Variabel Acak Distribusi Probabilitas Eko Setiawan ST Variabel

Variabel Acak & Distribusi Probabilitas Eko Setiawan, ST.

Variabel Acak Variabel acak merupakan deskripsi numerik dari keluaran eksperimen acak Variabel acak diskrit: memiliki nilai yang dapat dicacah ◦ Ruang sample memiliki titik sampel yang dapat dihitung Variabel acak kontinu: memiliki nilai yang tak terhingga sepanjang interval tertentu ◦ Ruang sample memiliki titik sample yang tidak dapat dihitung ◦ Biasa diperoleh dari hasil pengukuran

Contoh Soal Sebuah uang logam dilemparkan 2 kali, sehingga S = {HH, HT, TH, TT}. Jika X adalah jumlah gambar / kepala (H) yang akan muncul maka nilai x yang mungkin muncul adalah: S HH HT TH TT X 2 1 1 0

Distribusi Probabilitas Diskrit Jika didaftar semua nilai variabel acak diskrit X: x 1, x 2, x 3, …, xn Dan didaftar semua probabilitas yang berkaitan p(x 1), p(x 2), p(x 3), …, p(xn) Pasangan xn dengan p(xn) disebut fungsi probabilitas atau distribusi probabilitas P(X=xn) = p(xn) f(3) = P(X=3)

Sifat Fungsi Probabilitas 1) 1 ≥ f(x) ≥ 0 2) ∑f(x) = 1 3) P(X=x) = f(x)

Fungsi Distribusi Kumulatif Fungsi distribusi kumulatif adalah jumlah dari seluruh nilai fungsi probabilitas untuk X sama atau kurang dari x Fungsi distribusi kumulatif sering ditampilkan dalam grafik tangga (step)

Grafik Distribusi

Contoh Soal Pengiriman 8 buah PC ke sebuah toko terdapat 3 buah PC yang cacat. Jika universitas B membeli 2 PC secara acak , a) gambarkan grafik distribusi probabilitas terpilihnya PC cacat b) gambarkan grafik fungsi distribusi kumulatifnya

a) X = variabel acak terpilihnya PC cacat x dapat bernilai 0, 1, atau 2 Gambar?

b) diketahui: f(0) = 10/28, f(1) = 15/28, f(2) = 3/28 F(0) = f(0) = 10/28 F(1) = P(X≤ 1) = f(0) + f(1) = 10/28 + 15/28 F(2) = f(0) + f(1) + f(2) = 10/28 + 15/28 + 3/28 Gambar? f(2), jika diketahui F(x) ?

Distribusi Probabilitas Kontinu Fungsi kerapatan probabilitas (probability density function) menggambarkan besarnya probabilitas tiap unit dalam interval variabel acak Kemungkinan variabel acak kontinu memberikan nilai pasti adalah nol

Fungsi Kerapatan Probabilitas 1) f(a) ≥ 0, x є R 2) 3) 2

Fungsi Distribusi Kumulatif Fungsi distribusi kumulatif merupakan jumlah semua fungsi kerapatan probabilitas kontinu yang kurang dari atau sama dengan x

Contoh Soal Fungsi distribusi dari variabel acak X diketahui: Tentukan: a) fungsi kerapatannya b) probabilitas dari X > 2 c) probabilitas dari -3 < X ≤ 4

a) fungsi kerapatan b) probabilitas X > 2

c) probabilitas dari -3 < X ≤ 4

Distribusi Probabilitas Gabungan Jika X dan Y merupakan variabel acak distribusi probabilitas untuk dua kejadian bersama dapat dituliskan dalam f(x, y) yang dikenal dengan distribusi probabilitas gabungan

Distribusi Probabilitas Gabungan 1). f(x, y) ≥ 0, untuk semua (x, y) 2). ∑x∑y f(x, y) = 1 3). P(X = x, Y = y) = f(x, y)

Contoh Dua jenis refill untuk spidol dipilih secara acak dari 3 refill biru, 2 refill merah, dan 3 refill hijau. Jika X adalah jumlah refill biru dan Y adalah jumlah refill merah yang dipilih, tentukan. a)Fungsi probabilitas gabungan f(x, y) b)P{(X, Y) Є A}, dengan A adalah {(x, y)|x+y ≤ 1}

a) Fungsi probabilitas gabungan f(x, y) Pasangan yang mungkin: (0, 0), (0, 1), (1, 0), (0, 2), (2, 0) f(0, 1) = hijau & merah terpilih 1 merah & 1 hijau = 2 C 1. 3 C 1 = 6 total = 8 C 2 = 28 f(0, 1) = 6/28 = 3/14 b) P{(X, Y) Є A}, A adalah {(x, y)|x+y ≤ 1} P{(X, Y) є A} = P(X+Y ≤ 1) = f(0, 0)+f(0, 1)+f(1, 0) = 3/28 + 3/14 + 9/28 = 9/14 (1, 1),

Hukum Fungsi Kerapatan Gabungan 1) f(x, y) ≥ 0, untuk semua (x, y) 2) 3)

Distribusi Marginal Distribusi probabilitas g(x) dapat diperoleh dengan menjumlahkan f(x, y) pada semua Y, begitu juga untuk h(y) g(x) dan h(y) disebut distribusi marginal

Distribusi Bersyarat Distribusi probabilitas variabel acak dengan syarat distribusi probabilitas variabel acak lainnya sudah terjadi sebelumnya

Contoh Soal Fungsi probabilitas gabungan dari dua variabel acak diskrit X dan Y diketahui f(x, y) = c(2 x+y) pada 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2 dan f(x, y) = 0 untuk x, y lainnya a) Tentukan nilai konstanta c b) Tentukan P(X=2, Y=1) c) Tentukan P(X≥ 1, Y≤ 2) d) Tentukan fungsi probabilitas marginal dari X dan Y e) Buktikan variabel acak X dan Y tidak bebas f) Tentukan f(y|2) dan P(Y=1|X=2)

a) ∑ f(x) = 1 42 c = 1/42 b) P(X=2, Y=1) = 5 c = 5/42 c) P(X ≥ 1, Y ≤ 2) = ∑x ≥ 1 ∑ y ≤ 2 f(x, y) = (2 c + 3 c + 4 c) + (4 c + 5 c + 6 c) = 24 c = 24/42 = 4/7

d) fungsi probabilitas marginal X and Y

e) variabel acak X and Y tidak saling bebas

f) f(y|2) dan P(Y=1|X=2)

Contoh Soal Diketahui distribusi gabungan variabel acak (X, Y), dengan X adalah perubahan temperatur dan Y adalah pergeseran spektrum atom sebagai berikut. a) Tentukan kerapatan marginal g(x), h(y) dan kerapatan bersyarat f(y|x) b) Tentukan probabilitas saat spektrum bergeser lebih dari setengah, diberikan nilai temperatur naik hingga 0, 25

a) Fungsi kerapatan distribusi marginal dan bersyarat

b) Probabilitas spektrum bergeser lebih dari setengah diberikan nilai temperatur naik hingga 0, 25

Terima Kasih