ve Enerji 1 GR 2 Sabit kuvvetlerin yapt

İş ve Enerji 1. GİRİŞ 2. Sabit kuvvetlerin yaptığı iş 3. İki Vektörün Çarpımı 4. Değişken Bir kuvvetin Yaptığı İş 5. İş ve Kinetik Enerji 6. Güç 7. Enerji ve Otomobil 8. Rölativistik Enerji

Sabit Kuvvetin Yaptığı İş Enerji: Bir cismin iş yapma yeteneği olarak bilinir. Sabit bir F kuvvetinin etkisi altında bir F doğrusal yol boyunca hareket eden cismin θ Fcos θ yerdeğiştirmesi s dir. s θ: F nin s ile yaptığı açı Sabit kuvvet tarafından yapılan iş, kuvvetin yerdeğiştirme doğrultusundaki bileşeni ile yerdeğiştirmenin büyüklüğünün çarpımına eşittir. W=(Fcosθ)s (1) Sabit bir kuvvetin işi F kuvvetinin cisim üzerinde iş yapabilmesi için 1. Cisim yerdeğiştirmeli Bir cisim hareket etmezse (s=0), cisim üzerinde kuvvetin yaptığı iş sıfırdır. 2. F nin s doğrultusundaki bileşeni sıfırdan farklı olmalıdır. İşin işareti F nin s ye göre yönüne bağlıdır. θ=900, cos 900=0 F nin cos bileşeni s ile aynı yönde ise iş pozitiftir.

Sabit Kuvvetin Yaptığı İş W yı negatif yapan örnek, Bir cisim pürüzlü bir yüzey üzerinde kaydırıldığında sürtünme kuvvetinin yaptığı iştir. Sürtünme kuvveti f ile gösterildiğinde; kuvvet, kayan cisme bir s yerdeğiştirmesi yaptırılmışsa sürtünme kuvvetinin yaptığı iş Wf = - f s (2) F kuvveti s boyunca ise W= F s (3) İş skaler bir niceliktir birimi kuvvet. uzunluk S. I Newton. Metre (N. m) Joule (J) c. g. s dyne. santimetre erg 1 J= 107 erg N F θ f mg

Sabit Kuvvetin Yaptığı İş

Soru 4. Tuğla dolu bir el arabası, 18 kg lık bir toplam kütleye sahip olup bir halat yardımıyla sabit hızla çekilmektedir. Halat, yatayın üzerinde 200 açıda ve araba yatay düzlemde hareket etmektedir. Yer ile el arabası arasındaki kinetik sürtünme katsayısı 0, 5 dir. N F (a) İpteki gerilme nedir? (b) Araba 20 m hareket ettiği zaman halatın araba üzerinde θ f yaptığı iş ne kadardır? (c) Sürtünme kuvvetinin yaptığı iş ne kadardır? (a) (b)WF = Fdcosθ = (79. 4 N)(20 m)cos 200 = 1. 49 k. J (c) fk = F cosθ =79. 4 x cos 20= 74. 6 N Wf = fk d cosθ = (74. 6 N) (20 m) cos 180 0= -1. 49 k. J mg

Soru 7. 150 N luk yatay bir kuvvet, 40 kg lık bir kutuyu pürüzlü, yatay bir yüzeyde 6 m uzaklığa itmek için kullanılmaktadır. Kutu sabit hızla hareket ederse (a) 150 N’luk kuvvetin yaptığı işi (b) sürtünme kuvvetinin (c) Kinetik sürtünme katsayısını bulunuz. (a) W=(150 N) (6 m)= 900 J (b) sabit süratte Wnet=0 veya Wf = Wuy = -900 J (c) Wf= f s cos θ = µ m g s cos 1800

İki vektörün Skaler Çarpımı A ve B gibi iki vektörün skaler çarpımı, skaler bir nicelik olup, bu iki vektörün büyüklükleri ile arasındaki açının kosinüsünün çarpımına eşittir. A ve B nin skaler (veya nokta) çarpımı A. B = A. B. cosθ (7. 4) burada B θ: A ile B arasındaki açı A: A nın büyüklüğü B: B nin büyüklüğü θ A. B=A. B cosθ A ve B nin birimleri farklı olabilir. B. cosθ A. B B nin A üzerindeki izdüşümü A B. Cosθ A nın büyüklüğüyle, B nin A üzerindeki izdüşümü ile çarpımı (7. 4) eşitliği yerdeğiştirebilir (komutatif) A. B = B. A (7. 5)

İki vektörün Skaler Çarpımı Skaler çarpım, çarpmanın dağılma özelliğine uyar. A. (B+C) = A. B + A. C (7. 6) i, j ve k birim vektörleri, bir sağ koordinat sisteminin sırasıyla pozitif x, y ve z eksenlerinde yer alır. k. k=1 (7. 7 a) i. k=0 (7. 7 b) olur. A ve B vektörleri, bileşenleri cinsinden A = Axi + Ayj+ Azk B=Bxi +Byj +Bzk (7. 8) olarak ifade edilir. A ve B skaler çarpımı A. B = Ax. Bx + Ay. By+ Az. Bz ifadesine indirger. A=B özel durumunda A. A = Ax 2 + Ay 2 + Az 2 = A 2 olur. A. B=0 (θ=900) A. B=A. B (θ=0) A. B=-A. B (θ=1800) 900< θ<1800 olduğunda skaler çarpım negatiftir.

Örnek 7. 2 Skaler Çarpım A and B vektörleri A=2 i+3 j ve B=-i+2 j olarak veriliyor. a) A. B skaler çarpımını bulunuz. b) A ve B arasındaki θ açısını bulunuz. 0 0 a) A. B= (2 i+3 j). (-i+2 j) = -2 i. i + 2 i. 2 j - 3 j. i + 3 j. 2 j = -2+6=4 b) A. B = A. B. Cosθ den Örnek 7. 3 Sabit bir kuvvet tarafından yapılan iş xy-düzleminde hareket eden bir parçacık F=(5 i+2 j) N luk sabit bir kuvvetin etkisi ile d=(2 i+3 j)m lik yerdeğiştirme yapıyor. (a) Yerdeğiştirme ve kuvvetin büyüklüklerini hesaplayınız. (b) F tarafından yapılan işi hesaplayınız.

Soru 12. A=3 i+j-k, B=-i+2 j+5 k ve C=2 j-3 k olarak verilen üç vektör için C. (A-B) yi bulunuz. Soru 13. Skaler çarpımın tanımını kullanarak, aşağıdaki vektör çiftleri arasındaki açıları bulunuz. Ödev a) =3 i-2 j ve, Ödev b) =-2 i+4 j ve c) = 4 i-4 j =3 i-4 j+2 k =i-2 j+2 k ve, = 3 j+ 4 k c) θ=82, 30 Soru 14. 32, 8 N 17, 3 cm/s 1180 Ф y Şekildeki vektörlerin skaler çarpımını bulunuz. x 1320 İki vektör arasında açı bulunur. θ=1180 -900=280 Ф =90 -70=200 α=1320 -900 =420 F. v= Fvcos. Ф=5. 33 N. m/s

DEĞİŞKEN BİR KUVVETİN YAPTIĞI İŞ BİR-BOYUTLU DURUM F x Değişken bir kuvvetin etkisi altında ve x-ekseni boyunca x=xi den x=xs ye bir cisim yerdeğiştiriyor. (a) Burada kuvvetin yaptığı iş, sadece F büyüklük ve yönce sabit olduğunda xi Δx Şekila W=(F cosθ)s xj kullanılır. Fakat, cisim Şekil a da tanımlanan küçük bir Δx yerdeğiştirmesi yaptığında kuvvetin x bileşeni (Fx) bu aralıkta yaklaşık olarak sabit olur. Bu durumda bu küçük yerdeğiştirme için kuvvetin yaptığı iş ΔW=FxΔx Fx olarak ifade edilir. Bu, tam olarak Şekil a daki gölgeli dikdörtgenin alanıdır. Fx in x ile değişen eğrisini Şekil a daki gibi çok sayıda bu tip aralıklara bölündüğü düşünülürse, xi den xs ye olan yerdeğiştirme için yapılan toplam iş, yaklaşık olarak çok sayıdaki bu terimlerin toplamına eşit olur: (b) iş xi xj

DEĞİŞKEN BİR KUVVETİN YAPTIĞI İŞ BİR-BOYUTLU DURUM Yerdeğiştirmeler sıfıra yaklaştırılırsa, toplamdaki terimlerin sayısı sonsuza gider. Fakat toplamın değeri, Fx ile x ekseninin sınırladığı gerçek alana eşit ve sonlu bir değere yaklaşır. Matematikte, bu toplamın limitine integral denir ve (7. 8) ile gösterilir. İntegraldeki x=xi den x=xs ye kadar olan sınırlar, integralin belirli integral olduğunu gösterir. Bu belirli integral, sayısal olarak xi ile xs arasındaki x’e karşı Fx eğrisi altındaki alana eşittir. Dolayısıyla, cismin xi den xs ye yerdeğiştirmesi halinde Fx in yaptığı iş (7. 9) olarak ifade edilir. Fx=Fcosθ sabit olduğunda, bu eşitlik (1) denklemine indirgenir.

DEĞİŞKEN BİR KUVVETİN YAPTIĞI İŞ BİR-BOYUTLU DURUM Cisim üzerine birden fazla kuvvet etkirse, yapılan toplam iş, tam olarak bileşke kuvvetin yaptığı iştir. x doğrultusundaki bileşke kuvvetin olarak ifade edersek, cismin xi den xs ye hareket etmesi halinde yapılan net iş (7. 10) olur. Soru 18 N luk bir kuvvet bir cisme etki ederek onu orjinden x yönünde x=5 m noktasına hreket ettiriyor. Kuvvetin cisme yaptığı işi bulunuz.

Soru 22. 100 g lık bir mermi, 0. 6 m uzunluğunda bir namluya sahip tüfekten ateşleniyor. Başlangıç noktası merminin harekete başladığı yer kabul edildiğinde, gazın genleşmesiyle mermiye uygulanan kuvvet (Newton olarak) 15000+10000 x-25000 x 2 dir. Burada x metre birimindedir. a) Mermi namlu uzunluğu boyunca giderken gazın mermi üzerine yaptığı işi bulunuz. b) Namlu 1 m uzunluğunda ise ne kadarlık iş yapılır ve bu değeri(a) şıkkında hesaplanan işle kıyaslayınız. b) Aynı şekilde W=11, 7 k. J %29. 6 daha büyük

BİR YAYIN YAPTIĞI İŞ Kuvvetin konumla değiştiği genel bir fiziksel sistemdir. s Pürüzsüz, yatay bir yüzey üzerindeki bir cisim, sarmal bir yayla denge konumundan gerilir ve sıkıştırılırsa Fs=-kx (7. 11) Hooke Kanunu s ile verilen kuvvet uygular. Xm x: Cismin gerilmemiş (x=0) konumuna göre yerdeğiştirmesi k: yayın kuvvet sabiti olan pozitif bir sabit Hooke kanunu sadece küçük yerdeğiştirmeler durumunda geçerli k yayın sertliğinin bir ölçüsü sert yay- k değeri büyük yumuşak yay- k değeri küçük Eşitlik (7. 11) deki eksi işaret yayın etkidiği kuvvetin daima yerdeğiştirme ile zıt yönlü olduğunu ifade eder. s -Xm x = xf Fs - xi ==3 - Kuvvetin konumla değiştiği genel fiziksel sistem. 3 k

BİR YAYIN YAPTIĞI İŞ Yay kuvveti daima denge konumuna doğru etkidiği için geri çağrıcı kuvvet Şekildeki, xi = -xm den xs=O a hareket ederken yay kuvvetinin yaptığı iş Yay kuvveti yerdeğiştirme ile aynı yönlü olduğu için (herikisi de sağa doğru) yapılan iş pozitiftir. xi=0 ve xs=xm ye geren bir dış etkenin yaptığı bir dış etkinin yaptığı işi inceleyelim. Bu iş, uygulanan kuvvetle Fuy, Fs yay kuvvetinin eşit ve zıt yönlü olduğuna dikkat ederek hesaplanır. Fuy = -(-kx) = kx Kullanılarak dış kuvvetin yaptığı iş

BİR YAYIN YAPTIĞI İŞ x e karşı Fs nin grafiği, kütle x=xi den x=xs ye keyfi bir yerdeğiştirme yaparsa, yay kuvvetinin yaptığı iş Alan=1/2 kxm 2 kxm Fx 0 x xm Fx=-kx xi=-xm den xs=0 ye giderken yay kuvvetinin yaptığı net iş sıfır

Kinetik Enerji ve İş-Kinetik Enerji Teoremi m ΣF d vi vs Sabit net bir ΣF kuvvetinin etkisi altında sağa doğru hareket eden m kütleli bir parçacığı göstermektedir. Kuvvet sabit olduğu için Newtonun ikinci yasasına göre parçacığın sabit bir a ivmesiyle hareket edeceğini biliyoruz. Parçacık bir d uzaklığı kadar yerdeğiştirmişse toplam ΣF kuvvetinin yaptığı iş (7. 12) olur. Bir parçacık sabit ivme ile gittiğinde aşağıdaki bağıntılar geçerli olur. Burada vi, t=0 daki sürat ve vs t anındaki sürattir. Bu ifadelerle iş (7. 13) elde edilir.

Kinetik Enerji ve İş-Kinetik Enerji Teoremi niceliği parçacığın hareketiyle ilgili enerjiyi temsil eder. Bu nicelik kinetik enerjidir. Bir parçacığa etkileyen net sabit bir kuvveti tarafından parçacık üzerinde yapılan iş onun kinetik enerjisindeki değişime eşittir. Genel olarak bir v süratiyle hareket eden m kütleli bir parçacığın K kinetik enerjisi: (7. 14) olarak tanımlanır. Kinetik enerji skaler bir nicelik olup, iş ile aynı birime sahiptir. Örnek: 4 m/s lik süratle giden 2 kg lık bir kütlenin 16 J lük bir kinetik enerjisi vardır. Genellikle, eşitlik 7. 13 (7. 15) ile verilir. İş-Enerji teoremidir. olarak verilebilir.

Tablo 1 Çeşitli cisimler için Kinetik enerjiler Cisim Kütle (kg) Sürat(m/s) Kinetik enerji(J) Güneş etrafında dönen dünya 5, 89 x 1024 2, 98 x 104 2, 65 x 1033 Dünyanın etrafında dönen ay 7, 35 x 1022 1, 02 x 103 3, 82 x 1028 500 1, 12 x 10 4 3, 14 x 1010 Kurtulma hızında hareket eden roket 10 m den düşen taş Havadaki bir oksijen molekülü 1 5, 3 x 10 -26 14 9, 8 x 10 1 500 6, 6 x 10 -21

GÜÇ Uygulamada sadece cisim üzerinde yapılan işi bilmek ilginç değildir. Aynı zamanda işin yapıldığı süreye oranı da bilmek gerekir. GÜÇ, enerji aktarma hızıdır. Bir cisme bir dış kuvvet uygulandığında, t zaman aralığında bu kuvvetin yaptığı iş W ise, bu süredeki ortalama güç yapılan işin zaman aralığına oranı olarak tanımlanır: İş-Enerji teoremine göre, cisim üzerinde yapılan bir iş cismin enerjisini arttırır. Bu yüzden güç. zaman içinde enerji aktarma hızıdır. Δt sıfıra yaklaşırken, ortalama gücün limit değeridir:

ds yerdeğiştirmesi yaptıran F kuvvetinin yaptığı iş kullanılarak olarak ifade ederiz. Burada tanımını kullandık. SI birim sisteminde güç birimi J/s dir. Bu birim ayrıca Watt(W) olarak adlandırılır (James Watt onuruna) 1 W= 1 J/s = 1 kg. m 2 / s 2 SI birim sisteminde güç birimi J/s dir. Watt’ın sembolü, iş için kullanılan sembolle karıştırılmamalıdır.

Güç birimini kullanarak, enerji veya iş için yeni birim tanımlayabiliriz. Kilowatt. saat 1 kilowatt. saat, 1 saatte sabit hızla 1 k. W’lık tüketen veya dönüştüren enerji miktarıdır. 1 kilowatt. saat’in sayısal değeri , 1 k. Wh= (103 W). (3600 s)= 3. 6 x 106 W. s = 3. 6 x 106 J 1 kilowatt. saat güç birimi değil, enerji birimidir. Elektrik faturanızı öderken enerji satın alıyorsunuz. Kullanılan enerji miktarı genellikle k. Wh olarak ifade edilir. Örneğin 100 W lık bir elektrik ampulü 1 saatte 3. 6 x 105 J lük bir enerji tüketir.

Örneğin bir otomobilin gücü hem k. W hem de hp (beygir gücü) ile ifade edilir. Beygir gücü, genellikle otomobil ve elektrik motorlarının güçlerinin belirlenmesi için kullanılan güç birimidir. Terim, buhar makinelerinin üretilmeye başlandığı yıllarda, bu makinelerin güçlerinin olası alıcılar tarafından kolayca anlaşılabilmesi için James Watt tarafından yapılmıştır, İngilizcesi horse power olduğundan, uzantısı hp şeklinde yazılır. Kilowatt beygir gücü oranları 1 kilowatt kaç beygir gücü eder? 1. 341 hp yapar. 1 beygir gücü kaç kilowatt eder? 0. 745 kw yapar. 160 beygir gücü olan bir araba kaç kilowatt enerji üretir? 160 x 0. 745 = 119. 2 kw 1400 kilowattlık bir motorun beygir gücü ne kadardır? 1400 x 1. 341 = 1877. 4 hp Beygir Gücü, en temel şekilde anlatırsak; 75 kg ağırlığındaki bir yükün 1 saniyede 1 metre hareket ettirilmesi için gerekli olan güç miktarına denir. Aslında, gerçek bir beygirin ya da atın, 1 saniyede 1 metre ileriye taşıdığı yük miktarı, ortalamada yaklaşık 50 kg’dır. Ancak motorların gücü simge edilirken, nedense mühendisler bu ağırlığı 75 kg olarak tanımlamışlardır.

Örnek: 4 kg lık bir parçacık x-ekseni boyunca hareket etmektedir. Konumu x=t+2 t 3 e göre değişmektedir. Burada x metre, t saniye cinsindendir. a) b) c) d) Herhangi bir anda kinetik enerjiyi t anında parçacığın ivmesini ve üzerine etkiyen kuvveti t anında verilen gücü t=0 ile t=2 s aralığında parçacık üzerine yapılan işi hesaplayınız. (a) (b) (c) (d) F=m. a = 4. (12 t)= (48 t) N P = F. v = (48 t). (1+6 t 2)= (48 t +288 t 3) W

Soru : Top fırlatıcı makina 1. 2 N/cm lik kuvvet sabitli bir yaya sahiptir. Topun hareket ettiği yüzey yatayla 100 lik açı yapmaktadır. Başlangıçta yay 5 cm sıkıştırılırsa, piston serbest bırakıldığında 100 g lık topun fırlatılma hızını bulunuz. Sürtünme ve pistonun kütlesi ihmal edilmektedir. v=1. 682 m/s

Soru: 0. 6 kg kütlelei bir blok yatayla 20 o açı yapan sürtünmesiz bir eğik düzlemden aşağı doğru 6 m kaymaktadır. Daha sonra μk = 0. 5 olan pürüzlü yatay bir yüzeyde hareket etmektedir. (a) Eğik düzlemin sonunda bloğun hızı nedir? (b) Pürüzlü yüzeyde 1 m gittikten sonra hızı nedir? (c) Duruncaya kadar bu yatay düzlemde ne kadar yol alır?