VECTORES RECTAS 1 COMBINACIN LINEAL DE VECTORES BASES

VECTORES RECTAS 1

• COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES • BASES EN EL PLANO 2

Combinación lineal de vectores Dados vectores u, v y dos números λ y µ, el vector λ u + µ v se dice que es una combinación lineal de u y v Cualquier vector w se puede poner como combinación lineal de dos vectores u, v no nulos y no paralelos. Existen dos números λ y µ, tales que w= λ u + µ v 3

Combinación lineal de vectores Sean los vectores Definimos un tercer vector w como combinación lineal de u y v: Ejemplo: 4

Combinación lineal de vectores Otro ejemplo: Con los mismos vectores Pero con distintos coeficientes 5

Propiedades de la dependencia lineal. Base del plano - Si dos vectores v y w distintos de 0 son linealmente dependientes, tienen la misma dirección. - Dos vectores v y w no nulos con dirección distinta forman siempre un sistema libre. - En el plano, fijado un sistema S de dos vectores linealmente independientes , cualquier otro vector w es combinación lineal de S Este sistema S libre se llama BASE del plano y los escalares que sirven para formar las combinaciones lineales son las componentes de los vectores: w = ( λ, μ ) 6

Bases del plano Dos vectores no nulos y no paralelos constituyes una BASE del plano. Cada vector del plano tiene unas únicas componentes respecto a una determinada base. BASE ORTOGONAL: BASE ORTONORMAL: Los vectores de la base son perpendiculares y de módulo 1 7

Bases del plano Un vector tiene distintas componentes si cambiamos la base BASE ORTOGONAL: BASE ORTONORMAL: Con unas mismas componentes, el vector no es el mismo si cambiamos la base 8

Vectores linealmente dependientes Si dos vectores son linealmente dependientes, sus componentes son proporcionales. Sean v=(v 1 , v 2) y w=( w 1 , w 2) dos vectores en el plano Si son linealmente independientes 9

EL PLANO AFÍN • TRES PUNTOS ALINEADOS • PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO • SIMÉTRICO DE UN PUNTO RESPECTO DE OTRO 10

Condición para que tres puntos estén alineados Tres puntos P(p 1, p 2), Q(q 1, q 2) y R(r 1, r 2) están alineados si: R Q P es decir si las componentes de ambos vectores son proporcionales R Q P P 11

Punto medio de un segmento Q M Si M(x, y) es el punto medio de dos P(p 1, p 2) y Q(q 1, q 2): P Por análogo procedimiento podremos hallar las coordenadas de los puntos que dividen un segmento en partes iguales M(x, y) es el punto medio de P(p 1, p 2) y Q(q 1, q 2): 12

Simétrico de un punto respecto de P’ otro Q Para hallar el simétrico P’(x, y) de un punto P(p 1, p 2) respecto de Q(q 1, q 2): P O bien: Q es el punto medio de PP’: 13

Ecuaciones de la recta • • ECUACIÓN VECTORIAL ECUACIONES PARAMÉTRICAS ECUACIÓN CONTÍNUA ECUACIÓN GENERAL , IMPLÍCITA O CARTESIANA • ECUACIÓN EXPLÍCITA • CONDICIÓN DE PARALELISMO ENTRE RECTAS 14

Ecuaciones de la recta(1) Para determinar una recta r necesitamos: r v • Un punto de la recta y una dirección A B r • Dos puntos de la recta A 15

Ecuación vectorial de la recta X(x, y) A(a 1, a 2) O r Sea A el punto de coordenadas A(a 1, a 2) y v un vector de componentes (v 1, v 2) Vamos a determinar la ecuación de una recta r que pasa por el punto A y tiene por dirección v (vector director de la recta) Sea X(x, y) un punto genérico de la recta ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA Nota: Dando valores al parámetro λ se obtienen los distintos puntos de la recta 16

Ecuaciones de la recta r que pasa por el punto A(a 1, a 2) y cuyo vector direccional es v=(v 1, v 2) Dada la ecuación vectorial de la recta r: Multiplicando por el escalar: Sumando: Igualando componentes: Despejando el parámetro e igualando: ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA ECUACIÓN CONTÍNUA DE LA RECTA Multiplicando y pasando todo al primer miembro de la igualdad: Si llamamos: Tenemos: ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA 17

Ecuaciones de la recta r que pasa por el punto A(2, -3) y cuyo vector direccional es v=(5, -1) Dada la ecuación vectorial de la recta r: Multiplicando por el escalar: Sumando: Igualando componentes: Despejando el parámetro e igualando: ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA ECUACIÓN CONTÍNUA DE LA RECTA Multiplicando y pasando todo al primer miembro de la igualdad: Tenemos: ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA 18

Ecuaciones de la recta r que pasa por el punto A(a 1, a 2) y cuyo vector direccional es v=(v 1, v 2) Ecuación vectorial : Ecuaciones paramétricas : Ecuación contínua : Ecuación general, cartesiana o implícita : Como 19

Ecuaciones de la recta que pasa por dos puntos. Ecuación de r que pasa por los puntos A(a 1, a 2) y B(b 1, b 2) Su vector director puede ser r P(x, y) B(b 1, b 2) Sustituyendo en la ecuación contínua de la recta r: A(a 1, a 2) P(x, y) ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS B(b 1, b 2) A(a 1, a 2) 20

CONDICIÓN DE PARALELISMO ENTRE RECTAS Sean vr y vs los vectores directores de dos rectas r y s paralelas. r vr s vs Si dos rectas r y s son paralelas, también lo son sus vectores directores: (Sus componentes serán proporcionales) 21

CONDICIÓN DE PARALELISMO ENTRE RECTAS Sean dos rectas r y s dadas de diferentes formas: r vr s vs E C U A C I Ó N Serán paralelas si: vectorial paramétricas contínua general Coincidirán si se cumple: 22

PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES • • • DEFINICIÓN PROPIEDADES MÓDULO DE UN VECTOR ÁNGULO QUE FORMAN DOS VECTORES ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS CONDICIÓN DE PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTAS POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS PENDIENTE DE UNA RECTA ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE DE LA RECTA DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA. 23

Producto escalar de dos vectores(1) Dados vectores u y v llamaremos producto escalar de u por v al número real que resulta: Producto de los módulos por el coseno del ángulo que forman PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR (El módulo del vector nulo es 0). El producto del vector nulo por otro cualquiera es 0 1. 2. Si dos vectores son perpendiculares, su producto escalar es cero. (cos 90º=0) Si el producto escalar de dos vectores no nulos es cero, son perpendiculares 3. 4. 5. 6. Propiedad conmutativa R Propiedad “asociativa” Propiedad distributiva 24

Propiedades del producto escalar 7. B (2) El módulo de un vector es igual a la raíz cuadrada del producto escalar de dicho vector consigo mismo. (Los vectores de la base son = { u 1, u 2} es ortonormal perpendiculares y unitarios) 8. Si una base 9. El producto escalar de dos vectores es igual al producto de uno de ellos por el vector proyección del otro sobre él 25

Expresión analítica del producto escalar Sea una base B = { u 1, u 2} ortonormal y sean dos vectores (Los vectores de la base son perpendiculares y unitarios) Como la base es ortonormal Expresión del producto escalar de dos vectores y del módulo de un vector si la base es ortonormal 26

Coseno del ángulo de dos vectores En una base ortonormal o canónica : Expresión del coseno del ángulo que forman dos vectores si la base es ortonormal. Si dos vectores son perpendiculares : Dado un vector u (a, b), un vector perpendicular podría ser v(-b, a) y viceversa: a(-b)+ba=0 A partir de ahora trabajaremos solamente con bases ortonormales 27

Ángulo que forman dos rectas. r s vr vs Se llama ángulo de dos rectas al menor de los ángulos que forman éstas. Lo podemos calcular a partir del ángulo que forman sus vectores direccionales Valor absoluto de un número real Módulo de un vector Al tomar un valor positivo, el ángulo será agudo (el menor de los ángulos que forman) Posición relativa de dos rectas. Dos rectas en el plano pueden ser: Secantes Paralelas no coincidentes Coincidentes 28

Ecuación explícita de una recta. Pendiente de una recta Si en la ecuación general de la recta r, despejamos y: Si llamamos: r m m n 1 1 m 1 La ecuación explícita de la recta será: m nos indica la pendiente de la recta y α -B A n la ordenada en el origen (Para x=0, y=n) 29

Ecuación punto-pendiente. Pendientes de dos rectas paralelas o perpendiculares. Para hallar la ecuación punto-pendiente de un recta r, conocida su pendiente m y un punto P(x 0, y 0) perteneciente a ella: Ponemos la ecuación de la recta en función de la pendiente: y=mx+n Falta determinar n ( m ya lo conocemos) La recta debe pasar por P(x 0, y 0) Restando ambas expresiones: P 2(x 2, y 2) y 0 = m x 0 + n y - y 0 = m (x - x 0 ) Para hallar la pendiente de una recta conocidos de sus puntos: y 2 -y 1 P 1(x 1, y 1) x 2 -x 1 30

Condición de paralelismo y perpendicularidad entre rectas Dada la ecuación de una recta r: y=mx+n Vector direccional E C U A C I Ó N mx-y+n=0 Serán paralelas si: Serán perpendiculares si: r y=mx+n s y=m’x+n’ r Ax+By+C=0 s A’x+B’y+C’=0 Relación entre las pendientes de dos rectas perpendiculares 31

DISTANCIAS EN EL PLANO • DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS • DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA • DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS 32

Distancia entre dos puntos B b 2 La distancia entre dos puntos A(a 1, a 2) y B (b 1, b 2) es el módulo del vector AB (o del BA): b 2 - a 2 Basta aplicar el Teorema de Pitágoras: A b 1 - a 1 b 1 Por ejemplo, la distancia entre los puntos A(-3, 8) y el B(3, 5): 33

Distancia de un punto a una recta (1) Recordemos que: El producto escalar de dos vectores perpendiculares es cero Un vector perpendicular al vector puede ser el vector (Su producto escalar es cero) Un vector direccional de la recta ax+by+c=0 es Si un punto A(m, n) pertenece a la recta ax+by+c=0, verifica su ecuación. Es decir: am+bn+c=0 La distancia es siempre una cantidad positiva. El valor absoluto de un número es positivo e igual al de su opuesto 34

Distancia de un punto a una recta (2) Vamos a hallar la distancia del punto P(x 0, y 0) a la recta r de ecuación ax+by+c=0. r A P d(P, r)=d(P, Q)= La distancia de un punto P a una recta r será igual a la distancia de P al pie de la perpendicular a r que pasa por P (lo llamaremos Q) Sea A(x 1, y 1) un punto cualquiera de la recta r. Q ax 1+by 1= -c ax 1+by 1+c=0 y El vector su vector director es perpendicular a la recta r La distancia es siempre una cantidad positiva FÓRMULA DE LA DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA 35

Distancia de un punto a una recta (Ejemplo) Vamos a hallar la distancia del punto P(-3, 5) a la recta r de ecuación x-3 y+7=0. En el numerador, basta con sustituir las coordenadas del punto P en la ecuación de la recta En el denominador, la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los coeficientes de la x y la y 36

Distancia entre dos rectas paralelas Para hallar la distancia entre dos rectas paralelas, bastará con hallar la distancia de un punto cualquiera de una de ellas a la otra recta. r Sean r y s dos rectas paralelas: Pr(x 0, y 0) s Sea Pr(x 0, y 0) un punto de la recta r, es decir: Ax + 0 By 0 =-C 37

Hoja de problemas con soluciones: http: //www. educa. aragob. es/iesitaza/DAPARTAM/matemat/06 ge ometriaplano. pdf Teoría y ejercicios: http: //personales. unican. es/gonzaleof/# Maneja vectores: http: //www. xtec. es/~jbartrol/vectores/index. html http: //platea. pntic. mec. es/anunezca/Unid. Did. Vectores/Index/index. htm 38