Valeur moyenne dune fonction sur un intervalle On

Valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle

On appelle valeur moyenne d’une fonction f sur un intervalle [a ; b], le nombre noté défini par :

Application : Nous allons calculer la valeur moyenne sur [0 ; Π] de la fonction f définie sur [0 ; Π] par f(t) = sin t

Rappel : Voici la représentation graphique de f sur [0 ; Π].

Dans la formule ci-dessous nous allons remplacer a et b par leurs valeurs et f(t) par son expression. a = 000 b = π ππ ( sin t ) F(t) = ( sin t )

Maintenant, afin de calculer l’intégrale nous devons trouver une primitive de f(t) = sin t. Rappel : Voici le tableau des fonctions usuelles avec leurs dérivées.

Pour trouver une primitive de f(t) = sin t voici la ligne qui nous intéresse. Il faut tenir compte de ce signe moins lorsqu’on cherche une primitive de f(t)

Ainsi, nous pouvons écrire qu’une primitive de f(t) = sin t est : : F(t) = - cos t Pour calculer l’intégrale : Il suffit de calculer : [ - cos t ] π 0

Calculons [ - cos t ] π 0 π rad = (- cos π) – (- cos 0 ) 0 rad = (- (-1) ) – (- 1 ) = 1 + 1 = 2 Cos π = -1 Cos 0 = 1

Pour finir calculons : 1 π - 0 1 = = * 2 π La valeur moyenne de la fonction sin t sur [0 ; π] est 2/ π.

Voici cette valeur moyenne représentée graphiquement : Sin t

Voici la valeur de représentée graphiquement par l’aire colorée ci-dessous.