Variables aleatorias Tema 4 Ignacio Cascos Depto Estadstica

Variables aleatorias Tema 4 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 1

Descripción breve del tema 1. Concepto de variable aleatoria 2. Variables aleatorias discretas y continuas n Variables aleatorias discretas (funciones de probabilidad y de distribución) n Variables aleatorias continuas (funciones de densidad y de distribución) 3. Medidas características de una variable aleatoria n Medidas de centralización n Medidas de posición n Medidas de dispersión 4. Desigualdad de Chebichev 5. Transformaciones de variables aleatorias 6. Independencia entre variables aleatorias Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 2

Objetivos o o o Manejar variables aleatorias con soltura. Manejar funciones de distribución, de probabilidad y de densidad con soltura. Calcular esperanzas de variables aleatorias y de transformaciones suyas. Calcular la distribución de una transformación de una variable aleatoria con distribución conocida. Entender el concepto de independencia entre variables aleatorias. Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 3

Descripción breve del tema 1. Concepto de variable aleatoria 2. Variables aleatorias discretas y continuas n Variables aleatorias discretas (funciones de probabilidad y de distribución) n Variables aleatorias continuas (funciones de densidad y de distribución) 3. Medidas características de una variable aleatoria n Medidas de centralización n Medidas de posición n Medidas de dispersión 4. Desigualdad de Chebichev 5. Transformaciones de variables aleatorias 6. Independencia entre variables aleatorias Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 4

Concepto de variable aleatoria Una variable aleatoria asocia un número con cada resultado del experimento aleatorio. Es aleatoria porque al no conocer el resultado del experimento antes de realizarlo, tampoco conocemos el valor que va a tomar la variable. Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 5

Concepto de variable aleatoria o Definición. Una variable aleatoria X es una aplicación X: E ® IR, donde E es el espacio muestral asociado a un experimento. X e 1 e 2 e 3 X (e 3) Ignacio Cascos X (e 2) Depto. Estadística, Universidad Carlos III X (e 1) IR 6

Concepto de variable aleatoria Los sucesos que nos interesarán a partir de ahora son del tipo XÎA donde A es un subconjunto de IR. Con probabilidades P(XÎA) = P({eÎE: X(e)ÎA}). Propiedades: 1. P(XÎA) ³ 0 ; 2. P(XÎIR) = 1 ; 3. si A 1, A 2, …ÌIR son tales que AiÇAj= Æ para i ¹ j, entonces P(XÎÈi=1, ¥ Ai)=Si=1, ¥ P(XÎAi). Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 7

Descripción breve del tema 1. Concepto de variable aleatoria 2. Variables aleatorias discretas y continuas n Variables aleatorias discretas (funciones de probabilidad y de distribución) n Variables aleatorias continuas (funciones de densidad y de distribución) 3. Medidas características de una variable aleatoria n Medidas de centralización n Medidas de posición n Medidas de dispersión 4. Desigualdad de Chebichev 5. Transformaciones de variables aleatorias 6. Independencia entre variables aleatorias Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 8

El rango de una variable aleatoria es el conjunto de valores que puede tomar. o Una variable aleatoria es discreta si su rango es finito o infinito numerable. n o Ejemplos: nº piezas defectuosas, nº lanzamientos dado hasta un 5. Una variable aleatoria es continua si en su rango contiene un intervalo. n Ignacio Cascos Ejemplos: duración batería. Depto. Estadística, Universidad Carlos III 9

Variables aleatorias discretas Dada X una variable aleatoria discreta, su función de probabilidad asigna a cada posible valor de la variable, la probabilidad de que X tome dicho valor. p: IR ® [0, 1] x ® p(x) = P(X=x) Cumple que 0 £ p(x) £ 1 para todo x y si la variable toma n valores distintos x 1, …, xn , entonces Si p(xi) = 1, así P(XÎA) = SxiÎA p(xi). Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 10

Variables aleatorias discretas Supongamos que X es el número de motores averiados en cierta máquina compuesta por tres motores. Dicha variable tendrá como función de probabilidad x 0 1 2 p(x) = P(X=x) 0’ 125 0’ 375 3 0’ 125 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 11

Variables aleatorias discretas La función de distribución evaluada en x es la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor menor o igual que x. F(x) = P(X £ x) 1. 2. 3. 4. limx® -¥ F(x) = 0 ; limx® ¥ F(x) = 1 ; F es no decreciente ; F es continua por la derecha. Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 12

Variables aleatorias discretas La función de distribución de una variable aleatoria discreta será escalonada, F(x) = P(X £ x) = Sxi £ x p(xi) Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 13

Variables aleatorias continuas Como el conjunto de valores que toma una variable aleatoria continua es no numerable, expresiones del tipo Si p(xi) = 1 no tienen sentido. Histograma para la duración de 10000 baterías. Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 14

Variables aleatorias continuas La curva f que hemos trazado sobre el segundo histograma, lo aproxima muy bien, de hecho tenemos P(2 £ X £ 4) » ò 24 f(x)dx donde X es la duración, en cientos de horas de una batería. Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 15

Variables aleatorias continuas La función de densidad f describe la distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua. Cumple: 1. f(x) ³ 0 ; 2. ò-¥+¥ f(x)dx = 1. Tenemos además P(a £ X £ b) = òab f(x)dx. Dada X v. a. continua, cumple 3. n n Ignacio Cascos P(X = a) = 0 ; P(a £ X £ b) = P(a < X £ b) = P(a £ X < b) = P(a < X < b) Depto. Estadística, Universidad Carlos III 16

Variables aleatorias continuas Calculamos la función de distribución de una variable aleatoria continua integrando su función de densidad, F(x) = P(X £ x) = ò-¥x f(t)dt 1. 2. 3. 4. limx® -¥ F(x) = 0 ; limx® ¥ F(x) = 1 ; F es no decreciente ; F es continua. Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 17

Variables aleatorias continuas Como la función de distribución es una primitiva de la función de densidad, obtenemos la función de densidad derivando la función de distribución, f(x) = d. F(x)/dx. Estamos manejando f(x) = e-x si x > 0 F(x) = 1 - e-x si x > 0 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 18

Descripción breve del tema 1. Concepto de variable aleatoria 2. Variables aleatorias discretas y continuas n Variables aleatorias discretas (funciones de probabilidad y de distribución) n Variables aleatorias continuas (funciones de densidad y de distribución) 3. Medidas características de una variable aleatoria n Medidas de centralización n Medidas de posición n Medidas de dispersión 4. Desigualdad de Chebichev 5. Transformaciones de variables aleatorias 6. Independencia entre variables aleatorias Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 19

Esperanza matemática o media La esperanza o media (m) de una variable aleatoria es el centro de gravedad de los valores que toma o X discreta, m = E[X] = åxip(xi) X continua, m = E[X] = ò xf(x)dx Propiedades: Dadas X, Y y dos números, a, b 1. E[a+b. X] = a+b. E[X] ; 2. E[X+Y] = E[X]+E[Y]. o Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 20

Esperanza matemática o media Dada una función g: IR ® IR, podemos calcular la esperanza de la variable aleatoria g(X) como o X discreta, E[g(X)] = åg(xi)p(xi) o X continua, E[g(X)] = ò g(x)f(x)dx Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 21

Mediana La mediana de una variable aleatoria X es un valor Me tal que F(Me) ³ 1/2 ; P(X ³ Me) ³ 1/2 Si X es una variable aleatoria continua, entonces F(Me) = 1/2. Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 22

Medidas de posición no central El cuantil 0 < a < 1 de una variable aleatoria X es un valor xa tal que la probabilidad de que X sea menor o igual que xa es, al menos, a y la probabilidad de que sea mayor o igual es, al menos, 1 -a. F(xa) = P(X £ xa) ³ a ; P(X ³ xa) ³ 1 -a Podemos también hablar de percentiles y de cuartiles Pa = xa/100 ; Qi = P 25 i donde 1 £ a £ 99 y 1 £ i £ 3. Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 23

Medidas de dispersión La varianza de una variable aleatoria X se define s 2 = Var[X] = E[(X-E[X])2] o X discreta, s 2 = Var[X] = å(xi-m)2 p(xi) o X continua, s 2 = Var[X] = ò (x-m)2 f(x)dx La desviación típica es la raíz cuadrada positiva de la varianza, s = (Var[X])1/2. Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 24

Medidas de dispersión Propiedad. Var[X] = E[X 2]-E[X]2 = E[X 2]-m 2 Dados a, bÎIR y una variable aleatoria X, tenemos las siguientes propiedades de la varianza 1. Var[b] = 0 ; 2. Var[a. X] = a 2 Var[X] ; 3. Var[a. X+b] = a 2 Var[X]. Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 25

Medidas de forma Describen la distribución de la variable aleatoria sin tener en cuenta su escala Momento de orden k respecto del origen, mk = E[Xk] Momento de orden k respecto de la media, mk = E[(X-m)k] o o Coeficiente de asimetría. CA = m 3/s 3 Coeficiente de apuntamiento. CAp = m 4/s 4 -3 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 26

Descripción breve del tema 1. Concepto de variable aleatoria 2. Variables aleatorias discretas y continuas n Variables aleatorias discretas (funciones de probabilidad y de distribución) n Variables aleatorias continuas (funciones de densidad y de distribución) 3. Medidas características de una variable aleatoria n Medidas de centralización n Medidas de posición n Medidas de dispersión 4. Desigualdad de Chebichev 5. Transformaciones de variables aleatorias 6. Independencia entre variables aleatorias Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 27

Desigualdad de Chebichev Si una variable aleatoria X tiene media m y varianza s 2 y dados k, e > 0, tenemos las siguientes expresiones equivalentes: P(| X-m | ³ ks) £ 1/k 2 P(| X-m | ³ e) £ s 2/e 2 P(m-ks < X < m+ks) ³ 1 -1/k 2 P(m-e < X < m+e) ³ 1 -s 2/e 2 Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 28

Descripción breve del tema 1. Concepto de variable aleatoria 2. Variables aleatorias discretas y continuas n Variables aleatorias discretas (funciones de probabilidad y de distribución) n Variables aleatorias continuas (funciones de densidad y de distribución) 3. Medidas características de una variable aleatoria n Medidas de centralización n Medidas de posición n Medidas de dispersión 4. Desigualdad de Chebichev 5. Transformaciones de variables aleatorias 6. Independencia entre variables aleatorias Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 29

Transformaciones de vables. aleatorias Dada una variable aleatoria X y una función g: IR ® IR, queremos estudiar la distribución de la variable aleatoria Y=g(X). FY(y) = P(Y £ y) = P(g(X) £ y) = P(X Î Ay) , donde Ay = {x: g(x) £ y}. En muchos casos este conjunto Ay es sencillo de calcular. Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 30

Transformaciones de vables. aleatorias Si X es una variable aleatoria discreta, tenemos FY(y) = P(Y £ y) = P(g(X) £ y) = Sg(xi) £ y p. X(xi) , además la función de probabilidad de Y será, p. Y(y) = P(Y = y) = P(g(X) = y) = Sg(xi) = y p. X(xi). Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 31

Transformaciones de vables. aleatorias Si g es continua y creciente FY(y) = P(g(X) £ y) = P(X £ g-1(y)) = FX(g-1(y)) En general, si X es una variable aleatoria continua e Y=g(X) con g derivable e inyectiva, tenemos que la función de densidad de Y cumple f. Y (y) = f. X (x) |dx/dy| Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 32

Descripción breve del tema 1. Concepto de variable aleatoria 2. Variables aleatorias discretas y continuas n Variables aleatorias discretas (funciones de probabilidad y de distribución) n Variables aleatorias continuas (funciones de densidad y de distribución) 3. Medidas características de una variable aleatoria n Medidas de centralización n Medidas de posición n Medidas de dispersión 4. Desigualdad de Chebichev 5. Transformaciones de variables aleatorias 6. Independencia entre variables aleatorias Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 33

Independencia de variables aleatorias Dos variables aleatorias X e Y se dicen independientes si para cualesquiera A, BÌIR, P((XÎA)Ç(YÎB)) = P(XÎA)P(YÎB) Equivalentemente, para cualesquiera x, yÎIR P((X £ x)Ç(Y £ y)) = P(X £ x)P(Y £ y) Propiedad. Si X e Y son independientes, Var[X+Y] = Var[X]+Var[Y] Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 34