v warunkiem koniecznym istnienia ekstremum funkcji jest by

v Ü warunkiem koniecznym istnienia ekstremum funkcji jest by pierwsze pochodne spełniały warunek: v tworzony jest Hessian:

a minory są postaci:

v v Ü Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum funkcji jest by pierwsze pochodne były równe zero. Ü Warunek dostateczny jest spełniony wtedy, gdy minory Hessiana: dla maksimum - zmieniają znaki na przemian „-”, „+”, „-”, . . . dla minimum - wszystkie minory są dodatnie

Ekstremum funkcji z wieloma zmiennymi y=f(x 1, x 2, . . . , xn) oraz jednym warunku dodatkowym g(x 1, x 2, . . , xn. )=0 Dla funkcji n-zmiennych postaci y=f(x 1, x 2, . . . , xn) o własnościach analogicznych jak dla dwóch zmiennych oraz jednym warunku dodatkowym w postaci funkcji liniowej g(x 1, x 2, . . . , xn)=0 tworzymy funkcję Lagrange’a: F(x 1, x 2, . . . , xn, )=f(x 1, x 2, . . . , xn)+ g(x 1, x 2, . . . , xn)

Ü warunkiem koniecznym istnienia ekstremum tej funkcji jest by pierwsze pochodne cząstkowe były równe zero:

Ü warunkiem dostatecznym istnienia ekstremum dla: maksimum jest by znaki głównych minorów Hessiana zmieniały się na przemian „-”, „+”, . . . minimum - wszystkie minory powinny być dodatnie Wyznacznik Hessiana ma postać:

Ekstremum funkcji z wieloma zmiennymi y=f(x 1, x 2, . . . , xn) oraz wieloma warunkami dodatkowymi liniowymi gj(x 1, x 2, . . , xn. )=cj v Dla funkcji n-zmiennych y=f(x 1, x 2, . . . , xn) oraz j-ograniczeniach dodatkowych (liniowych) gj(x 1, x 2, . . . , xn)=cj gdzie m<n; j=1, 2, . . . , m funkcja Lagrange’a ma postać:

a Hessian obrzeżony: gdzie: fin - drugie pochodne cząstkowe funkcji Y, - pierwsze pochodne cząstkowe funkcji gj po zmiennych i

1 Warunki Kuhn-Tucker, a wystarczające dla istnienia maksimum globalnego. v Dla funkcji f(x) w przypadku, gdy jest ona ciągła, różniczkowalna w przedziale i wypukła, warunkiem istnienia ekstremum lokalnego w punkcie x 1 jest:

v Dla funkcji n-zmiennych warunek ten ma postać: gdzie: v fj - pierwsze pochodne funkcji, v xjfj - warunek komplementarności. v

v Przy wprowadzaniu m-ograniczeń nieliniowych, problem optymalizacji funkcji n-zmiennych przyjmie postać: a funkcja Lagrange’a jest postaci:

v Dla istnienia ekstremum musza być spełnione warunki Kuhn-Tucker’a:

v v v gdzie: i=1, 2, . . . , m j=1, 2, . . . , n Dwa pierwsze równania są podobne do warunków koniecznych, w przypadku warunków ubocznych w formie równań. Różnica jest taka, że te pochodne cząstkowe niekoniecznie muszą być równe zero, a jedynie są niedodatnie w pierwszym równaniu, i nieujemne w drugim. Dwa następne warunki gwarantują nieujemność wszystkich zmiennych, w tym i mnożników Lagrange’a. Kolejne dwa równania są warunkami komplementarności.

Dla wypukłych f(x 1, . . . , xn) i gi(x 1, . . . , xn) gdzie i=1, 2, . . . , m warunki Kuhn-Tucker'a są wystarczające dla istnienia maksimum globalnego. v Przy minimalizacji wystarczy zmodyfikować te warunki, jeżeli wszystkie funkcje są wklęsłe, bądź wystarczy maksymalizować funkcję ze znakiem ujemnym. v

W przypadku maksymalizacji funkcji f(x 1, . . . , xn) przy i-warunkach dodatkowych (i=1, 2, . . . , m): gi(x 1, . . . , xn) xj funkcja Lagrange’a ma postać: v

v Warunki Kuhn-Tucker’a są następującej postaci:

v Mnożniki Lagrange’a przy warunkach ubocznych w formie nierówności mierzą stopę wzrostu wartości optymalnej funkcji celu przy jednostkowych zmianach w warunkach ubocznych, o ile są zdefiniowane odpowiednie pochodne cząstkowe.

Dla problemu produkcji, interpretacja jest następująca: fj - wartość graniczna produktu, - cena korzyści czynnika i („cena cieniowa”), - ilość użytego czynnika i do produkcji jednostki marginalnej dobra j , - marginalne koszty zastosowania czynnika i w produkcji dobra j. - agregaty marginalnych kosztów produkcji dobra j.