UVOD V MATRINI RAUN Matrika reda m n

UVOD V MATRIČNI RAČUN Matrika reda m, n: skupina elementov, urejenih v pravokotno strukturo m vrstic in n stolpcev. Označevanje: velike črke v krepkem tisku ali podčrtane.

Primer: matrika reda 2, 3:

Vektor: skupina elementov, urejenih v vrstico ali stolpec: a’ = (a 1, a 2, a 3)

Posebne vrste matrik: • ničelna: • kvadratna: m = n • simetrična: aij = aji (npr. korelacijska)

Simetrične matrike: • diagonalna: • skalarna: • identična (podobnostna, matrična enota):

Operacije z matrikami: • Enakost: enaki vsi korespondentni elementi. • Transponiranje: aij aji

Seštevanje/odštevanje: seštejemo korespondentne elemente.

Množenje: Matrika * skalar: aij saij Množenje matrik: za element cij seštejemo produkte elementov i-te vrstice A in j-tega stolpca B.

Lastnosti produkta: • produkt je asociativen in distributiven, le izjemoma pa komutativen! Pred- in postmultipliciranje • n 1 = m 2 • m 3 = m 1, n 3 = n 2

Determinanta: število, ki ga enolično določajo vsi elementi matrike.

Računanje determinante: 1*1: 2*2: det = ad-bc

det = 1*8*7 + 2*5*5 + 0*3*3 - 0*8*5 1*5*3 - 2*3*7 = 106 - 57 = 49

Minor: prvotni determinanti odvzamemo vrstico i in stolpec j.

Kofaktor: minor pomnožimo z (-1)i+j

Razvoj determinante po stolpcu/vrstici: seštejemo produkte elementov in kofaktorjev.

Lastnosti determinante • Determinanta = 0, če stolpci/vrstice niso linearno neodvisni, ali če v katerem stolpcu/vrstici vsi elementi 0. • Det. diag. matrike = produkt diag. elementov. • Rang matrike: najvišji red determinante, ki različna od 0.

Obrat (inverz): AA-1 = A-1 A = I • K = matrika kofaktorjev elementov A • K’ (adjungirana matrika) • K’|A|-1

Lastne vrednosti: det(A-l. I)= 0

(6 -l)(8 -l)-15 = 0 l 2 - 14 l + 33 = 0 D = 64 l 1=(14+8)/2= 11, l 2 = (14 -8)/2 = 3

Reševanje sistemov linearnih enačb: Ax = b 6 X 1 + 4 X 2 = 20 2 X 1 + X 2 =10

1. Cramerjevo pravilo: zamenjamo stolpec j z vektorjem b, izračunamo determinanto, jo delimo s prvotno det.

2. način: x= -1 A b

Dolžina vektorja: a 2 d a 1

Normalizirani vektor: vektor z dolžino 1.

Primer: a’ = (1, 3, 5) a = (1 + 9 + 25)1/2 = 5, 92 a’n = (1/5. 92, 3/5. 92, 5/5. 92) = (. 17, . 51, . 85)

Dodatna literatura: • Omladič, V. (1997). Uporaba linearne algebre v statistiki. Ljubljana: FDV. • Učbeniki visokošolske matematike (poglavje o matrikah).