Vajsblov M Deskriptvna geometria pre Ga K Margita

Vajsáblová, M. : Deskriptívna geometria pre Ga. K Margita Vajsáblová 65

Vajsáblová, M. : Deskriptívna geometria pre Ga. K Základné pojmy a obraz bodu v kótovanom premietaní 66 Definícia 1: Kótované premietanie je bijektívne zobrazenie, ktoré každému bodu z 3 priradí jeho kolmý priemet do priemetne spolu s reálnym číslom, ktoré nazývame kóta, jej absolútna hodnota je vzdialenosť bodu od priemetne. - priemetňa, s z s s. A A O Obraz bodu A: s. A = A 1 , z. A =|A, | Súradnicová sústava ( O, x, y, z ): x, y ležia v a z , teda kóta bodu je z. A. A[x. A, y. A, z. A ] {A 1[x. A, y. A], z. A } z. A y x A 1(z. A) B 1(0) • • ● x O Priemetňa rozdeľuje priestor na dva polpriestory. Kótam bodov jedného z nich prideľujeme kladné znamienko (tzv. body „nad“ priemeňou), opačnému záporné (tzv. body „pod“ priemeňou). Poznámky: • y. A Ak bod B leží v priemetni , potom z. B= 0. V kótovanom premietaní je časté nahrádzať priemetňu ľubovoľnou rovinou, ktorá je s ňou rovnobežná || ´( z ) , nazývaná porovnávacia rovina. V konštrukciách sa potom používajú relatívne kóty – orientované vzdialenosti od porovnávacej roviny.

Obraz priamky v kótovanom premietaní Obraz priamky: a je daný kótovanými priemetmi 2 rôznych bodov. A B 1 ia A (z. A) 1 Pa 1(0) Pa A 1(z. A) ● (A) l |AB| B 1(z. B) Pa 1(0) Pa a 1 k z. A 1 (B) ia ● Vajsáblová, M. : Deskriptívna geometria pre Ga. K 67 Stopník priamky: a = Pa (z. P = 0) – stopník priamky a, bod priamky s kótou 0. Definícia 2: Spád priamky je tangens uhla, ktorý zviera priamka s priemetňou. (a, ) = , 90 , potom sa = tg . Definícia 3: Interval priamky, ktorá nie je kolmá na priemetňu, je prevrátená hodnota jej spádu, graficky je to kótovaný priemet takej úsečky priamky a, ktorej absolútna hodnota rozdielu kót jej krajných bodov je 1. Nech a = AB, |z. A - z. B | = 1, potom ia = |A 1 B 1 | = 1/tg = 1/sa. Sklápanie premietacej roviny priamky do priemetne Pri sklápaní premietacej roviny priamky a, teda otáčaní o 90 , je osou otáčania priamka a 1, kružnica otáčania bodu A leží v rovine kolmej na os otáčania, stredom otáčania je A 1, polomer otáčania je kóta z. A. Bod (A) leží na kolmici na a 1 v bode A 1 a je od neho vzdialený o z. A. Podobne sklopíme bod B, potom |(A)(B)| = |AB|. 1. l: A 1 l, l a 1, B 1(z. B) 2. k = [A 1, r = z. A], 3. k l = (A). |(A)(B)| = |AB|. a 1 p 1 4. z. B Spádový uhol priamky a: = (a, ) = (a 1, (a)). Spád priamky: sa = tg . Interval priamky: ia = |A 1 B 1| = 1/tg = 1/sa.

Vajsáblová, M. : Deskriptívna geometria pre Ga. K Stupňovanie priamky v kótovanom premietaní Úloha: Na priamke a = AB zostrojiť postupnosť bodov s celočíselnými kótami. 1. Bodom A 1 zostrojíme ľubovoľnú rôznobežku s priamkou a. A 1(-2) (-1) || || (0) (1) (2) || (3) || || 2. Od bodu A 1 nanesieme taký počet zhodných úsečiek (dielikov), ktorý sa rovná absolútnej hodnote rozdielu kót bodov A, B. B 1(3, 5) || 3. Koncový bod spojíme s B 1 a v smere tejto spojnice premietneme všetky nanesené dieliky na priamku a 1. 5, 5 Obraz priamok v kótovanom premietaní 1) a a 1 Pa 1. a 2) b || b 1 || b, zb = konšt. b 1(zb) b a 1 Pa 1 zb a 1 Pa 1 b 1 68

Obraz roviny v kótovanom premietaní Vajsáblová, M. : Deskriptívna geometria pre Ga. K Stopa roviny : = p. Hlavné priamky roviny : h || h 1 p 1 , zh = konšt. Spádové priamky roviny : s s h ( p ) s 1 p 1. s 1 ● Ps h h Ps 1 p 1 p ● h 1 (z´) h 1 (z) p 1 (0) Definícia 4: Spád roviny sa rovná spádu jej spádovej priamky. Definícia 5: Interval roviny sa rovná intervalu jej spádovej priamky. Definícia 6: Vystupňovanú spádovú priamku roviny nazývame spádové merítko roviny. Poznámka: Rovina v kótovanom premietaní býva daná: - 3 nekolineárnymi bodmi, - 2 rôznymi priamkami, - spádovou priamkou. 69

Špeciálne roviny v kótovanom premietaní Vajsáblová, M. : Deskriptívna geometria pre Ga. K 1) z = konšt. , rovinné útvary sa premietajú do zhodných. (z ) 3) 1 p 1 ● 1 p 1 70

Vajsáblová, M. : Deskriptívna geometria pre Ga. K Vzájomná poloha 2 priamok v kótovanom premietaní 1) Rovnobežné priamky a, b, a ∥ b nie sú kolmé na priemetňu existuje rovina (a, b), teda spojnice bodov priamok a a b s rovnakými kótami ležia na hlavných priamkach roviny . (3) b 1 a 1 (5) (3) h 1 (5) R 1 (5) a 1 h 1 (5) h 1 (3) 2) Rôznobežné priamky a, b, a b = R a 1 b 1 = R 1, a, b nie sú kolmé na priemetňu existuje rovina (a, b), teda spojnice bodov priamok a a b s rovnakými kótami ležia na hlavných priamkach roviny . 3) Mimobežné priamky a, b, neplatí 1), 2). h 1 (3) b 1 (5) (3) (5) b 1 71

Vajsáblová, M. : Deskriptívna geometria pre Ga. K Vzájomná poloha 2 rovín v kótovanom premietaní 1) Rovnobežné roviny: , s s. s s s 1 (3) (5) p 1 p 1 2) Rôznobežné roviny: = m priamku m určujeme pomocou priesečníkov hlavných priamok roviny a s rovnakými kótami. M 1(5) s 1 m s 1 h 1 (5) h . . (5) Pm 1 p 1 m 1 h 1 (3) . h p h 1 (5) . h 1 (3) N 1(3) 72

Vajsáblová, M. : Deskriptívna geometria pre Ga. K Vzájomná poloha priamky a roviny v kótovanom premietaní Všeobecný postup a : 1. Priamkou a preložíme ľubovoľnú rovinu : a . a 2. Nech m je priesečnica rovín a : m. 3. Podľa vzájomnej polohy priamok a a m určíme vzájomnú polohu priamky a a roviny : a, a m a , b, a m a , c, a m = R R = a Postup v kótovanom premietaní, dané je a(A, B), (s ), určte a : 1. : a - ľub. A h (z. A), B h (z. B). 2. m, m = MN, kde: Viditeľnosť: A A B B M = h (z ), N = h (z ), z = 5 < za R A vidieť R m a M R 1 (3) a, a 1 m 1 a , b, a 1 m 1 a , c, a 1 m 1 = R 1 R = a . s 1 h (5) a 1 h (3) N h (5) h 3. m 1 h a 1 h 1 (5) m 1 . 1 h 1 (3) A 1(5) 1 (5) Pm p R 1 (3) h 1 (3) 1 . B 1(3) 73

Vajsáblová, M. : Deskriptívna geometria pre Ga. K Priamka kolmá na rovinu v kótovanom premietaní Dôsledok vety o kolmom priemete pravého uhla hovorí, že kolmý priemet kolmice na rovinu je kolmý na hlavné priamky roviny, a teda na stopu roviny, a teda nech priamka k , potom v kótovanom premietaní platí: k 1 p 1 ( h 1), tiež k 1 s 1 Kolmica na rovinu je kolmá aj na spádové priamky roviny, a teda nech k 1 s 1, potom platí, že ležia v spoločnej premietacej rovine a v jej sklopení platí: s 1 Pk 1 (k) ( s ) (A) ● s Ps 1 ● h ● ● k 1 s 1 (s ) ● k A 1(z. A) p 1 k 1 s 1 h 1(z. A) p 1 (k) 74