V DISTRIBUSI NORMAL Dipelajari pertama kali pd abad
V. DISTRIBUSI NORMAL Dipelajari pertama kali pd abad ke -18 Pencetus : De Moivre (1733) Laplace (1775) Gauss (1809) Dist. Gauss. Suatu variabel random kontinu x dikatakan berdistribusi normal dgn mean dan variansi 2 adalah jika mempunyai fungsi probabilitas yang berbentuk :
Untuk - < x < - < < 2 > 0 dan = 3, 14 dan e = 2, 718 Sifat-sifat distribusi normal : 1. Harga modus, yaitu harga pada sumbu x dengan kurva maksimum terletak pada x = 2. Kurva normal simetris terhadap sumbu vertikal melalui 3. Kurva normal mempunyai titik belok pada x = 4. Kurva normal memotong sumbu mendatar secara asimtotis 5. Luas daerah dibawah kurva normal dan diatas sumbu mendatar sama dengan 1.
Kurva normal : Luas bagian kurva normal antara x=a dan x=b dapat ditulis menjadi P(a≤x≤b) X Nilai ini untuk distribusi normal standar telah ditabelkan Tabel III Distribusi normal standar adalah distribusi normal yang mempunyai mean =0 dan standar deviasi =1 Untuk distribusi normal yang bukan distribusi normal standar maka diubah dengan rumus transformasi Z :
Tabel III. Distribusi Normal Nilai pada tabel III adalah luas dibawah kurva normal dari 0 sampai bilangan positif b atau P(0≤Z≤b). Contoh : 1. Luas kurva normal dari 0 hingga 1, 9 P(0 ≤ Z ≤ 1, 9)=0, 3621 Karena Kurva normal simetris di =0 maka P(-1, 9 ≤ Z ≤ 0)= 0, 321 Karena kurva normal simetris di =0 dan luas dibawah kurva normal = 1 maka : P(0 ≤ Z ≤ + ) = 0, 5 dan P(- ≤Z≤ 0)= 0, 5 P(2, 5 ≤ Z ≤ + ) = 0, 5 – P(0≤Z≤ 2, 5)= 0, 5 – 0, 4798=0, 0202 P(0, 5 ≤ Z ≤ 2, 5) = P(0 ≤ Z ≤ 2, 5)- P(0 ≤ Z ≤ 0, 5) = 0, 4798 – 0, 1915 =0, 2883
2. Suatu distribusi normal mempunyai mean 60 dan standar deviasi 12. Hitunglah : a. Luas kurva normal antara =60 dan x= 76 adalah : P(60 ≤ x ≤ 76) = ……. . Dicari dulu nilai Z-nya Jadi P(60 ≤ x ≤ 76)= P(0 ≤ Z ≤ 1, 33) = 0, 4082 b. Luas kurva normal antara x 1=68 dan x 2=84. P(68 ≤ x ≤ 84)= P(0, 67 ≤ Z ≤ 2, 00)= 0, 4772 -0, 2486 = 0, 2284
c. Luas kurva normal antara x 3=37 dan x 4=72. P(37 ≤ x ≤ 72)= P(-1, 92 ≤ Z ≤ 1, 00) = P(-1, 92 ≤ Z ≤ 0, 00) + P(0, 00 ≤ Z ≤ 1, 00) = 0, 4726 + 0, 3412 = 0, 8136 d. Luas kurva normal antara x 4=72 sampai positif takterhingga P(72≤ x ≤ + )= 0, 5 – P(0 ≤ Z ≤ 1, 00) = 0, 5 – 0, 3412 = 0, 1588
Contoh aplikasi dalam bidang TP 3. Sebuah perusahaan memproduksi susu bubuk rendah lemak. Diasumsikan kadar lemak susu bubuk merk A berdistribusi normal dengan mean 3, 5 % dan standar deviasi 0, 3 %. a. Berapakah probabilitas kadar lemak susu bubuk yang diambil secara acak berkisar antara 2, 9 hingga 3, 8 %? a. Jika standar pabrik menentukan bahwa maksimal kadar lemak susu bubuknya adalah 4, 0 %, hitunglah berapa persentase produk yang tidak memenuhi syarat tersebut?
Jawaban soal nomor 3. Diketahui : = 3, 5 dan = 0, 3 a. P( 2, 9 ≤ x ≤ 3, 8) = Sehingga : P( 2, 9 ≤ x ≤ 3, 8) = P( -2, 0 ≤ x ≤ 1) = P( -2, 0 ≤ x ≤ 0) +P( 0 ≤ x ≤ 1, 0) = 0, 4772 + 0, 3412 = 0, 8184 b. P(X 4, 0) = 0, 5 – P(0≤ x ≤ 4, 0) = 0, 5 – P(0≤ Z ≤ 1, 67) = 0, 5 – 0, 4525 = 0, 0475
Pendekatan normal untuk binomial Distribusi normal akan memberikan pendekatan yang sangat baik jika n besar dan p mendekati 0, 5. dalam hal ini : = np dan 2=np(1 -p) sehingga : Contoh 4. Suatu proses produksi mempunyai kemungkinan 10% cacat, jika sampel sebanyak 100 buah diambil secara acak dari proses tersebut maka berapakah probabilitas : a. Delapan produk cacat b. Paling banyak lima produk cacat c. Paling sedikit lima belas produk cacat INGAT : Distribusi Normal : Kontinu VS Distribusi Binoamial : Diskrit
Jawab : Kejadian binomial tetapi n besar shg didekati dengan distribusi normal, sehingga : = np = 100 X 10% = 10 2 = np(1 -p) = 100. 10% X 0, 9 = 3 Maka : a. P(x = 8) = P (7, 5≤ x ≤ 8, 5) = P(-0, 83 ≤ Z ≤ -0, 5) = P (-0, 83 ≤ Z ≤ 0) - (-0, 5 ≤ Z ≤ 0) = 0, 2967 – 0, 1915 = 0, 1052 b. P(x ≤ 5) = P(x ≤ 5, 5) = P(Z ≤ -1, 5) = 0, 5 – P(-1, 5 ≤ Z ≤ 0) = 0, 5 – 0, 4332 = 0, 0668 c. P(x 15) = P(x 14, 5) = 0, 5 – P(0 ≤ x ≤ 14, 5) = 0, 5 – P(0≤ Z ≤ 1, 5) = 0, 5 - 0, 4332 = 0, 0668
- Slides: 10