V Medida de Disperso Prof Herondino Medidas de

V – Medida de Dispersão Prof. Herondino

Medidas de posição ou tendência central Propriedades da média aritmética 1. A média é um valor típico, ou seja, ela é o centro de gravidade da distribuição, um ponto de equilíbrio. Seu valor pode ser substituído pelo valor de cada item na série de dados sem mudar o total. Simbolicamente temos: 2. A soma dos desvios das observações em relação a média é igual a zero. 3. A soma dos desvios elevados ao quadrado das observações em relação a média é menor que qualquer soma de quadrados de desvios em relação a qualquer outro número. Em outras palavras, é um mínimo.

Exemplo 1

Exemplo 2 � 4 alunos, José, Carlos, Antônio e Pedro, obtiveram as notas e medias, conforme mostra a tabela: Aluno s Notas Média Antôni o 5 5 5 Carlos 6 4 5 4 6 José 10 5 5 5 0 Pedro 10 10 5 0 0 �Qual deles se saiu melhor?

Exemplo 2 Alunos Notas Média Antônio 5 5 5 Carlos 6 4 5 4 6 José 10 5 5 5 0 Pedro 10 10 5 0 0 Mediana Moda � 1º As nota de Antônio não variaram (dispersão nula) � 2º As notas de Carlos variaram menos que as de José � 3º As notas de Pedro variou mais que as dos outros três alunos.

Encontrando a variância (Nº de Ordem) (Nota de Carlos) 01 6 02 4 03 5 04 4 05 6 Total ( Média) (Desvios) (Quadrado dos desvios)

A variância amostral �A variância amostral é o somatório do quadrado dos desvios dividido pelo somatório das frequências menos um. ou Exemplo:

Variância pelos quadrados (Nº de Ordem) (Nota de Carlos) 01 6 02 4 03 5 04 4 05 6

Variância (Nº de Ordem) (Nota de Carlos) 01 6 36 02 4 16 03 5 25 04 4 16 05 6 36

Alunos Notas Média Antônio 5 5 5 Carlos 6 4 5 4 6 5 José 10 5 5 5 0 5 Pedro 10 10 5 0 0 5 Variânci a 1 Desvi o Padrã o

Classes Agrupadas (Nº de Ordem) (Altura em cm) ( Nº de alunos) 01 152 158 9 02 158 164 8 03 164 170 5 04 170 176 4 05 176 182 3 06 182 188 1 Total ( Ponto médio)

Classes Agrupadas (Nº de Ordem) (Altura em cm) ( Nº de alunos) ( Ponto médio) 01 152 158 9 155 02 158 164 8 161 03 164 170 5 167 04 170 176 4 173 05 176 182 3 179 06 182 188 1 185 Total

Classes Agrupadas (Nº de Ordem) (Altura em cm) ( Nº de alunos) ( Ponto médio) 01 152 158 9 155 1395 02 158 164 8 161 1288 03 164 170 5 167 835 04 170 176 4 173 692 05 176 182 3 179 537 06 182 188 1 185 Total 4932

Classes Agrupadas (Nº de Ordem) (Altura em cm) ( Nº de alunos) ( Ponto médio) 01 152 158 9 155 1395 164 02 158 164 8 161 1288 164 03 164 170 5 167 835 164 04 170 176 4 173 692 164 05 176 182 3 179 537 164 06 182 188 1 185 164 Total 4932

Classes Agrupadas (Nº de Ordem) (Altura em cm) ( Nº de alunos) ( Ponto médio) 01 152 158 9 155 1395 164 -9 02 158 164 8 161 1288 164 -3 03 164 170 5 167 835 164 3 04 170 176 4 173 692 164 9 05 176 182 3 179 537 164 15 06 182 188 1 185 164 21 Total 4932

Classes Agrupadas (Nº de Ordem) (Altura em cm) ( Nº de alunos) ( Ponto médio) 01 152 158 9 155 1395 164 -9 81 02 158 164 8 161 1288 164 -3 9 03 164 170 5 167 835 164 3 9 04 170 176 4 173 692 164 9 81 05 176 182 3 179 537 164 15 225 06 182 188 1 185 164 21 441 Total 4932 846

Encontrando a variância

Encontrando a variância

O desvio Padrão amostral �O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. �Exemplo:

O desvio Padrão amostral �O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. �Exemplo:

Estudo de Caso (utilizando a 2ª Formula) Alunos Notas Média Antônio 5 5 5 Carlos 6 4 5 4 6 5 José 10 5 5 5 0 5 Pedro 10 10 5 0 0 5 Variânci a Desvi o Padrã o

Nome da Medida média aritmética Notação da Estatística adotada e mediana Md moda Mo Variância e Desvio Padrão e

A variância Populacional �A população é finita e consiste de N valores e uma estimativa da média da população

O desvio Padrão Populacional �Observou-se anteriormente que a média da amostra pode ser utilizada como uma estimativa da média da população.

Coeficiente de Variação �É a razão entre o desvio padrão e a média. O seu resultado é multiplicado por 100, para que o Coeficiente de Variação seja dado em porcentagem.

Coeficiente de Variação Alunos Notas Média Variânci a Desvio CV Padrão (%) Antônio 5 5 5 0 0, 0 Carlos 6 4 5 4 6 5 1 1, 0 José 10 5 5 5 0 5 12, 5 3, 5 Pedro 10 10 5 0 0 5 25 5, 0

Estudo de Caso – ATIVIDADE V � Pesquisa de Resíduos Industriais - Análise de Dados Os dados de demanda bioquímica de oxigênio (DBO) (5 dias) apresentados na Tabela 5. 1 foram obtidos a partir de uma pesquisa de águas residuais industriais (EPA dos EUA, 1973). A DBO de uma água é a quantidade de oxigênio necessária para oxidar a matéria orgânica por decomposição microbiana aeróbia para uma forma inorgânica estável. Na legislação do Estado de São Paulo, no Decreto Estadual n. º 8468, a DBO de cinco dias é padrão de emissão de esgotos diretamente nos corpos d’água, sendo exigidos uma DBO máxima de 60 mg/L ou uma eficiência global mínima do processo de tratamento igual

Concentrações e contribuições unitárias típicas de DBO de esgoto doméstico e efluentes industriais.

Estudo de Caso - U. S. EPA 1973 � Há 99 observações, cada medida de uma amostra composta, retirada num intervalo de 4 horas, dando seis observações diariamente por 16 dias, mais três observações sobre o 17º dia. � O estudo foi realizado para avaliar a DBO média e para estimar a concentração que é excedida uma pequena fração do tempo (por exemplo, 10%). Esta informação é necessária para planejar um processo de tratamento. � O padrão de variação também precisa ser visto porque vai influenciar a viabilidade de utilização de um processo de compensação para reduzir a variação da carga DBO.

Referência �BERTHOUEX, Paul Mac; BROWN, Linfield C. . Statistics for Environmental Engineers. 2ª Boca Raton London New York Washington, D. c: Lewis Publishers, 2002. �MORETTIN, Pedro Alberto; BUSSAB, Wilton de Oliveira. Estatística básica. São Paulo: Saraiva, 2006. �TRIOLA, Mario F. Introdução à estatística. Rio de Janeiro: LTC, 1999.