ValueatRisk Anlisis y Gestin de Riesgo Distintos tipos

Value-at-Risk Análisis y Gestión de Riesgo

Distintos tipos de riesgo Riesgo de crédito Riesgo de reinversión Riesgo de iliquidez Riesgo país Riesgo de tipo de cambio Riesgo operativo Riesgo de mercado Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 2

Riesgo: algunos aspectos por considerar ¨ Un problema esencial asociado al término es que no se cuenta con una definición única para “riesgo”. Se pueden obtener ventajas relativas al trabajar con distintas técnicas para implementar su medición. ¨ Del diccionario: n n n Contingencia o proximidad de un daño (un “risco”) El peligro o la posibilidad de sufrir pérdidas El monto que una compañía puede perder La variabilidad de los retornos de una inversión La posibilidad de no recibir el pago de una deuda Cada una de las contingencias que pueden ser objeto de un contrato de seguro Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 3

Visión intuitiva del riesgo de mercado n Puntos por considerar: La oscilación de las variables económicas clave. ¨ Cambios en el perfil de riesgo de una empresa, de un patrimonio o de una emisión particular. ¨ Valor de la diversificación de portafolio: riesgo diversificable y riesgo no diversificable. ¨ Límites impuestos a la diversificación (legales o institucionales). ¨ n Consecuencias Efectos directos e indirectos sobre el valor de los componentes de un portafolio. ¨ Efecto acumulado sobre el valor total del portafolio. ¨ Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 4

Riesgo simétrico versus riesgo asimétrico n Algunas medidas de riesgo simétrico: ¨ Desviación estándar y varianza ¨ Desviación absoluta respecto a la media n Algunas medidas de riesgo asimétrico: ¨ Semidesviación estándar ¨ Probabilidades empíricas de pérdida ¨ Value-at-Risk Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 5

Riesgo simétrico versus riesgo asimétrico Distribución asimétrica hacia ganancias Resultado esperado Distribución asimétrica hacia pérdidas Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 6

Riesgo simétrico versus riesgo asimétrico n Ambas tienen el mismo riesgo simétrico n Los indicadores asimétricos identifican la segunda distribución de resultados como más riesgosa que la primera Distribución asimétrica hacia ganancias Resultado esperado Distribución asimétrica hacia pérdidas Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 7

Definición del Value-at-Risk n Presupuestos ¨ Es posible reunir información representativa sobre los posibles resultados de una inversión en el corto plazo. n n n Datos históricos o supuestos expertos Esta información permite describir el futuro (“comportamiento estable”) Tres elementos distintivos de la definición ¨ El Value-at-Risk incorpora: Criterio asimétrico Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín Horizonte de inversión Significancia estadística 8

Definición del Value-at-Risk n Definición Es la máxima pérdida esperada dentro de un horizonte de inversión de “n” días con una probabilidad de error de “α”% Criterio asimétrico Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín Horizonte de inversión Significancia estadística 9

Qué es Value at Risk (Va. R) n El Va. R resume la pérdida máxima esperada (o peor pérdida) a lo largo de un horizonte de tiempo objetivo dentro de un intervalo de confianza dado. El cálculo del Va. R está dirigido a elaborar un reporte de la siguiente forma: Se tiene una certeza de X% de que no se perderá más de V dólares en los siguientes N días ¨ V es el Va. R de N -días para un nivel de confianza de X% ¨ Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 10

Metodologías Va. R alternativas n Método “Analítico” (Delta Normal) Método “Montecarlo” (Simulaciones) Las similitudes ¨ n Las diferencias ¨ Método “Histórico” (Histogramas) Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín Los tres métodos buscan estimar un valor crítico para las pérdidas potenciales. Cada método realiza distintos supuestos acerca de qué valores son representativos sobre las futuras pérdidas potenciales y cómo éstas se distribuyen estadísticamente. 11

Metodologías Va. R alternativas Método “Analítico” (Delta Normal) Método “Montecarlo” (Simulaciones) Método “Histórico” (Histogramas) Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 12

Va. R Analítico - Delta Normal n Supuestos ¨ El supuesto clave es que es posible conocer la función de distribución de rendimientos (futuros) de la inversión o paquete de inversiones que se plantea manejar. ¨ Se asume que la distribución es normal (y, por ello, simétrica), con media y varianza conocidas. ¨ Sin embargo… n n n ¿Es realmente normal? Problemas de estabilidad de medias y varianzas ¿De dónde procede la información sobre media y varianza? ¿Y los momentos superiores? A partir de los supuestos sobre la distribución, es posible calcular directamente el percentil de riesgo apropiado. Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 13

Va. R Analítico - Delta Normal Probabilidad de ocurrencia 0 -2% -1% 0% 1% 2% Posibles valores de la variable aleatoria Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 14

Va. R Analítico - Delta Normal Probabilidad de ocurrencia Posibles valores de la variable aleatoria 0 μ -3σ μ -2σ μ-1σ μ μ +1σ μ +2σ μ +3σ 68. 26% 95. 44% 99. 74% Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 15

Va. R Analítico - Delta Normal Probabilidad de ocurrencia 5% 90% 5% Posibles valores de la variable aleatoria ¨ Con una probabilidad de 95% en una cola … n n =DISTR. NORM. ESTAND. INV(5%)= -1. 6448 Valor crítico: 1. 6448 Desviaciones estándar Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 16

Va. R Analítico - Delta Normal n Generalización ¨ Si llevamos esta generalidad a una distribución normal N(m, s) tendríamos que normalizar para calcular qué valor de “x” se superará con una probabilidad de 5%. Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 17

Va. R Analítico - Delta Normal n n Los dos componentes: la media y la volatilidad ¨ La media (μ) de los rendimientos suele calcularse como el promedio aritmético de las rentabilidades observadas en el corto plazo. Distinguir la diferencia entre media aritmética y geométrica en este caso. ¨ La volatilidad (σ) de los rendimientos se aproxima utilizando la desviación estándar de las rentabilidades observadas en el corto plazo. Conversión de plazos ¨ Es común (aunque no recomendable) convertir los rendimientos y volatilidades de un día en sus correspondientes anuales del siguiente modo: Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 18

Va. R Analítico - Delta Normal n Período de anulación de riesgo El periodo de Anulación de Riesgo (Defeasance Period), es el horizonte de tiempo elegido al cual se hará referencia para el cálculo de la medida de riesgo. ¨ Las medidas de riesgo vendrán referenciadas en función de ese horizonte temporal. ¨ n Rendimiento: n Volatilidad: Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 19

Va. R Analítico - Delta Normal n El intervalo de confianza Según la propuesta del Comité de Basilea[1] el intervalo de confianza ideal es de 99% (1% de probabilidad, -2. 33 desviaciones estándar) a 10 días. ¨ Según la metodología de Risk. Metrics[2] es de un 95% (5% de probabilidad y -1. 65 desviaciones estándar) a 1 día. ¨ n n [1] Banco de Pagos Internacionales, “Amendment to the Capital Accord to Incorporate Markets Risk”, Comité de Basilea, Suiza, Enero de 1996. [2] Riskmetrics “Technical Document” – JP Morgan 1996 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 20

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Dow Jones desde enero de 1997 hasta marzo del 2001 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 22

Data-> 1302 días Mean -> 0. 000553448 Standard. Deviation -> 0. 0112249 Kurtosis -> 6. 78236 Skewness -> -0. 489853 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 23

Asunción de Normalidad Data-> 252 días Mean -> -0. 0000567592 Skewness -> -0. 101167 Kurtosis -> 3. 557397 Standard. Deviation -> 0. 0109072 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 24

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Metodologías Va. R alternativas Método “Analítico” (Delta Normal) Método “Montecarlo” (Simulaciones) Método “Histórico” (Histogramas) Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 26

Va. R Montecarlo n Supuestos ¨ El supuesto clave es que es posible conocer la función de distribución de rendimientos (futuros) de la inversión o paquete de inversiones que se plantea manejar. ¨ Se asume que la distribución es una distribución conocida (no necesariamente normal o simétrica). ¨ Para ello es posible utilizar algún procedimiento de ajuste o bootstrapping. ¨ Sin embargo… n n ¿Es necesario que una serie de rendimientos se distribuya siguiendo un patrón conocido? Problemas de estabilidad de parámetros Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 27

Va. R Montecarlo n Procedimiento A partir de los supuestos sobre las distribuciones y sus covarianzas, es posible generar numerosos rendimientos futuros hipotéticos. ¨ Mediante la combinación de dichos retornos, se puede estimar resultados alternativos del portafolio y formar así un histograma empírico. ¨ Finalmente, a partir de este histograma, se puede estimar el percentil de riesgo apropiado. ¨ n En síntesis Se asume que las distribuciones son conocidas y se generan numerosos “mundos imaginarios” que siguen estas distribuciones. ¨ El Va. R se calcula comparando dichos escenarios simulados. ¨ Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 28

Movimiento Browmiano Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 29

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Simulación de Montecarlo 1) Selección un proceso estocástico y sus parámetros. 2) Elección de la amplitud de periodo u horizonte de tiempo. 3) Selección de la serie de variables aleatorias. 4) Cálculo del pronóstico al final del horizonte temporal. 5) Creación de numerosos caminos aleatorios y de sus precios finales. 6) Cálculo de la distribución de los precios finales 7) Cálculo del Va. R 8) Simulación con un mayor número de caminos aleatorios. Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 31

Selección de la serie de variables aleatorias: 10 pasos n {7715. 4, 7747. 79, 7838. 4, 7945. 7, 8071. , 8061. 95, 7968. 63, 7996. 51, 8014. 19, 8008. 27, 8225. 35} Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 32

Simulación: 50 pasos {8231. 28, 8326. 23, 7752. 63, 7515. 54, 7692. 93, 7722. 12, 7406. 46, 8215. 77, 7733. 26, 7708. 26, 7667. 66, 7987. 14, 7659. 5, 7724. 84, 7505. 23, 7607. 72, 7960. 08, 7215. 38, 7663. 24, 7633. 67, 7740. 72, 7823. 22, 7952. 66, 7272. 22, 7703. 3, 8171. 57, 7435. 34, 7850. 22, 7851. 2, 7836. 13, 7618. 75, 7606. 02, 7762. 65, 7480. 32, 8018. 9, 7843. 87, 7689. 99, 7695. 14, 7600. 88, 7699. 05, 7423. 71, 7759. 96, 8210. 56, 7269. 68, 7564. 04, 7829. 16, 7473. 52, 7795. 48, 8258. 2, 7581. 22} Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 33

200 caminos Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 34

500 caminos Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 35

Histograma: 200 Mean -> 7707. 1, Standard. Deviation -> 256. 394, Skewness -> 0. 0282609, Kurtosis -> 2. 80355 Va. R= 7094 - 7703. 24=-609. 24 puntos de indice Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 36

Histograma: 500 Va. R=7107. 14 - 7707. 1=-599. 96 puntos de índice Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 37

Metodologías Va. R alternativas Método “Analítico” (Delta Normal) Método “Montecarlo” (Simulaciones) Método “Histórico” (Histogramas) Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 38

Va. R Histórico n n Supuestos ¨ A diferencia de los dos primeros métodos, este enfoque no realiza supuestos sobre la manera de “suavizar” la distribución de los retornos. ¨ Se mantiene el supuesto previo de que el comportamiento pasado es representativo del futuro cercano. Procedimiento ¨ Se utiliza el propio histograma empírico de los retornos históricos para calcular el nivel de pérdidas crítico. ¨ Notar que los patrones de covarianza entre variables se incorporan directamente en el procedimiento. Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 39

Va. R Histórico – Síntesis del proceso Variables actuales Cambios históricos Tasas de interés Tipos de cambio Spreads de riesgo + Índices bursátiles Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín Spreads de riesgo Valores posibles = Spreads de riesgo Índices bursátiles Histograma de valores posibles Valoración del portafolio 40

¿Qué hay más allá del Value-at-Risk? Análisis y Gestión de Riesgo

¿Por qué el Va. R no es suficiente? n Los trabajos de Artzner y Delbaen (1997), demuestran que el Va. R tiene características indeseables: n n Falta de subaditividad Falta de convexidad n Por ello, de modo agregado se dice que el Va. R no es una medida “coherente” de riesgo. n El Va. R únicamente es coherente cuando está basado en distribuciones continuas normalizadas (ya que para una distribución normal el Va. R es proporcional a la desviación estándar). Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 42

¿Qué es el CVa. R? n Definición ¨ El Conditional-Value-at-Risk (CVa. R) a un nivel de confianza dado es la pérdida esperada entre las pérdidas que son mayores que el Va. R. ¨ Dicho de otra forma, es la pérdida esperada que es más grande o igual que el Va. R. [Uryasev S. , y Rockafellar, R. T 2000] n Implicancias ¨ Es un promedio de las pérdidas que exceden el Va. R. ¨ Va a ser un indicador que no sólo tiene en cuenta el Va. R sino también las pérdidas extremas de la distribución. Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 43

Acción de Yahoo Va. R -> -4. 899% CVa. R-> -7. 166% Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 44

Acción de Yahoo (Variantes) Va. R -> -4. 899% CVa. R-> -9. 125% CVa. R-> -11. 29% Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 45

Resumen de las ventajas del CVa. R n El CVAR calcula riesgos más allá del VAR lo que la hace una medida más conservadora, puesto que por definición así lo exige, por lo que el CVAR domina al VAR. n El CVAR tiene la propiedad de ser una función siempre convexa respecto a las posiciones lo que permite la optimización en la posición de una cartera. n El CVAR es continuo respecto al nivel de confianza. n Es consistente con la aproximación de mínima varianza, ya que la cartera de mínima varianza es la que minimiza también el CVAR. Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 46

Sol Meliá Telefónica BSCH 486 observaciones Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 47

Carteras de dos acciones - Telefónica y BSCH CVa. R Valor del portafolio Telefónica Evolución del Va. R y del CVa. R en función a la proporción invertida en Telefónica (w 1) para un nivel de confianza del 95% y un horizonte temporal de un día. Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 61. 22% Telefónica 38. 78% BSCH CVa. R -> 5. 190% 48

El Va. R para tres acciones - Sol Meliá, Telefónica y BSCH Va. R Sol Meliá Telefónica Sol Meliá Evolución del Va. R en función a la proporciones invertidas en Sol Meliá (w 1) , Telefónica (w 2) y BSCH (1 - w 1 - w 2) para un nivel de confianza del 95% y un horizonte temporal de un día. Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 49

El CVa. R para tres acciones - Sol Meliá, Telefónica y BSCH CVa. R Sol Meliá Telefónica Sol Meliá Evolución del CVa. R en función a la proporciones invertidas en Sol Meliá (w 1) , Telefónica (w 2) y BSCH (1 - w 1 - w 2) para un nivel de confianza del 95% y un horizonte temporal de un día. Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 48. 94% Sol Meliá 46. 03% Telefónica 5. 03% BSCH CVa. R -> 4. 530% 50

Descomposición del Va. R (1) Va. R Incremental Va. R Marginal Va. R Portfolio Va. R 100% Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín Posición en un activo 51

Descomposición del Va. R (2) n Beta Va. R ¨ Busca repartir el riesgo total entre cada una de las inversiones individuales, usando como coeficiente el índice “beta” entre el rendimiento del activo individual y el rendimiento de la cartera en su totalidad. Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 52

Ejercicios n Cálculo del CVa. R y descomposición del Va. R con CVa. R Expert Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 53

CVa. R Histórico (1) Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 54

CVa. R Histórico (2) Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 55

CVa. R Histórico (3) Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 56

CVa. R Histórico (4) Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 57

5. Aplicación del Value-at-Risk Siete lecciones importantes

Primera lección G. I. G. O. (Garbage in… garbage out) n Aspectos por considerar ¨ Cuidado con la forma de calcular rendimientos n ¨ Un Va. R a “n” días debería ser calculado utilizando rendimientos a “n” días. No es lo mismo calcular un retorno a 1 día y reexpresarlo utilizando el principio de las potencias. Cuidado con las eliminaciones de datos n n Al emplear el análisis histórico, debe cuidarse que todas las variables consideradas utilicen las mismas fechas de datos. Si se encuentran vacíos, es necesario reexpresar los retornos para que todos se encuentren en la misma base de tiempo Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 59

Segunda lección Usar el método más robusto n En un mercado ilíquido y poco profundo, se presentan: ¨ Discontinuidades en los rendimientos ¨ “Colas anchas” (incertidumbre producida por casos extremos) ¨ Histogramas caprichosos n Siempre que sea posible, conviene utilizar el método histórico para procesar la información. n Considerar que también existen mecanismos de análisis de riesgo más robustos que el Va. R ¨ CVa. R ¨ Beta. Va. R ¨ Incremental. Va. R… Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 60

Tercera lección Identificar claramente los factores de mercado n ¿A qué factores de riesgo está expuesto el valor de la cartera? ¨ Tasas de interés n n n ¨ Tipos de cambio n ¨ ¿Es plana la curva de retornos? ¿Se desplaza paralelamente o puede girar? ¿Son constantes los spreads de riesgo por categoría? ¿En qué moneda se busca preservar el valor? Índices bursátiles n ¿Es posible asociar el retorno de activos individuales a índices sectoriales, selectivos o generales? Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 61

Cuarta lección Reconocer que habrá información faltante… n …e implementar soluciones consistentes ¨ ¿Qué hacer con los activos que no tienen precios de mercado? n n n ¨ Renta fija: valoración teórica cuidadosa Renta variable: uso cuidadoso de índices y sensibilidades Alternativa integral: usar el vector de precios ¿Qué hacer con las tasas de interés? n n Es necesario construir curvas de retornos para los distintos tipos de inversiones (nacionales, soberanas, internacionales). Observar la necesidad de realizar interpolaciones y evitar los “andenes”. Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 62

Quinta lección Integrar el análisis de riesgo en la plataforma operativa n El análisis Va. R debe ser permanente Idealmente, la institución debería poder contar con la información actualizada diariamente. ¨ Esto implica un reto a nivel del flujo de datos precisos sobre posiciones y cotizaciones de instrumentos. ¨ El considerable volumen de datos involucrados introduce el riesgo de errores humanos. ¨ Debe buscarse incorporar la generación de reportes de riesgo de modo automatizado. ¨ Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 63

Sexta lección Calibrar el sistema a las necesidades de la empresa n Utilizar el Va. R ajustado a la media y el Va. R relativo ¨ ¿Cuánto se desvía la pérdida máxima del nivel esperado? ¨ ¿Cuánto representa la pérdida como proporción de la cartera? n Imponer límites a la exposición de riesgo ¨ Definir un sistema de alertas en función de las pérdidas relativas proyectadas. n Poner a prueba su eficacia ¨ Utilizar procedimientos de back-testing para corroborar la capacidad predictiva del sistema y realizar los ajustes necesarios. Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 64

Sétima lección Distinguir el propósito de reporte normativo y el propósito de gestión de riesgo n Los reportes solicitados por la Superintendencia de Banca pueden ser útiles con fines regulatorios, pero no necesariamente ofrecen la mejor evidencia para dirigir la empresa. n Puntos por considerar: ¨ Definir claramente el ámbito de la “cartera” sujeta a riesgo. ¨ Acercarse a los usuarios finales de los reportes de riesgo. Explorar la demanda de información. ¨ Capacitar a los potenciales usuarios. Permitir decisiones informadas. ¨ Un mismo reporte no es para todos. ¨ Explicitar las “funciones objetivo” de cada área y cada funcionario. ¨ Incorporar en la cadena a personal especializado. ¨ No perder de vista: “¿Qué hay más allá del Va. R? ” Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 65

Método analítico n n V: = vector de flujos W: =vector de proporciones Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 66

Va. R Incremental n n El Va. R incremental tiene por objeto calcular cuál es el Va. R que aporta cada FM al Va. R total de la cartera. Mide cual es la contribución al riesgo de un activo al portafolio de la cartera Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 67

Va. R Incremental Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 68

Análisis Empírico: Medidas Clásicas vs. Medidas Modernas

Características de los Bonos Tabla 20. 1 Características de los Bonos Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 70

Estadísticos y gráficos de la evolución de los rendimientos: SERIE 2000 -2003 SERIE 1993 -1997 Fuente: Reserva federal Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 71

Medidas Clásicas de Gestión Tabla 20. 4 Medidas Clásicas de los bonos Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 72

CAMBIOS PARALELOS La cartera con mayor convexidad es la Cartera 6 (con 71. 427). Le sigue la Cartera 3 (con 71. 373 de convexidad). CAMBIOS NO PARALELOS Tabla 20. 5 Medidas clásicas de las carteras Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín La Cartera 19 y la Cartera 20 serían las mejores ya que la Cartera 19 minimiza el M-2 y la Cartera 20 minimiza el Ñ. 73

Asumiendo Normalidad Principales Carteras 1993 -1997 Principales Carteras 2000 -2003 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 74

Distribuciones Reales Va. R y CVa. R de las Principales Carteras 1993 -1997 Va. R y CVa. R de las Principales Carteras 2000 -2003 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 75

OPTIMIZACIÓN DE LA CARTERA DE MÍNIMO CVAR (INDEPENDIENTE DE LA DURACIÓN) 1993 -1997 CARTERA 1 CARTERA 4 W 1 = 40. 35% W 9 = 59. 65% W 2 = 34. 932% W 9 = 65. 058% CVa. R = 5. 824% Dm = 4. 045 Cnx = 26. 749 M 2= 5. 28 CVa. R = 6. 250% Dm = 4. 322 Cnx = 29. 048 M 2= 5. 286 CARTERA 2 CARTERA 5 W 1 = 45. 495% W 10 = 54. 505% W 2 = 43. 04% W 10 = 56. 96% CVa. R = 5. 393% Dm = 4. 941 Cnx = 43. 157 M 2= 18. 014 CVa. R = 5. 819% Dm = 5. 118 Cnx = 45. 038 M 2= 18. 014 CARTERA 3 CARTERA 6 W 1 = 40. 059% W 11 = 56. 941% W 1 = 41. 42% W 9 = 58. 58% CVa. R = 5. 443% Dm = 7. 366 Cnx = 112. 407 M 2= 99. 303 CVa. R = 5. 869% Dm = 7. 548 Cnx = 115. 603 M 2= 99. 30 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 76

OPTIMIZACIÓN DE LA CARTERA DE MÍNIMO CVAR (INDEPENDIENTE DE LA DURACIÓN) 2000 -2003 CARTERA 1 CARTERA 4 W 1 = 33. 99% W 9 = 66. 01% W 2 = 33. 92% W 9 = 57. 08% CVa. R = 10. 386% Dm = 4. 373 Cvx = 29. 447 M 2= 9. 013 CVa. R = 10. 707% Dm = 4. 374 Cvx = 29. 476 M 2= 4. 374 CARTERA 2 CARTERA 5 W 1 = 32. 52% W 10 = 67. 48% W 2 =32. 51% W 10 = 68. 49% CVa. R = 10. 302% Dm = 5. 886 Cvx = 17. 443 M 2= 17. 443 CVa. R = 10. 638% Dm = 5. 885 Cvx = 53. 094 M 2= 17. 456 CARTERA 3 CARTERA 6 W 1 = 32. 17% W 11 = 67. 83% W 1 = 40. 52% W 9 = 59. 48% CVa. R = 9. 934% Dm = 8. 589 Cvx = 133. 629 M 2= 72. 589 CVa. R = 10. 238% Dm = 7. 649 Cvx = 117. 350 M 2= 65. 667 Instrumentos de Renta Fija – Profesor: Miguel Angel Martín 77