Utmaningar inom matematikundervisningen 7 november 2016 Madeleine Lwing

Utmaningar inom matematikundervisningen 7 november 2016 Madeleine Löwing www. madeleinelowing. se www. mattediagnos. se madeleine@lowing. eu

Diamant diagnoser i matematik – Ett kartläggningsmaterial baserat på didaktisk ämnesanalys Forskningsstudie vid Göteborgs Universitet Konstruktion av bedömningsinstrument, Diamant och Brilliant Kunskapskartläggningar: Syftet är att komma ner på individnivå när det gäller specifikt och betydelsefullt innehåll. Synliggöra för tjänstemän på olika nivåer i utbildnings -systemet orsakerna till de resultat som lyfts fram madeleine@lowing. eu

7 0 76 4 / 7 07 /2 t e. n e l d n a. h l d //h : p t t h madeleine@lowing. eu

Vad du bör tänka på i undervisningen för att eleverna ska utveckla sitt matematiska kunnande. �Det finns grundläggande kunskaper som är avgörande för den fortsatta förståelsen. En verktygslåda med beräkningar och begrepp �Hur en elev ska kunna detta innehåll. Vad det innebär att behärska …. . Olika aspekter av begreppet �Vilka möjligheter ges eleven att visa sina kunskaper? Samtal, diagnoser ……. madeleine@lowing. eu

Saknad förkunskap ……. För eleven är det helt avgörande att ha samtliga förkunskaper för att ha möjlighet att förstå ett nytt begrepp. Syftet med formativ bedömning är att sätta fingret på vad som gör att eleven lär sig / inte lär sig det som undervisas. Diagnoserna Diamant och Brilliant ger dig ett bra madeleine@lowing. eu

Betydelsen av den kunskap individen redan behärskar Det som eleven redan kan och vet har avgörande betydelse för möjligheten att förstå och lära sig ett nytt innehåll. Aktuell forskning är överens om att ny kunskap utvecklas genom att man utgår från vad individen redan kan (Bransford, Brown & Cocking, 2000). The most important factor influencing learning is what the learner already knows. Ascertain this and teach him accordingly (Ausubel, 1968). madeleine@lowing. eu

Elever som saknar grundläggande matematikkunskaper får svårt att lösa uppgifter/problem där dessa ”verktyg” behövs. Dessutom krävs flyt i hanterandet av olika grundläggande ”verktyg”. Det ska inte behövas mycket tankekraft för att använda rätt begrepp eller utföra beräkningar och förenklingar. Det är samma sak som att kunna läsa; När du läser en ny intressant artikel är du fokuserad på innehållet och inte på att du kan läsa eller hur man gör. Läsandet är endast ett redskap för att läsa texter och därigenom få ny information. För många elever upptar tankar kring begrepp och beräkningar så stor del av deras arbetsminne att deras möjligheter att lösa aktuell matematikuppgift eller problem blir små.

Kunskapssyn i Lgr 11 Den närmaste utvecklingszonen bildar utgångspunkt för pedagogisk praxis. Det sociala samspelet är betydelsefullt för barnets utveckling �Identifiera och utgå från den nivå som eleven befinner sig på och utifrån vilken hon ska utvecklas. �Sätt ribban, mot vilken lärandet syftar, lagom högt. �I undervisningen bör du använda elevernas närmaste utvecklingszon för att deras lärande ska bli så bra som möjligt. Vygotskij madeleine@lowing. eu

Ella räknar, vt åk 1 E: Jag kan räkna multiplikation L: Vad är 2∙ 3 E: 6 L: Men vad är 3∙ 2 E: 6 så klart L: Det spelar ju ingen roll i vilken ordning siffrorna står. Vad är 3∙ 5? E: Det är 15, och 5∙ 3 är ju också 15 E: Fråga mej om något annat, 3∙ 24 L: Ja, vet du vad det blir? E: ………………. 72, blir det de? L: Ja, hur tänkte du?

E: Som du sa att två gånger är dubbelt och sedan la jag till 25. Alltså jag tänkte 25 först och sedan tog jag bort 3. L: Vad blir då 4∙ 24 E: ……………. . (funderar länge) L: Du vet ju vad 2∙ 25 är och 4 gånger blir ju dubbelt så mycket som 2 gånger. E: Nej, vad menar du? L: 4 är ju 2 + 2 alltså dubbelt så mycket som 2 gånger. E: Jaha då är 4∙ 25…. . 100 och då blir det 96. L: Javisst! E: Då blir 8∙ 25 , 200 och jag vet att 8∙ 24 blir……, jag ska ta bort 8, …… 192? Stämmer det? madeleine@lowing. eu L: Visst!!!!

Researchers now have hard empirical evidence that learning does lead to higher achievement when using assessment. (Wiliam, 2008) Ramverk för formativ bedömning omfattar tre centrala processer nämligen att fastställa �var eleven befinner sig i sin kunskapsutveckling, �vilka målen är och �vilket innehåll eleven behöver förstå för att nå målen. madeleine@lowing. eu

Diamant diagnos www. skolverket. se/diam ant madeleine@lowing. eu

Resultatschema; Diagnos AG 1, åk 1 och åk 2 slutet av årskursen madeleine@lowing. eu

Grundläggande aritmetik. AG 1 Följande figur kan illustrera en rad olika räkneoperationer Den kan tolkas som 3 + 2 = 5, 2 + 3 = 5 5 – 3 = 2, 5 – 2 = 3 5 = 3 + 2, 5 = 2 + 3 eller som 3 + __ = 5, 2 + __ = 5 5 = 3 + __ osv…. madeleine@lowing. eu

Landgren, C. J. (1866). Hufvudräkningskurs för folkskolelärareseminarier, Folk-och småskolor Stockholm: Hiertas förlagsexp. madeleine@lowing. eu

Diamant diagnos www. skolverket. se/diama nt Löwing januari 2013

Resultatschema; Diagnos AG 4 åk 3, åk 4 och åk 5 slutet av årskursen madeleine@lowing. eu

Didaktisk ämnesanalys av ett innehåll kan göras på olika nivåer, på hela områden eller på enskilda begrepp. Med hjälp av en didaktisk ämnesanalys av olika matematikinnehåll kan vi rita delar av kartan i matematiklandskapet och därigenom synliggöra förkunskapsstrukturer och progression. Denna typ av analys av ett innehåll synliggör vad eleverna ska lära sig, vilka aspekter de ska urskilja (få syn på) och vad du kan förväntas hjälpa dem med. madeleine@lowing. eu

Arean av ett Parallelltrapets Algebra: Uttryck , variabel Distributiva lagen, kommutativa lagen ex. 3 a + 4 a = a(3 + 4) Beräkningar Begrepp som eleven bör behärska: Parallelltrapets, Sida, Höjd, Normal, Trianglar, Area, Bas, Vinkelrät, Diagonal, Parallell och ? ? Aritmetikkunskaper. De fyra räknesätten även med bråk och decimaltal Tänk igenom: Vilka svårigheter kan uppstå? Var brukar eleverna fastna? madeleine@lowing. eu

Matematiska begrepp och elevers uppfattningar madeleine@lowing. eu

Diagnos; Procent Gymnasiet åk 1 och åk 2 vid läsårsstart �Hur mycket är: 5% av 160 kr? b) 25% av 480 kr? c) 20% av 40 kr? �För att få en salladsdressing blandar man 3 dl olja och 1 dl vinäger. Hur många procent av blandningen består av vinäger? �I en by i Schweiz talar 452 personer franska, 800 personer tyska och 748 personer italienska. Hur många procent av alla i byn talar tyska? �Ett par jeans kostar 720 kr. Man får 15% madeleine@lowing. eu rabatt. Hur mycket får man då betala?

� Lisas månadslön är 25 000 kr. När skatten är dragen har Lisa 21 000 kr kvar. Hur många procent av lönen betalar hon i skatt? � En dator kostar 8 400 kr utan moms. Man får också betala 25% moms. Hur mycket kostar datorn när momsen är inräknad? � Priset på en skjorta som tidigare kostat 400 kr höjs med 15%. På det priset får Erik 15% rabatt. Hur mycket får Erik betala? � Priset på en jacka är 250 kr. Först höjs priset med 20% och sedan sänks det med 10%. Vad blir det slutliga priset? madeleine@lowing. eu

Resultatschema; Procent Gymnasiet åk 1 och åk 2 vid läsårsstart madeleine@lowing. eu

Läraren har en viktig roll i undervisningen John Hattie (2009) lägger med devisen ”Know thy impact” – var medveten om din påverkan – över ansvaret för elevernas resultat på lärarna. Kilpatrick m. fl (2001) framhåller på motsvarande sätt att ”What is learned depends on what is taught” Niss (1994) betonar lärarens viktiga roll i skolans matematikundervisning: ”As the learning of mathematics does not take place spontaneously and automatically, mathematics needs to be taught. ” madeleine@lowing. eu

Riktlinjer för undervisningen är läroplanen och kursplanen Dessa styrdokument ska du tolka och planera undervisningen utifrån. Tydliga mål och kunskapskrav har visat sig vara avgörande för elevers lärande, och utgör grunden för dig för att kunna ge relevant återkoppling. Några faktorer som är betydelsefulla för undervisningen är: � tolkningen av matematikinnehållet i kursplanen, � planeringen, undervisningen och bedömningen och dessa ska vara i linje med varandra. Formativ bedömning av elevers kunskaper är en central del i matematikundervisningen och är därför beroende av de undervisningsmål du satt upp och den planering du madeleine@lowing. eu

Delområde, Ekvationer Centralt innehåll I årskurs 4 – 6 …ekvationer i situationer som är relevanta för eleven Metoder för enkel ekvationslösning I årskurs 7 – 9 Innebörden av variabelbegreppet och dess användning i algebraiska uttryck, formler och ekvationer …ekvationer i situationer som är relevanta för eleven Metoder för ekvationslösning Löwing 2014

Multiplikation 7 x 7 Emma i åk 2 7 + 7 =14 14 + 14 = 28 28 + 7 = 35 35 + 14 = 49 Hon kan dela upp tal 7 = 2+2+1+2 Intuitivt distributiva lagen 7 x (2+2+1+2) madeleine@lowing. eu

Det krävs djupa ämneskunskap för att bedöma en individs prestation. madeleine@lowing. eu

Utvärdering - diagnostik The teachers should use assessment to ”keep learning on track” An assessment; �monitors learning to the extent that it provides information about whether the student, class, school or system is learning or not, �is diagnostic to the extent that it provides information about what is going wrong and �is formative to the extent that it provides information about what to do about it. To be formative, feedback needs to contain an implicit or explicit recipe for future action madeleine@lowing. eu

DIAMANT Na. Tionella DIAgnoser i Matematik Ett diagnosmaterial i matematik för skolåren årskurs F- 9 Anpassat till Lgr 11 www. skolverket. se/diamant BRILLIANT Ett digitalt diagnosinstrument i matematik för gymnasieskolan. Brilliant. Grund diagnoser ”Vid starten av gymnasieskolan”. www. mattediagnos. se

Matematiken är kumulativ och hierarkisk, men inte linjär Matematik består inte av en rad löst sammanfogade moment. Momenten är istället sammanlänkade och bygger på ett antal gemensamma räknelagar, räkneregler och begrepp Varje moment kan i allmänhet behandlas på olika sätt och förstås på olika kognitiva nivåer. Men målet, det som skall abstraheras, är detsamma. Hur de olika diagnoserna är kopplade till varandra framgår av madeleine@lowing. eu de strukturscheman som inleder

Nationellt Bedömningsstöd Avgränsningar: Diamant mäter inte elevens problemlösningsförmåga. Diagnoserna testar den ”verktygslåda” eleven har i form av grundläggande begrepp och metoder för beräkningar alltså förutsättningarna för att kunna lösa matematiska problem. Mitt motto är: ”När en diagnos genomförs ska alltid resultatet vara utgångspunkt för åtgärdsarbete. ” madeleine@lowing. eu

Utformning av diagnoser och koppling till fortsatt arbete Messick menar att validitet hos ett test är en sammanvägd bedömning av i vilken grad teoretiska motiveringar och empiriska bevis stödjer kvaliteten i de slutsatser som kan dras av resultatet. För att bedöma ett materials validitet krävs att man samtidigt bedömer såväl konstruktionen av mätinstrumentet som vilka konsekvenser resultatet ger. madeleine@lowing. eu

Hur löser du de här uppgifterna? 7, 2 + 7, 9 = 7, 2 – 3, 9 = 0, 54 + 0, 52 = 1, 56 – 0, 57 = 9 ∙ 1, 5 = 0, 7 ∙ 50 = 10, 05 / 5 = 5 / 0, 1 = madeleine@lowing. eu

Lösningsförslag!! 7, 2 + 7, 9 = (7, 1+0, 1)+7, 9 = 7, 1+(0, 1+7, 9) = 7, 1+8 Uppdelning av tal, associativa lagen 7, 2 – 3, 9 = Lika tillägg, differensen samma (7, 2 + 0, 1) – (3, 9 + 0. 1) = 7, 3 - 4 0, 54 + 0, 52 = 54 hundradelar + 52 hundradelar = 106 hundradelar = 1, 06 1, 56 – 0, 57 = Uppdelning av tal 1, 56 – (0, 56 + 0, 01) = 1, 56 – 0, 01 = 1 – 0, 01 = 0, 99 9 ∙ 1, 5 = 9 ∙ (1 + 0, 5) = 9 + 4, 5 Distributiva lagen 0, 7 ∙ 50 = Uppdelning av tal, kommutativa- och associativa lagen. 0, 7 ∙ (5 ∙ 10) = 0, 7 ∙ (10 ∙ 5) = (0, 7 ∙ 10)∙ 5 = 7 ∙ 5 10, 05 / 5 = Delningsdivision (10 + 0, 05) / 5 = 10/5 + 0, 05/5 = 2+0, 01 5 / 0, 1 = Innehållsdivision 1 / 0, 1 = 10 5 ∙ 10 = 50 madeleine@lowing. eu

Addition och subtraktion av tal i decimalform Ca 2500 elever grundskolan, 1500 elever i gymnasiet Lösningsfrekvensen ökar inte Det eleven inte lärt sig när innehållet presenterats lär de sig inte senare utan undervisning madeleine@lowing. eu

Språkliga utmaningar Att läsa tal i decimalform Under en och samma lektion lästes talet 2, 385 som Läser man ”noll komma � Två komma tre åtta fem sexton” så blir svaret � Två komma ofta 0, 4 trehundraåttiofem � Två hela och Läser man sexton trehundraåttiofem hundradelar så blir svaret fyra hundradelar tusendelar alltså 0, 04 Vid jämförelse måste talen uttryckas på samma form. Vilket tal som är störst 2, 9 eller 2, 10 Beräkna ¼ av 0, 16 madeleine@lowing. eu

Tal i bråkform Bråkets olika aspekter � ett tal, � en del av en hel, � en del av ett antal, � en andel, � en proportion, � ett förhållande, � skala. Förkunskaper för att kunna börja att operera med bråk � Nämnarens innebörd � Täljarens innebörd � Varje tal i bråkform kan skrivas på oändligt många sätt. Dessutom bör eleverna behärska de fyra räknesätten och räknelagarna madeleine@lowing. eu

madeleine@lowing. eu

Resultatschema; Diagnos RB 1, åk 4 och åk 5 madeleine@lowing. eu

Elever i åk 2 arbetar efter att ha tolkat frökens genomgång madeleine@lowing. eu

Håll fokus på matematikinnehållet i undervisningen Tvåans multiplikationstabell Dubbelt 2 2 + 2 Dubbelt 3 3 + 3 Dubbelt 4 4 + 4 Dubbelt 5 5 + 5 osv…. madeleine@lowing. eu 2. 2 2. 3 2. 4 2. 5

Brilliant diagnos Gymnasiet madeleine@lowing. eu

Resultatschema; Potenser gymnasiet Åk 1 läsårsstart madeleine@lowing. eu

Matematikens språk är ett exempel på en genre inom språk eller ett ämnesspråk Det är ett vetenskapligt språk där såväl termer som ett speciellt skriftspråk är avgörande för att tolka och kommunicera ett innehåll. Man talar om Matematikens register. Ett av målen med skolans matematikundervisning är att eleven ska förstå vikten av att behärska matematikens uttrycksformer för att kommunicera i vidare studier eller i vardag och arbetsliv. Med tanke på elever med invandrarbakgrund bör det i skolan uppmärksammas att det finns kulturella skillnader som råder i vardagen och i skolan avseende t. ex. talens uppbyggnad och undervisningsspråket. madeleine@lowing. eu

Stöd för att bedöma förmågor Möjligheterna att bedöma de förmågor som beskrivs i kursplanen är helt beroende av elevens kunskaper inom det centrala innehållet. Eleverna måste behärska strategier för att kunna värdera dem. begrepp och se samband för att kunna analyser dem. olika metoder för att kunna resonera, argumentera om dem eller uttrycka dem. Att behärska det som beskrivs i centralt innehåll är alltså en förutsättning för att eleven ska kunna uttrycka, utveckla eller öva sina förmågor. Kunskaperna som testas med Diamant skapar förutsättningar för eleverna att utveckla sina förmågor. madeleine@lowing. eu

Madeleine Löwing madeleine@lowing. eu www. madeleinelowing. se Ny forskningsrapport ang. Diamant http: //hdl. handle. net/2077/47607 madeleine@lowing. eu

madeleine@lowing. eu

Matematikens språkliga dimensioner Talspråk: Hur långt är det till …? Hur bred är vägen? Hur högt är huset? Formaliserat språk: Vilken längd har…? Vilken är vägens bredd? Vilken höjd har huset? Konventioner: En triangel är inskriven i en cirkel………. betyder inte en särskild triangel utan vilken triangel som helst En godtycklig punkt på grafen … betyder inte att man kan välja en punkt. Det betyder alla punkter på grafen. Relationer mellan olika begrepp uttrycks i formler. Till exempel A = l. b och V = l. b. h. En elev som inte har förstått den elementära grammatiken för det matematiska formelspråket, kan inte utläsa uttryck som 3(2+5) eller r 2 och har därmed ingen chans att göra ens de enklaste räkneuppgifter Matematiskt fackspråk: produkt, dividera, funktion, kontinuerlig, bråk, relation, ben, volym, tal, … etc. har inom matematiken betydelser som kan skilja sig från allmänspråket madeleine@lowing. eu

Kultur och matematikundervisning Andelen elever med invandrarbakgrund ökar i våra klasser. Undervisningen i matematik och kraven på elevernas kunskaper, ser olika ut i olika kulturer. Dessa elever lyckas betydligt sämre i matematik än elever med svensk bakgrund. (Skolverkets statistik) � Varför? � Vad kan vi göra? Vid kulturmöten i matematikundervisningen är det två aspekter som är viktiga � att våga se dem � att inte se dem utifrån sin egen kultur madeleine@lowing. eu

Kulturskillnader

Vad betyder en ? madeleine@lowing. eu

För invandrade - elever … är tolkning ett centralt begrepp Hjärnan arbetar under ett ständigt högtryck för att tolka signalerna och budskapen, och ändå blir mycket oförklarat. Man vet inte om man förstått det någon säger, för man vet inte vad det är man borde eller skulle förstå (Wellros, 1998). Talens språkliga uppbyggnad, metoderna för skriftlig räkning, hur bråk uttryckes, tid m. m. skiljer sig avsevärt från språk till madeleine@lowing. eu

Se bara till att eleverna lär sig svenska så kommer allt att fungera ……… Det tar lång tid för en elev att, utan hjälp av sitt modersmål, bygga upp ett andraspråk med vars hjälp man på ett effektivt sätt kan lära nya begrepp i matematikundervisningen (Hyltenstam &Toumela, 1996). Under tiden är det viktigt att eleven kan fortsätta sin begreppsutveckling på modersmålet, som är elevens instrument för att erinra sig och kommunicera alla tidigare, formella som informella, erfarenheter av madeleine@lowing. eu matematik.

Vad kan kulturella och språkliga skillnader innebära? En felaktig transfer från modersmålet kan leda till en övergeneralisering i andraspråket (Hammarberg, 2004). Lyfta fram likheter och skillnader i de båda språkens strukturella uppbyggnad när det gäller matematik. Det här kräver att elevens lärare är medvetna om de matematiska begreppens språkliga struktur på båda språken. madeleine@lowing. eu 55

Negativ transfer från arabiska På arabiska skrivs subtraktionen 14 – 9 = 5 så här 14 heter arbaat ashar alltså fyra-tio, läst från höger. När eleven lärt sig att likahetstecknet skall stå till höger kan det bli 9 – 14 = 5 madeleine@lowing. eu 56

Svenska 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 noll ett två tre fyra fem sex sju åtta nio 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 tio elva tolv tretton fjorton femton sexton sjutton arton nitton 20 21 22 30 40 50 60 70 80 90 tjugoett tjugotvå trettio fyrtio femtio sextio sjuttio åttio nittio 100 etthundra 101 etthundraett 200 tvåhundra 1000 ettusen 1100 ettusenetthundra 2000 tvåtusen

Vietnamesiska 0 hông 1 một 2 hai 3 ba 4 bốn 5 năm 6 sáu 7 bảy 8 tám 9 chín 10 mười 11 mười một 12 mười hai 13 mười ba 14 mười bốn 15 mười năm 16 mười sáu 17 mười bảy 18 mười tám 19 mười chín 20 hai mười 21 hai mười một 22 hai mười hai 30 ba mười 40 bốn mười 50 năm mười 60 sáu mười 70 bảy mười 80 tám mười 90 chín mười

Tyska 0 null 1 eins 2 zwei 3 drei 4 vier 5 fünf 6 sechs 7 sieben 8 acht 9 neun 10 zehn 11 elf 12 zwölf 13 dreizehn 14 vierzehn 15 fünfzehn 16 sechzehn 17 siebzehn 18 achtzehn 19 neunzehn 20 zwanzig 21 einundzwanzig 22 zweiundzwanzig 30 dreissig 40 vierzig 50 fünfzig 60 sechzig 70 siegzig 80 achtzig 90 neunzig madeleine@lowing. eu

Arabiska 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ٠ ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩ siffr wahed ithnan thalatha arbaa khamsa sita sàbaa thamania tisaa 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ١٠ ١١ ١٢ ١٣ ١٤ ١٥ ١٦ ١٧ ١٨ ١٩ ashraa ahda ashar ithna ashar thalathat ashar arbaat ashar khamsat ashar sitat ashar sabaat ashar thamaniat ashar tisaat ashar 20 21 22 30 40 50 60 70 80 90 ٢٠ ٢١ ٢٢ ٣٠ ٤٠ ٥٠ ٦٠ ٧٠ ٨٠ ٩٠ ishroon wahed wa ishroon ithnan wa ishroon thalathoon arbaoon khamsoon sittoon sabboon thamanoon tissoon

Subtraktionsuppställning lånemetod 10 4 14 5 4 - 2 8 utfyllnadsmetod 10 4 5 4 - 2 8 lika tillägg 5 4 1 6 4 - 2 8 - 3 8

Subtraktionsuppställning en Arabiska Lånemetod Franska Lika tillägg Polska Lånemetod 54 28 54 - 28 54 28 = Tamil Lånemetod 54 28 = Thailändska Lånemetod 54 28 Ryska Lånemetod 54 - 28 madeleine@lowing. eu 62

Hajer menar att Lärarna litar på att ett begripligt inflöde räcker för att lära sig ett nytt språk och nya begrepp. Lärarna ger inte eleverna tillfälle att själva producera nya språkliga element genom att tala och skriva. Detta i sin tur leder till att det inte heller finns tillfälle att ge eleverna återkoppling till hur de formulerar sig så att de kan förbättra sitt språk och ställa upp nya hypoteser. madeleine@lowing. eu

Att arbeta språkutvecklande i matematik Språkutvecklande undervisning innebär att såväl de ämnesmässiga målen och språkfärdighetsmålen är explicita. Undervisningen mot dessa mål är fylld av förtydliganden av begrepp, kontextrik, full av rika möjligheter till interaktion och innehåller språklig stöttning madeleine@lowing. eu

Madeleine Löwing madeleine@lowing. eu www. madeleinelowing. se www. mattediagnos. se madeleine@lowing. eu