Vektor memiliki besaran dan arah Beberapa besaran fisika

Vektor memiliki besaran dan arah. Beberapa besaran fisika yang dinyatakan dengan vektor seperti : perpindahan, kecepatan dan percepatan. Skalar hanya memiliki besaran saja, contoh : temperatur, tekanan, energi, massa dan waktu.

B E S A R A N Skalar massa, waktu, jarak Vektor kecepatan, percepatan, gaya Vektor direpresentasikan dengan simbol anak panah Penulisan vektor Vektor F = |F| atau vektor satuan Vektor F = F besar vektor 2

Penjumlahan Vektor

Mengikuti hukum : • Komutatif :

Assosiatif :

Vektor adalah vektor yang memiliki besaran yang sama dengan vektor tetapi berlawanan arah, bila dijumlahkan akan menghasilkan :

PENJUMLAHAN VEKTOR DENGAN JJ. GENJANG A A B A+ -A B A+B=? -A+B ? B -A + B B -A

PENJUMLAHAN VEKTOR DENGAN POLIGON A A+B+C ? A B C A+B+ C C -B B A+(-B)+C ? -A+B-C=? C A

CONTOH LAIN

SIFAT VEKTOR

PENJUMLAHAN DENGAN F =10 N GRAFIS X F 1 + 30 O F 2 1 cm Y 5 V 2 F 2=10 N 5 30 O 1 cm mewakili 2 N cm 120 O 5 cm

PENJUMLAHAN DENGAN COSINUS V 2 R θ l HASIL RESULTAN DAPAT DIHITUNG DENGAN RUMUS COSINUS: R= V 1

KOMPONEN VEKTOR FY Contoh: F= 10 N, ao= 30 Maka komponen vektor F adalah FX= F COS ao = 10. COS 30 O= FY= F SIN ao = 10. SIN 30 O = 10. (1/2)=5 N F a. O FX

y F 2 MENJUMLAH VEKTOR SECARA ANALITIS F 2 sin 2 F 1 sin 1 2 F 1 3 F 3 cos 3 F 2 cos 2 1 x F 1 cos 1 F 3 sin 3

CONTOH PENJUMLAHAN VEKTOR SECARA ANALISIS. Y B A 60 O 30 O 45 O C ARAH VEKTOR R: Tan θ=Ry/Rx X KONSEP PENTING: - URAIKAN SETIAP VEKTOR MENJADI KOMPONENNYA - BUAT TABEL DAN ISI - JUMLAHKAN KOMPONEN VEKTOR YANG KEARAH SUMBU -X(DEMIKIAN PADA SUMBU-Y) - HITUNG RESULTAN (R), DAN ARAHNYA R=

ANALISIS PADA TABEL NILAI VEKTOR (SATUAN) SUDUT KOMP. VEKTOR -X KOMP. VEKTOR - Y A 20 30 O 10√ 3 10 B 20 120 O -10 10√ 3 C 40 225 O -20√ 2 JIKA √ 2=1, 4 DAN √ 3=1, 7 MAKA JUMLAH RESULTANTE SBB -20√ 2 RRX=……. RR Y= ……. =-21 =-1 X Y

HITUNG BESAR R DAN ARAHNYA? BESAR R=√(-21)2+(-1)2 =√ 441+1 =√ 442 = 21, …. SATUAN ARAH R TAN AO=RY/RX = (-1/-21) = …. . AO=…. .

EXERCISE 1. Tentukan Resultante dari : a. – A – B (Jajaran genjang) b. – A – B + C (Poligon) c. – A + B (Grafis) 2. Tiga buah vektor gaya masing-masing 20 N, 5 N, dan 20 N membentuk sudut 60 o, 150 o, dan 315 o terhadap sumbu X positif, tentukan: a. gambarnya b. komponen-komponen vektornya c. tabel analisis vektornya d. Resultante dan arahnya

Komponen vektor • merupakan proyeksi vektor pada sumbu sistem koordinat Komponen vektor : disebut komponen skalar atau komponen

Besar vektor : Khusus untuk penjumlahan 2 vektor ( ), besar vektor dapat dicari dengan rumus : Dalam perhitungan vektor dibutuhkan rumus trigonometri : Dalil cosinus : Dalil sinus :

Vektor satuan: Vektor satuan pada arah positif sumbu x, y dan z diberi tanda :

Kita dapat tulis vektor dan sebagai berikut : disebut komponen vektor

Penjumlahan vektor dengan komponen , setiap komponen sama dengan

Perkalian vektor : • Perkalian vektor dengan skalar : Jika vektor dikalikan dengan skalar s akan menghasilkan vektor baru dengan besar nilai absolute s dengan arah jika s positif, dan berlawanan arah jika s negatif. Vektor dibagi dengan s berarti kita mengkalikan dengan 1/s. • Perkalian vektor dengan vektor : ØMenghasilkan skalar : Scalar Product Dikenal sebagai : Dot product

Dituliskan secara komponen bagian sebagai berikut : Scalar product berlaku hukum komutatif Jika ditulis dalam vektor satuan, maka perkalian scalar : Diperoleh hasil akhir sebagai berikut :

Ø Menghasilkan vector : Vector Product Dikenal sebagai : Cross Product Dengan besar c adalah : Besaran ditulis dan maksimum jika

Arah dari vektor tegak lurus bidang yang berisi vektor dikenal sebagai hukum tangan kanan

Penulisan dalam vektor satuan : Hasil akhir :

Latihan soal : • Dua buah vektor bertitik tangkap sama saling mengapit dengan sudut. Jika besar vektor dua kali vektor dan , hitung ! Jawab :

• Dua buah vektor yang besarnya 8 dan 15 satuan saling mengapit dengan sudut 45. Hitung besar resultannya dan sudut antara resultan dengan vektor pertama. Jawab : Sudut antara resultan dengan vektor pertama dapat dicari dengan 2 cara : dalil cosinus atau dalil sinus Dalil Cosinus : Dalil Sinus :

• Diketahui 3 buah vektor Hitung besar vektor dan sudut antara vektor ini dengan sumbu z jika. Hitung juga sudut antara vektor ! Jawab :

• Suatu vektor a dalam bidang xy mempunyai besar 5 satuan dan arahnya terhadap sumbu x positif. Vektor b mempunyai besar 4 satuan dan arahnya searah sumbu y. Hitung besar perkalian titik dan perkalian silang kedua vektor tersebut. Jawab : Sudut terkecil antara kedua vektor tersebut adalah: Sehingga diperoleh :

VEKTOR SATUAN Vektor dapat dituliskan dalam vektor-vektor satuan. Sebuah vektor satuan mempunyai magnitudo/ukuran yang besarnya sama dengan satu (1). Vektor satuan dalam sistem koordinat kartesis dinyatakan dengan i, j dan k yang saling tegaklurus. Vektor A dapat ditulis: y A j k z i x

PERKALIAN VEKTOR • Perkalian titik A. B = AB cos A. B = Ax. Bx + Ay. By + Az. Bz • Perkalian Silang C=Ax. B C = AB sin C x = A y B z – A z. B y C y = A z. B x – A x B z C z = A x. B y – A y B z B q A C B q A

ALJABAR VEKTOR Kesamaan vektor Penjumlahan vektor Pengurangan vektor Perkalian vektor dengan bilangan real

Kesamaan Vektor Misalkan: a = a 1 i + a 2 j + a 3 k dan b = b 1 i + b 2 j + b 3 k Jika: a = b , maka a 1 = b 1 a 2 = b 2 dan a 3 = b 3

Contoh Diketahui: a = i + xj - 3 k dan b = (x – y)i - 2 j - 3 k Jika a = b, maka x + y =. .

Jawab: a = i + xj - 3 k dan b = (x – y)i - 2 j - 3 k a=b 1=x-y x = -2; disubstitusikan 1 = -2 – y; y = -3 Jadi x + y = -2 + (-3) = -5

Penjumlahan Vektor da Misalka n n: Jika: a + b = c , maka vektor

Contoh Diketah ui: da n Jika a + b = c , maka p – q =. .

jawab: =c a+b

3 + p = -5 p = 8 -2 p + 6 = 4 q 16 + 6 = 4 q 22 = 4 q q = 5½; Jadi p – q = -8 – 5½ = -13½

Pengurangan Vektor Misalkan: a = a 1 i + a 2 j + a 3 k dan b = b 1 i + b 2 j + b 3 k a - b = c , maka Jika: c =(a 1 – b 1)i + (a 2 – b 2)j + (a 3 - b 3)k

Perhatikan Ygambar: B(2, 4) O vektor AB = A(4, 1 vektor posisi: ) titik A(4, 1) X adalah: titik B(2, 4) adalah:

vektor AB = Jadi secara umum:

Contoh 1 Diketahui titik-titik A(3, 5, 2) dan B(1, 2, 4). Tentukan komponen Jawab: vektor AB komponen

Contoh 2 Diketahui titik-titik P(1, 3, 0) dan Q(1, 2, -2). Tentukan panjang vektor PQ (atau jarak P ke Q)

Jawab: P(1, 2, -2) 1, 3, 0) Q(- PQ = q – p =

Perkalian Vektor dengan Bilangan Real Misalka n: Jika: c = maka m. a, dan m = bilangan real

Contoh Diketah ui: da n Vektor x yang memenuhi a – 2 x = 3 b adalah. . Jawab: misal