Ushtrime nga Matematika A B C D E

Ushtrime nga Matematika

A B C D E F G H Matricat A= a 11 a 12 a 13 …a 1 n a 21 a 22 a 23 …a 2 n am 1 am 2 am 3 …amn a Rreshtat e matricës 23 Tregon kolonën Tregon rreshtin I J Kolonat e matricës K … X Y Z Matrica është një bashkësi e elementeve të renditura në rreshta dhe shtylla (kolona)

Mbledhja e dy matricave A= 2 -1 B= 3 3 4 A + B= -3 -2 3 2 -1 3 3 4 + -3 -2 3 2+(-3) -1+(-2) 3+3 0 4+0 0 Kujdes! –Mund ti mbledhim vetëm matricat numrat e renditme të I mbledhim ngjyrënjëjtë! të njejtë! = = -1 -3 6 4

Zbritja e dy matricave 2 A= -1 3 3 4 A - B= = 2 B= -3 -2 3 -1 - -3 -2 3 3 3 4 2 -(-3) -1 -(-2) 3 -3 4 -0 0 0 = Kujdes! –Mund ti zbresim vetëm matricat e rendit të njëjtë! = 5 6 0 4 1 I zbresim numrat me ngjyrë të njëjtë

Trego se cilat shumëzime janë të mundshme Numrojmë sa elemente i ka marica e parë në rresht. 1 3 4 2 1 6 5 * 1 -4 12 2 7 4 3 0 -5 Nëse elementet e një rreshti nga matrica e parë janë të barabarta me Numrojmë sa elemente i ka matrica e dytë ne kolonë. = me numrin e elementeve të një kolone nga matrica e dytë! A mund të shumëzohen këto dy matrica? Le ti analizojmë! Mund ti shumëzojmë ato dy matrica!

Trego se cilat shumëzime janë të mundshme Numrojmë sa elemente i ka marica e parë në rresht. 1 3 4 2 1 6 5 * 1 -4 12 2 7 4 Nëse numri i elementeve të një rreshti nga matrica e parë janë të ndryshëm me = Numrojmë sa elemente i ka matrica e dytë ne kolonë. me numrin e elementeve të një kolone nga matrica e dytë! A mund të shumëzohen këto dy matrica? Le ti analizojmë! S’mund ti shumëzojmë ato dy matrica!

Shumëzimi i dy matricave 2 A= -1 B= 3 3 4 A * B= = 2 -1 3 3 4 -3 -2 3 * -3 -2 3 - 6 - 3 - 4 - 0 - 9+12 - 6+0 = 2*(-3) + (-1)*3 3*(-3) + 4*3 0 = I shumëzojmë numrat me ngjyrë të njëjtë 0 -9 -4 3 -6 2*(-2) + (-1)*0 3*(-2) + 4*0 =

Shumëzimi i matricës me një skalar A= 2 -1 Si skalar le të jetë numri 5 3 3 4 5*A= A* 5= 5* Është njësoj! D. m. th. , numri 5 i shumzëzon të gjithë anëtarët e matricës! 2 -1 3 3 4 = 5*2 5*(-1) 5*3 5*4 = 10 11 15 20 -5

Plotësimi i matricës me anëtarë A= a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Shembull: A= Forma e përgjithshme e matricës së rendit të tretë! Nga ne kërkohet që ti plotësojmë me numra hapësirat e zbrazta, të ngjyrosura me të verdhë! a 11= 6 a 22= 1 a 13= -1 a 12= 3 a 32= 8 a 33= 10 a 21= 0 a 31= -2 a 23= 2

Njehsoni katrorin e matricës 2 A= -2 3 0 1 4 2 2 5 -1 = 2 = -2 3 0 1 4 2 * 1 2 5 -1 0 0 -2 3 0 4 2 2 5 -1 = 0 -2*(-2)+3*1+0*5 -2*3+3*4+0*0 -2*0+3*2+0*(-1) 1*(-2)+4*1+2*5 1*3+4*4+2*0 1*0+4*2+2*(-1) 5*(-2)+0*1+(-1)*5 5*3+0*4+(-1)*0 5*0+0*2+(-1)*(-1) 7 = 6 6 12 19 6 13 -15 15 1 =

Gjeni të panjohurat! Duke u nisur nga kushti që dy matricat e mëposhtme të jenë të barabarta, të gjenden të panjohurat x dhe a. x -2 -1 2 a = x=3 3 Për të qenë matricat e barabarta duhet që numrat me ngjyra të njëjta të jenë të barabartë -2 4 -1 2 2=2 -1=-1 2 a=2 a=2/2 a=1

Definimi i përcaktorëve A= 2 -1 3 Matrica s’është katrore. S’ka përcaktor. 3 5 6 2 X 3 11 2 -1 A= 5 6 Matrica është katrore. 2 t’ia -1 gjejmë 3 Mund përcaktorin. Dmth. Ekziston një 3 numër që e përcakton |A| = 5 6 11 = 11 tërë matricën katrore. 6 -3 7 7 3 X 3 1 6 -3 1 |A| Ose det. A Janë dy mënyrat e shënimit të përcaktorit/determinantës

Përcaktorët e rendit të dytë + -2 |A|= 0 1 -3 = - Ky është numri që e përcakton apo determinon matricën katrore + x |B|= 2 - -2*(-3) - 0*1 = 6 - 0 = 6 a -3 = x*(-3) - 2*a = -3 x- 2 a

Përcaktorët e rendit të tretë Duke zbatuar metodën e plotësve algjerbrik dhe sipas reshtit të dytë të zgjidhet përcaktori (link formula) 1 0 |A|= 2 -1 a 21 = -1 1 -1 5 2 7 3 7 5 a 22 a 23 2 Meqë 2+1=3 dmth numër tek atëherë para 2 e kemi – (minus) 2 0 = - 2* 0 -2*(0+5) -1*(2 -7) +0 -1 +(-1)* = -10+5=-5 +0* 1 0 7 5 =

Metoda e Sarusit dhe e trekëndëshit + A= 2 3 0 2 3 3 -1 7 3 -1 4 0 4 - 1 4 0 1 =

Ekuacionet matricore Të zgjidhet ekuacioni matricor, dmth të gjendet matrica X: A= 3 2 0 4 0 1 -2 E= 1 0 0 0 1 I zbresim numrat me ngjyrë të njëjtë nga të dy matricat. 5 1 4 2 X = 3 A - 5 E =-1 = 3* 3 2 0 1 0 0 4 0 1 - 5* -2 0 1 0 0 0 1 5 4 2 4 -1 4 0 2 X = 0 -2 -6 6 12 -8 X= 1 2 4 9 4 = 0 0 3 -6 6 12 -3 4 2 X+5 E = 3 A 0 0 Duhet -2 -6 ta 4/2 = - 4 4 0 5 0 0 0 5 0 = 0 -2 -6 0 0 5 6 12 -8 4/2 0/2 -2/2 gjejmë veç-6/2 matricën sa është. 6 12 -8 X 6/2 12/2 -8/2 2 = 2 0 0 -1 -3 3 6 -4

Të zgjidhet ekuacioni matricor x² -2 1 -1 4 2 2 1 1 =2 x² -2 1 -1 4 2 2 1 1 x² -2 1 -1 = 2 4 2 Përcaktorin e zgjedhim duke përdorur metodën e Sarusit ( duke i shtuar dy kolonat e para - x² - 8 + 4 + 8 - 2 x²+ 2 = 2 -3 x²+ 6 = 2 -3 x² = 2 - 6 - 3 x² = - 3 x² = 1 x = ±√ 1 x=± 1 Katrori kur të del në anën tjetër të barazimit bëhet rrënjë katrore!