Variables Aleatorias Distribucin Binomial Distribucin de Poisson Distribucin

Variables Aleatorias Distribución Binomial Distribución de Poisson Distribución Hipergeométrica

Variables aleatorias § Una Variable es cualquier característica que puede tomar distintos valores. Por ejemplo: Temperatura, Presión, Coeficiente Intelectual, Peso, Estatura, etc. § Es una función que asigna un número real a cada resultado del Espacio Muestral de un Experimento Aleatorio.

Clasificación § 1. VARIABLE ALEATORIA DISCRETA: Es aquella variable que puede tomar un número de valores finito o infinito contable, y éstos pueden arreglarse en una secuencia que corresponde con los enteros positivos. Generalmente las VA discretas representan datos que se cuentan, tales como: número de artículos defectuosos de una muestra de k artículos, número de accidentes por año en una vía rápida § 2. VARIABLE ALEATORIA CONTINUA: Es aquella cuyo conjunto de valores abarca todo un intervalo de valores en la recta numérica. Generalmente la VA continuas representan datos medidos, tales como: alturas, pesos, temperaturas, distancias o periodos de vida. § Tanto las variables aleatorias Discretas como Continuas pueden asumir cada uno de sus valores con una cierta probabilidad.

La Distribución Binomial

La Distribución Binomial § Experiencias binomiales Toda experiencia aleatoria que presenta dos resultados posibles, uno que fijamos como “éxito” y lo contrario como “fracaso” se suele denominar de tipo Bernouilli. Cuando se realizan n pruebas independientes de tipo Bernouilli decimos que es una experiencia aleatoria de tipo Binomial. Por ejemplo las siguientes experiencias son de tipo Binomial: § Jugar 10 veces a cara o cruz. § Obtener el “ 4” en el lanzamiento de 15 dados. § Obtener “copas” al extraer una carta 8 veces de la baraja española. § • La fabricación de 1000 piezas en un factoría (aceptable o defectuosa). § • El lanzamiento a una canasta n veces (encestar o fallar).

Distribución de Poisson

Distribución de Poisson § La distribución de Poisson se utiliza en situaciones donde los sucesos son impredecibles o de ocurrencia aleatoria. En otras palabras no se sabe el total de posibles resultados. § Es muy útil cuando la muestra o segmento n es grande y la probabilidad de éxitos p es pequeña. § Se utiliza cuando la probabilidad del evento que nos interesa se distribuye dentro de un segmento n dado como por ejemplo distancia, área, volumen o tiempo definido.

Distribución de Poisson § La distribución de probabilidad de Poisson es un ejemplo de distribución de probabilidad discreta. § La distribución de Poisson parte de la distribución binomial. § Cuando en una distribución binomial se realiza el experimento muchas veces, la muestra n es grande y la probabilidad de éxito p en cada ensayo es baja, es aquí donde aplica el modelo de distribución de Poisson.

Función de probabilidad de la distribución de Poisson. § Donde: § P(X=K) es la probabilidad de ocurrencia cuando la variable discreta X toma un valor finito k. § λ = Lambda es la ocurrencia promedio por unidad (tiempo, volumen, área, etc. ). Es igual a p por el segmento dado. La constante e tiene un valor aproximado de 2. 711828 § K es el número de éxitos por unidad

Ejemplo 1 § La probabilidad de que haya un accidente en una compañía de manufactura es de 0. 02 por cada día de trabajo. Si se trabajan 300 días al año, ¿cuál es la probabilidad de tener 3 accidentes? § Como la probabilidad p es menor que 0. 1, y el producto n * p es menor que 10 (300 * 0. 02 = 6), entonces, aplicamos el modelo de distribución de Poisson: § Al realizar la operación tenemos que P(x = 3) = 0. 0892 § Por lo tanto, la probabilidad de tener 3 accidentes laborales en 300 días de trabajo es de 8. 9%.

Ejemplo 2 § La probabilidad de que un producto salga defectuoso es de 0. 012. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 800 productos ya fabricados hayan 5 defectuosos? § En este ejemplo vemos nuevamente la probabilidad p menor que 0. 1, y el producto n * p menor que 10, por lo que aplicamos el modelo de distribución de Poisson: § El resultado es P (x = 5) = 0. 04602 § Por lo tanto, la probabilidad de que haya 5 productos defectuosos entre 800 recién producidos es de 4. 6%.

DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA § Los experimentos que tienen este tipo de distribución tienen las siguientes características: § a) Al realizar un experimento con este tipo de distribución, se esperan dos tipos de resultados. § b) Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son constantes. § c) Cada ensayo o repetición del experimento no es independiente de los demás. § d) El número de repeticiones del experimento (n) es constante.