Vals szmok Def Egy algebrai struktra rendezett test
Valós számok Def. Egy algebrai struktúra rendezett test, ha test és rendezett integritási tartomány. Def. Egy (T; +, ; ) rendezett test felső határ tulajdonságú, ha minden nem üres felülről korlátos részhalmazának létezik T - ben felső határa (legkisebb felső korlátja). 1
3. 3. 6. izomorfizmus Azt jelenti, hogy lényegében 1 db felső határ tulajdonságú test van! Def. Egy (vagy a) felső határ tulajdonságú testet a valós számok testének nevezünk (nevezzük), jelben. 3. 3. 11. 2
Néhány függvény: abszolút érték: | x | = x, ha x 0 –x, ha x < 0 előjel: sgn(x) = 0, ha x = 0 x / | x |, kül. alsó egész rész: x = Z legnagyobb eleme, amely nem nagyobb, mint x. felső egész rész: x = Z legkisebb eleme, amely nem kisebb, mint x. Észrevételek: x = 0, Ha x > 0: arkhi. tul. ból és N jólrendezettségéből n N+, ahol n a legkisebb olyan természetes szám, amely n x n = x , ekkor ha x = n N+ x = n, különben x = n – 1. ha x < 0 x = – – x = n, különben x = – – x . 3
Bővített valós számok 4 Rendezés kiterjesztése: – ∞ < x < +∞ teljesüljön minden x valósra. Bármely részhalmaznak van szuprémuma és infinuma. sup = – ∞, inf = + ∞. Összeadás x valósra (nem mindenütt értelmezett): x + (–∞) = (–∞) + x = –∞, ha x < +∞, és x + (+∞) = (+∞) + x = +∞, ha x > –∞. Ellentett képzés: – (+∞) = –∞, és – (–∞) = +∞.
Természetes számok 5 x valós számra legyen x+ : = x + 1. Def. Az halmaz jelentse a valós számok mindazon N részhalmazainak metszetét, amelyek rendelkeznek a következő tulajdonságokkal: 0 N, és ha n N, akkor n+ N. Peano – axiómák
Lemma A természetes számok halmaza rendelkezik a Peano – axiómákban felsorolt tulajdonságokkal. Biz. (1), (2) következik a definícióból. (5), a matematikai indukció elve, azért áll fenn, mert S halmaz rendelkezik az (1), (2) tulajdonsággal S. (4) abból következik, hogy a valós számtestben 6 az additív művelet reguláris.
7 Legyen S={n : n+ > 0}. Ekkor 0 S, továbbá ha n S, akkor (n+)+ > 0 + 1 > 0 n+ S. Hasonlóan n szerinti indukcióval látható be, hogy n, m esetén n + m, nm továbbá, ha n ≥ m, akkor n–m
2. 1. 4. Végtelen sorozatok -n értelmezett függvények Mi lesz a g ? 8
2. 1. 5. 2. 1. 6. 2. 1. 7. 9
Def. (összeadás) m N : sm : N N függvény, amelyre sm(0) = m n N : sm(n+) = (sm(n))+. sm(n) m és n szám összege. Észrevételek: m+ = (sm(0))+ = sm(0+) = sm(1) = m+1 , m = (sm(0)) = m+0. 10
Def. (szorzás) m N : pm : N N függvény, amelyre pm(0) = 0 n N : pm(n+) = pm(n)+m. pm(n) az m és n szám szorzata. jelölés : m n vagy mn Észrevételek: 1 1 = p 1(1) = p 1(0+) = p 1(0)+1 = 0+1 = 1. 11
Def. ( rendezése) n m k : n+k=m. Tetszőleges részbenrendezett halmaz jólrendezett, ha bármely nemüres részhalmazának van legkisebb eleme. 12
Fibonacci számok Pheidias 13
14 2. 3. 39. Biz. Egzisztencia: kn k k : kn > m, pl. k = m+ legyen k a legkisebb ilyen term. szám, ekkor k 0 q N : k = q+ qn m tfh r n m qn+n = kn > m def r N : m = qn + r r< n. Unicitás: tfh q’, r’ : m = q’n + r’ és r’ < n q’ > q m = q’ < q hasonlóan látható
15 2. 3. 41. Biz. tfh 0 < m’ < m esetén beláttuk maradékos osztás q-val : ! m’, r N : m = m’q + r, és r < q. m’ = 0 n = 0 és a 0 = r , m’ 0 m’ < m indukciós feltevés maradékos osztás egyértelműsége
Egész számok 16 Racionális számok Irracionális számok Def. Egy (T; +, ; ) rendezett test arkhimédészi tulajdonságú, ha x, y T: x > 0 esetén n N: nx y. Ekkor T arkhimédészien rendezett.
Lemma 17 T felső határ tulajdonságú rendezett test T arkhimédészi tulajdonságú. Biz(indirekt) tfh nem y felső korlátja A = {nx | n N}-nak. Legyen z = sup. A z – x < z nem felső korlát n : nx > z – x (n + 1)x > z 3. 3. 4.
Tétel( 2 nem racionális) Nincs Q-ban olyan szám, amelynek négyzete 2. Biz(indirekt) Tfh van: x x = m / n , m, n N+ és az m minimális m 2 = 2 n 2 2 = x 2 = m 2 / n 2 Tehát m páros m = 2 k, k N+ 4 k 2 = 2 n 2 2 k 2 = n 2 Tehát n is páros: n = 2 j , j N+ m / n = 2 k / 2 j = k /j m nem minimális 18
Komplex számok Def. Komplex számoknak nevezzük a valós számpárok halmazát a következő műveletekkel: a, b, c, d : (a, b) + (c, d) = (a+c, b+d ) , (a, b) (c, d) = (ac – bd, ad + bc ). 19
Észrevétel: (C, +) Abel-csoport : egységelem: (0, 0) (a, b) additív inverze: –(a, b) = (–a, –b) (C*, ) Abel-csoport : egységelem: (1, 0) (a, b) multiplikatív inverze: (a, b) – 1 = (a / (a 2 + b 2), –b / (a 2 + b 2)) Kétoldali disztributivitás teljesül 20
Alakok: Im(z) = Re(z) = algebrai z = x + yi (immaginárius egység: i = (0, 1), ahol i 2 = – 1) trigonometrikus z = r(cos(t) + isin(t)) abszolút érték (hossz) argumentum Euler-féle : z = reiφ konjugált 21
A komplex számok halmaza nem rendezhető, mert rendezett integritási tartományban negatív szám négyzete pozitív kellene legyen! Észrevételek -(1) z = z (2) (z + n) = z- + n____ (3) (z n) = z- n(4) z + z- = 2 Re(z) (5) z -z = 2 i. Im(z) (6) z z- = |z|2 (7) z 0 : z 1 = z- / |z|2 (8) |0| = 0, z 0 : |z| > 0 (9) |z| = |z| (10) |zw| = |z| |w| (11) |Re(z)| |z|, |Im(z)| |z| (12) |z + w| |z| + |w|, ||z| |w|| |z w| 22
Legyen sgn(0) = 0, 0 z : sgn(z) = z / |z| sgn(z) = sgn(z) és |sgn(z)| = 1, ha z 0 ! t : t és t + 2 k : sgn(z) = cost + isint, ahol k Z trigonometrikus alak z = |z|(cost + isint) z argumentuma arg(z) = t , – < t , z = 0 -ra t mindegy z = |z|(cost + isint) z = |z|(cost – isint) = |z|(cos(– t) + isin(– t)) 23
Moivre – azonosságok w 0 esetén: n Z és z 0 24
Gyökvonás komplex számból: zn = w, z = ? w = 0 z = 0, különben ha t = arg(w) n – edik egységgyökök n = 1 esetén n – edik primitív egységgyökök: hatványaikkal előállítják a többit pl. 0 biztos nem az, 1 biztosan az 25
zn = w esetén zk-k előállnak a következő alakban: n > 1 esetén: 3. 4. 14. 26
Kvaterniók (H, +) Abel-csoport : egységelem: (0, 0) (z, w) additív inverze: –(z, w) = (–z, –w) (H*, ) csoport : egységelem: (1, 0) (z, w) multiplikatív inverze: 27
Legyen j = (0, 1), k = (0, i), ekkor egyértelműen írható fel: p = a + bi + cj + dk valós felcserélhető kvaternióval, komplex nem, pl H csak ferdetest ij = k, ji = –k, jk = i, kj = –i, ki = –j, ik = j 28
- Slides: 28