bidang rata V 2 melalui titik (0, 2, 1) ! Jawab :

CONTOH : 2. Tentukan persamaan bidang rata V 2 yang tegak lurus pada bidang rata V 1 = x + y + z = 1 serta melalui titik (0, 0, 0) dan (1, 1, 0) ! Jawab :

Jarak Antara Sebuah Titik dan Sebuah Bidang Rata Dan Jarak Antara Dua Bidang Sejajar. Jarak dari titik ( x 1, y 1, z 1 ) ke bidang V : Ax + By + Cz + D = 0 adalah : Untuk mencari jarak dua bidang sejajar V 2, kita ambil sembarang titik pada V 2, lalu menghitung jarak titik tsb V 1

Contoh : 1. Tentukan jarak titik (4, 7, 3) ke bidang 2 x + 6 y – 3 z = 13. Jawab : 2. Diketahui V 1 = x + y + z – 2 = 0 dan V 2 = x + y + z – 5 = 0. jika R pada V 2, hitunglah jarak tersebut ke V 1. jawab :

BERKAS BIDANG

Contoh : Tentukan persamaan bidang rata V yang melalui titik( 0, 0, 0) serta melalui garis potong bidang-bidang : V 1 = 2 x + 3 y +24 = 0 dan V 2 = x – y + 2 z = 12 Jawab : V dapat dimisalkan berbentuk : ------ (*) Karena V melalui ( 0, 0, 0 ) terpenuhi : Yang kita subtitusikan ke (*) diperoleh : V = 4 x + y + 4 z = 0

JARINGAN BIDANG Pandang bidang rata V 1 = 0 , V 2 = 0 dan V 3 = 0 yang tidak melalui satu garis lurus yg sama (bukan dalam satu berkas ). Bentuk : menyatakan kumpulan bidang yang melalui titik potong ketiga bidang V 1 = 0 , V 2 = 0 dan V 3 = 0 itu ( dalam gambar melalui titik T ).

Contoh : Tentukan persamaan bidang rata V yang sejajar bidang U : x + y + z =1 serta melalui titik potong bidang : Jawab : ……(*) Karena sejajar dengan U, maka ( 1, 1, 1 ) adalah normal dari V atau ( 1, , μ ) kelipatan dari ( 1, 1, 1 ) Jadi subtitusikan ke (*) menghasilkan persamaan yang diminta, yaitu : V = x + y + z – 7 = 0

PERSAMAAN GARIS LURUS Sebuah garis lurus akan tertentu bila diketahui dua titik pada garis tersebut. Mis, titik P ( x 1, y 1, z 1 ) dan R ( x 2, y 2, z 2 ), maka OP=[x 1, y 1, z 1], OR =[x 2, y 2, z 2 ] dan PR=[ x 2 -x 1, y 2 -y 1, z 2 -z 1 ] Untuk sembarang titik Q(x, y, z) pada garis g berlaku PQ= PR Jelas bahwa : OQ = OP + PQ ……(*) Adalah persamaan vektoris garis lurus melalui titik P ( x 1, y 1,

Jadi bila garis lurus melalui titik P ( x 1, y 1, z 1 ) dan mempunyai vektor arah a = [a, b, c], maka persamaannya adalah : ………. (**) Dari persamaan (**) diperoleh 3 persamaan, yaitu : x = x 1 + a y = y 1 + b ………(***) z = z 1 + c yang disebut persamaan parameter garis lurus. Kemudian bila a 0, b 0, c 0, kita eliminasikan dari persamaan (***), diperoleh : = =

Contoh : Tentukan persamaan garis lurus melalui (3, 2 , -2) dan (4, -2, -1) Jawab : yang merupakan persamaan liniernya.

HAL KHUSUS DARI GARIS LURUS DENGAN VEKTOR ARAH [A, B, C] 1. 2. Bila a = 0 vektor [0, b, c] terletak pada bidang rata yang sejajar bidang yoz Bila b = 0 , garis lurus sejajar bidang xoz Bila c = 0 , garis lurus sejajar bidang xoy Dalam hal ini, bila salah satu bilangan arah (mis a = 0) maka, persamaan garis lurusnya menjadi : [x, y, z]= [ x 1, y 1, z 1 ] + [0, b, c] Sedangkan persamaan liniernya :

3. Bila a = 0, b = 0, vektor [ 0, 0, c] sejajar dengan arah sumbu Z Bila a = c = 0, garis lurus sejajar sumbu Y Bila b = c = 0, garis lurus sejajar sumbu X Contoh : 1. 2. Garis lurus [x, y, z] = [2, 3, -2] + λ[0, 4, 2] bersifat sejajar sumbu Y ( a=c=0) dan dapat dtulis sebagai : x = 2 , z = - 2 ( dimana berlaku untuk setiap y )

GARIS LURUS SEBAGAI PERPOTONGAN DUA BIDANG RATA Garis lurus dapat dinyatakan sebagai perpotongan sembarang dua bidang rata yang melalui garis lurus tersebut. Misalnya, garis lurus g adalah perpotongan bidang rata. V 1 = A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 dan V 2 = A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 , maka persamaan garis lurus g dapat ditulis :

Untuk mencari persamaan linier garis lurus tsb sbb : 1. Menentukan vektor arah dari garis lurus : [ a, b, c ] Jelas [a, b, c] = n 1 x n 2 2. Menentukan sembarang titik (x 1, y 1, z 1) pada garis lurus, biasanya diambil titik potong dengan bidang koordinat, mis. bidang xoy z = 0 sehingga diperoleh : A 1 x + By 1 + D 1 = 0 A 2 x + By 2 + D 2 = 0

Contoh : Tentukan persamaan garis lurus akibat perpotongan dua buah bidang : V 1 : x - 2 y + z = 1 V 2 : 3 x - y + 5 z = 8 Jawab : n 1 = [ 1, -2, 1 ] dan n 2 = [ 3, -1, 5 ] vektor arah garis : [ 1, -2, 1 ] x [ 3, -1, 5 ] = [ -9, -2, 5 ] titik potong bidang dengan bidang xoy : z = 0 x – 2 y = 1 x = 3 3 x – y = 8 y = 1 Jadi persamaan liniernya : [x, y, z]= [ 3, 1, 0 ] + [ -9, -2, 5 ]

KEDUDUKAN DUA GARIS LURUS Didalam ruang berdimensi tiga, 2 garis lurus mungkin sejajar, berimpit, berpotongan, atau bersilangan. Diketahui garis lurus 1. g 1 sejajar g 2 bila arah mereka berkelipatan. Jadi bila , μ ≠ 0 atau bila Jika berlaku , maka : g 1 dan g 2 berimpit. contoh :

2. Kalau arah g 1 yaitu [ a 1, b 1 , c 1 ] dan arah g 2 yaitu [a 2, b 2, c 2 ] tidak berkelipatan, maka g 1 dan g 2 berpotongan di satu titik atau bersilangan. Jika , maka kedua garis tsb berpotongan pada satu titik dan persamaan bidang yang memuat kedua garis g 1 dan g 2 tsb adalah : Jika tidak demikian, maka kedua garis tsb bersilangan.

Contoh : Tunjukan bahwa berpotongan Dan tentukan titik potongnya serta bidang rata yang memuat garis g 1 dan g 2 tsb. Jawab : Arah mereka tidak berkelipatan, jadi tidak sejajar ataupun berimpit. Sedangkan determinan : , jadi g 1 dan g 2 berpotongan. Titik potongnya dicari dari persamaan g 1= g 2 , diperoleh :

Persamaan bidang rata yang memuat garis g 1 dan g 2 adalah : 11 x – 6 y – 5 z -67 = 0 Sudut antara garis g 1 dan g 2 adalah sudut antara vektor arah [ a 1, b 1 , c 1 ] dan [ a 2, b 2 , c 2 ] , yaitu :

KEDUDUKAN GARIS LURUS DAN BIDANG RATA Pandang garis lurus g dengan vektor arah a =[ a , b , c] dan bidang rata V dengan vektor normal n = [ A , B , C], maka : g 1 sejajar denga bidang V g 3 tegak lurus bidang V g 2 terletak pada bidang V 1. Garis lurus g sejajar bidang rata V jikka vektor arah garis tegak lurus normal bidang.

2. Garis g tegak lurus bidang rata V jikka vektor arah garis lurus = vektor normal bidang rata (atau kelipatanya) atau 3. Bila garis g terletak seluruhnya pada bidang rata, terpenuhi vektor a tegak lurus n atau a. n = 0 sehingga a. A + b. B+c. C = 0 dan sembarang titik P pada garis g harus terletak pula pada bidang V.

CONTOH :

JARAK ANTARA DUA GARIS LURUS G 1 DAN G 2 1. Bila g 1 dan g 2 sejajar , untuk menghitung jaraknya dapat dilakukan sebagai berikut: - Pilihlah sembarang titik p pada g 1 - Buatlah bidang rata W melalui P dan tegak lurus g 1, yang dengan sendirinya juga tegak lurus 2 - Tentukan Q titik tembus g 2 pada W - Panjang PQ adalah jarak g 1 dan g 2

2. Bila g 1 dan g 2 bersilangan, dapat dilakukan sebagai berikut : - Buat bidang rata W yang melalui g 1 dan sejajar g 2 - Pilih sembarang titik P pada g 2 - Tentukan jarak P ke bidang W, merupakan jarak g 1 dan g 2.

Contoh :

2.