UPRAVLJANJE REDOVIMA EKANJA Petra utalo Martina Kapa Petra

UPRAVLJANJE REDOVIMA ČEKANJA Petra Šutalo Martina Kapša Petra Kalapoš Dora Pinter

Eng. queuing Red čekanja ili Eng. waiting lines Sustav masovnog opsluživanja Repovi čekanja Linije čekanja

Teorija redova čekanja • Matematički pristup analizi redova čekanja • Jedna od metoda operacijskih istraživanje • Začetnik teorije danski matematičar, statističar i inženjer Agner Krarup Erlang • Primjenjuje se na velik broj uslužnih operacija, primjerice u: o „call” centrima i telekomunikacijskim sustavima o bankama o poštama, o restoranima, o tematske parkove, o prometne sustave

REDOVI ČEKANJA → Prisutni su u brojnim uslužnim djelatnostima Red čekanja je problem koji nastaje kada je određenom broju korisnika* potrebna odgovarajuća usluga te moraju provesti izvjesno vrijeme u redu čekanja prije negoli budu usluženi ili, pak, kada radno mjesto koje pruža tražene usluge mora čekati jedinice koje treba uslužiti → Javljaju se kada postoji privremena neravnoteža između ponude i potražnje, npr. 1000 ljudi se u isto vrijeme želi provozati na „vlaku smrti”, a postoji samo jedan vlak sa 100 sjedala * Korisnik usluge ne mora nužno biti čovjek. Primjerice, korisnik može biti kamion koji čeka utovar tereta, otpremnica koju treba potpisati, brod koji čeka na iskrcaj tereta, stroj koji treba servisirati. . .

Zašto čekanje postoji? • Zanimljivo: Red čekanja se javlja kada poslovni sustav zapravo nije opterećen (tj. kada kapacitet nije u potpunosti iskorišten). Primjerice, restoran brze hrane ima kapacitet da prosječno ispuni 200 narudžbi po satu, ali on na sat primi samo 150 narudžbi, a kupci ipak moraju čekati. • Razlog tomu: a) Visok stupanj varijacije dolazaka korisnika usluga te duljine vremena koje je potrebno za izvršenje pojedine usluge. (Korisnici dolaze nasumično, a ne u jednakim vremenskim intervalima te vrijeme izvršavanja pojedine usluge nekada može trajati dulje, a nekada kraće) b) Usluge se ne mogu izvršiti unaprijed i pohraniti za buduće potrebe

Koje su posljedice čekanja? 1. Za korisnike usluge: čekanje u redu se kreće u rasponu od prihvatljivog (npr. kraća čekanja u drive-in Mc. Donald’s) do hitnog (npr. čekanje na hitnu pomoć) korisnici čekanje doživljavaju negativno i povezuju ga s lošom kvalitetom obavljanja usluge 2. Za poslovanje: čekanje ne generira prihod te ne stvara dodanu vrijednost usluzi trošak čekanja proizlazi iz niže produktivnosti i konkurentskog hendikepa 3. Za društvo: trošak čekanja krije se u nepotrebnim gubicima resursa (npr. gorivo u autima dok stoje u koloni), a što u konačnici smanjuje kvalitetu života

Odgovori s točno ili netočno 1. Teorija redova čekanja je jedna od metoda operacijskih istraživanja. 2. Redovi čekanja se pojavljuju zbog stalnog preopterećenja sustava. 3. Repovi čekanja se javljaju u brojnim proizvodnim djelatnostima. 4. U redovima čekanja korisnik nužno mora biti čovjek. 5. Čekanje ne generira prihod, ne stvara dodanu vrijednost usluzi, a proizlazi iz niže produktivnosti i konkurentskog hendikepa.

Odgovori s točno ili netočno 1. Teorija redova čekanja je jedna od metoda operacijskih istraživanja. T 2. Redovi čekanja se pojavljuju zbog stalnog preopterećenja sustava. N 3. Repovi čekanja se javljaju u brojnim proizvodnim djelatnostima. N 4. U redovima čekanja korisnik nužno mora biti čovjek. N 5. Troškovi čekanje za poslovanje su ti da ono ne generira prihod, ne stvara dodanu vrijednost usluzi te proizlazi iz niže produktivnosti i konkurentskog hendikepa. T

KARAKTERISTIKE REDA ČEKANJA: 1. 2. 3. 4. Izvor korisnika (populacija) Broj poslužitelja (servera, kanala usluživanja) Dolasci i obrasci usluživanja Disciplina reda Osnovni sustav čekanja u redu

Izvor korisnika • Izvor korisnika podrazumijeva skup svih potencijalnih korisnika koji dolaze na mjesto izvršenja određene usluge. → Postoje dvije mogućnosti: a) Ograničen izvor korisnika – podrazumijeva da je broj potencijalnih korisnika ograničen te se ne može proširiti (npr. medicinska sestra je zadužena za deset pacijenata, mehaničar je zadužen za popravak 4 automobila) b) Neograničen izvor korisnika – postoji onda gdje broj potencijalnih korisnika nije ograničen specifičnim pravilima (npr. supermarketi, banke, kazališta)

Broj poslužitelja • Broj poslužitelja podrazumijeva broj uslužnih mjesta u sustavu na kojima se istodobno mogu usluživati korisnici. → Kapacitet sustava čekanja u redovima je funkcija kapaciteta svakog poslužitelja i broja poslužitelja koji se upotrebljavaju. → Sustavi poslužitelja mogu biti: 1) Jednokanalni (primjerice, kirurški tim, pojedina kazališta, male trgovine sa samo jednom blagajnom, drive-in ljekarne s jednim ljekarnikom, . . . ) 2) Višekanalni (banke, aerodrom, benzinske pumpe, auto saloni, supermarketi, . . . )

Prikaz različitih vrsta redova čekanja

Dolasci i obrasci posluživanja → Red čekanja nastaje zato što dolasci i obrasci posluživanja nasumični, vrlo varijabilni te uzrokuju privremeno preopterećenje sustava. • Broj dolazaka korisnika u red čekanja i stopa usluga (*broj korisnika koji može biti uslužen od strane jednog poslužitelja u određenom periodu) opisani su Poissonovom distribucijom • Vrijeme dolaska i vrijeme pružanja usluga opisani su negativnom eksponencijalnom distribucijom. → Redovi čekanja često se pojavljuju kada su dolasci pregrupirani ili kada je vrijeme pružanja usluge predugačko, no najčešći slučaj pojave čekanja u redovima je kada su oba faktora prisutna u isto vrijeme.

Poissonova i negativna eksponencijalna distribucija alternativni su načini za predstavljanje iste osnovne informacije, a to je da: ako je vrijeme pružanja usluge eksponencijalno onda je stopa usluga Poissonova distribucija, odnosno, ako je stopa dolazak korisnika Poissonova distribucija, onda je vrijeme između dolazaka ostalih korisnika eksponencijalno. → Na primjer, ako pružatelj usluga može obraditi 12 korisnika po satu, prosječno vrijeme usluge je 5 minuta. Ako je stopa dolazaka 10 korisnika po satu, onda je prosječno vrijeme između dolazaka 6 minuta.

Disciplina reda • Disciplina reda podrazumijeva redoslijed po kojemu su korisnici usluge posluženi. → Većina sustava usluge najčešće pruža na temelju pravila tko prvi dođe, prvi biva poslužen (tzv. FCFS disciplina). o Primjer FCFS discipline reda su banke, trgovine, restorani, kazališta, . . . → U određenim situacijama, pojedini sustavi se ne pridržavaju navedenog pravila. To su, primjerice, bolnice, tvornice i ostali poslovni subjekti u situacijama kada korisnici usluge nemaju jednak trošak čekanja. Tada disciplina reda glasi: onaj s najvećim troškom čekanja, biva prvi poslužen (bez obzira na to jesu li drugi korisnici došli u red prije njega)

UPARI: A) Osnovne karakteristike reda čekanju su A) skup svih potencijalnih korisnika koji dolaze na mjesto izvršenja određene usluge B) Stopa usluge B) Jednokanalni i višekanalni C) Sustav poslužitelja C) Tko prvi dođe, prvi biva poslužen D) Izvor korisnika E) Disciplina reda D) Izvor korisnika, dolasci i obrasci posluživanja, disciplina reda, broj poslužitelja E) broj korisnika koji može biti uslužen od strane jednog poslužitelja u određenom periodu

Točna rješenja: A) Osnovne karakteristike reda čekanju su D) Izvor korisnika, dolasci i obrasci posluživanja, disciplina reda, broj poslužitelja B) Stopa usluge E) broj korisnika koji može biti uslužen od strane jednog poslužitelja u određenom periodu C) Sustav poslužitelja B) Jednokanalni i višekanalni D) Izvor korisnika A) skup svih potencijalnih korisnika koji dolaze na mjesto izvršenja određene usluge E) Disciplina reda C) Tko prvi dođe, prvi biva poslužen

Mogući negativan utjecaj na druge poslovne operacije i/ili korisnike usluga uslijed nastale preopterećenosti sustava Trošak osiguranja prostora za čekanje Za menadžere red čekanja podrazumijeva : Mogući gubitak dobrog imidža i reputacije Moguće smanjenje zadovoljstva korisnika usluge Mogućnost gubitka posla, jer kupci mogu odbiti čekati i otići prije nego budu usluženi

Osnovni cilj upravljanja redovima čekanja = minimizirati ukupni trošak! Ukupni trošak Trošak kapaciteta Trošak čekanja korisnika

Trošak održavanja sposobnosti pružanja usluga, npr. broj blagajni u trgovini, broj majstora u radionici Trošak kapaciteta Trošak čekanja korisnika Plaće isplaćene zaposlenicima dok čekaju na izvršenje određene usluge Troškovi osiguranja prostora za čekanje Svaki gubitak posla nastao kada korisnici odbiju čekati i odlaze negdje drugdje

→ Cilj menadžmenta je utvrditi optimalnu razinu uslužnog kapaciteta. * Optimalno rješenje ne znači da neće više biti čekanja jer da bi se u potpunosti eliminiralo čekanje od strane korisnika, kapacitet uslužnih mjesta mora biti veći od broja korisnika usluge, ali bi se onda pojavilo "čekanje" uslužnog mjesta, tj. povećala neiskorištenost kapaciteta

→ Krivulja ukupnog troška ima oblik slova „U” što indicira prvo rastuće, a zatim opadajuće prinose na opseg, tj. do određene razine (u ovom slučaju M=2), s rastom kapaciteta ukupni troškovi opadaju, no daljnje povećanje kapaciteta povećava i ukupne troškove. → Optimalni kapacitet (izražen u broju poslužitelja) koji minimalizira ukupne troškove, odnosno, minimalizira sumu dvaju troškova: troška čekanja korisnika i troška kapaciteta je M=2

MJERE PERFORMANSI USLUŽNOG SUSTAVA 1 2 3 4 5 • Prosječan broj korisnika koji čekaju u redu • Prosječno vrijeme čekanja korisnika u redu • Iskoristivost sustava, tj. postotak iskorištenosti sustava • Procijenjeni troškovi kapaciteta • Vjerojatnost da će korisnik po dolasku morati čekati na uslugu

Iskoristivost sustava = Odnosi se na situaciju gdje su svi poslužitelji zauzeti Menadžer ne želi 100% iskoristivost – RAZLOG: Prosječan broj korisnika koji čekaju u redu ili prosječno vrijeme njihova čekanja se eksponencijalno povećava kako se kapaciteta približava 100% iskoristivosti !

Menadžeri putem kontrole i upravljanja jednog ili više ograničenja sustava mogu smanjiti vrijeme čekanja → Fiksna kratkoročna ograničenja: 1. veličina uslužnog sustava 2. broj poslužitelja → Opcije koje stoje menadžerima na raspolaganju su: Ø Povremeni radnici ili radnici na pola radnog vremena Ø Promjena potražnje (situacije u kojima se potražnja mijenja više puta dnevno, promjena cijena može rezultirati ravnomjernije raspoređenom potražnjom, npr. restoran za doručak nudi posebne, niže cijene) Ø Ponuda standardiziranih usluga Ø Potraga za uskim grlom (manji dio procesa može imati veliki utjecaj na brzinu cjelokupnog procesa poboljšanje tog manjeg dijela može rezultirati nerazmjernim učinkom na ubrzanje procesa u cjelini) Ø Upotreba novih metoda i/ili opreme potrebnih za pružanje usluga

Odgovori s (ne)točno 1. Osnovni cilj menadžmenta je minimizirati sumu troška čekanja korisnika i troška kapaciteta. 2. Menadžeri teže ostvariti stopostotnu iskoristivost uslužnog kapaciteta. 3. Trošak osiguranja prostora za čekanje se ubraja u trošak kapaciteta. 4. Nakon što menadžment utvrdi optimalnu razinu uslužnog kapaciteta, red čekanja se više neće pojavljivati. 5. Prosječan broj korisnika koji čekaju u redu, prosječno vrijeme čekanja te procijenjeni troškovi kapaciteta su osnovne mjere performansi sustava. 6. Povremeni radnici, potraga za uskim grlom, standardizacija usluga predstavljaju načine na koje menadžer more smanjiti vrijeme čekanja korisnika.

Odgovori s (ne)točno 1. Prosječan broj korisnika koji čekaju u redu, prosječno vrijeme čekanja te procijenjeni troškovi kapaciteta su osnovne mjere performansi sustava. T 2. Trošak osiguranja prostora za čekanje se ubraja u trošak kapaciteta. N 3. Osnovni cilj menadžmenta je minimizirati sumu troška čekanja korisnika i troška kapaciteta. T 4. Menadžeri teže ostvariti stopostotnu iskoristivost uslužnog kapaciteta. N 5. Nakon što menadžment utvrdi optimalnu razinu uslužnog kapaciteta, red čekanja se više neće pojavljivati. N 6. Povremeni radnici, potraga za uskim grlom, standardizacija usluga predstavljaju načine na koje menadžer može smanjiti vrijeme čekanja korisnika. T

Jedan poslužitelj, eksponencijalno vrijeme usluge Jedan poslužitelj, konstantno vrijeme usluge MODELI REDOVA ČEKANJA S NEOGRANIČENIM IZVOROM KORISNIKA SU: Više poslužitelja, eksponencijalno vrijeme usluge Višestruki prioritet usluga, eksponencijalno vrijeme usluge

Simboli koji se koriste modelima redova čekanja s neograničenim izvorom korisnika λ Stopa dolazaka korisnika μ Stopa usluga Lq Prosječan broj korisnika koji čekaju na uslugu Ls Prosječan broj korisnika u cijelom sustavu (koji čekaju ili su posluženi) r Prosječan broj korisnika koji je poslužen Iskoristivost sustava Wq Prosječno vrijeme čekanja korisnika Ws Prosječno vrijeme korisnika u cijelom sustavu (koji čekaju u redu + vrijeme posluživanja) 1/μ Vrijeme pružanja usluga P 0 Vjerojatnost da u sustavu nema ni jednoga korisnika Pn Vjerojatnost da u sustavu ima n korisnika M Broj poslužitelja Lmax Maksimalni broj korisnika koji se očekuje u redu

Za sve modele s neograničenim izvorom korisnika vrijedi sljedeće formule: Prema Little-ovom zakonu, u stabilnom sustavu prosječan broj korisnika u redu ili u sustavu jednak je prosječnoj stopi dolazaka korisnika pomnoženoj s prosječnim vremenom provedenim u redu ili sustavu: Ls = λWs i Lq = λWq

. . . formule a) koji čekaju u redu je zavisna varijabla i njezina oznaka je Lq b) u cijelom sustavu se računa kao Ls = Lq + r Prosječan broj korisnika:

. . . Prosječno vrijeme čekanja korisnika: a) u redu b) u cijelom sustavu

Primjer 1. Primjena osnovnih formuli •

• �� � ) � ( a v t susta e t i c a p a je k eta t i o t c š a : p i t a e k j Primi tivost s i r o k s i e veći, to j manja.

Jedan poslužitelj, eksponencijalno vrijeme usluge (M/M/1*) • Najjednostavniji model • Disciplina reda: FCFS • Ne postoji ograničenje reda čekanja Prosječan broj korisnika u redu Vjerojatnost da ni jedan korisnik neće biti u sustavu Vjerojatnost da u sustavu ima n korisnika Vjerojatnost da će u sustavu biti manje od n korisnika * M predstavlja stopu koja je opisana Poissonovom distribucijom ili, ekvivalentno, vrijeme koje je opisano eksponencijalnom distribucijom. Stoga, M/M/1 ukazuje na Poissonovu stopu dolazaka, Poissonovu stopu pružanja usluga i jednog poslužitelja.

Primjer 2. M/M/1 model Aviokompanija planira otvoriti satelitski prodajni ured u novom trgovačkom centru s jednim prodavačem. Procjenjuje se da će zahtjevi za karte i informacije biti 15 po satu te će zahtjevi biti raspoređeni Poissonovom distribucijom. Pretpostavlja se da će vrijeme usluga biti podijeljeno eksponencijalno. Prijašnja iskustva s sličnim satelitskim operacijama sugeriraju da prosječno vrijeme usluga treba biti 3 minute po zahtjevu. Odredite sljedeće: a) Iskoristivost sustava b) Postotak vremena koje će poslužitelj biti nezaposlen c) Očekivani broj korisnika koji čeka da bude poslužen d) Prosječno vrijeme koje će korisnika provesti u sustavu e) Vjerojatnost niti jednog korisnika u sustavu te vjerojatnost da će u sustavu bitu 4 korisnika

• Prim jer 2. R ješe nje

Jedan poslužitelj, konstantno vrijeme usluge (M/D/1*) •

Primjer 3. M/D/1 model Wandina autopraonica je automatska, pranje traje 5 minutna i postoji samo jedan prilaz. Subotom ujutro u prosjeku dolazi 8 automobila po satu, dolasci slijede Poissonovu distribuciju. Odredite: a) Prosječan broj automobila u redu b) Prosječno vrijeme koje automobili provedu u redu i na uslugu

Primjer 3. Rješenje •

Više poslužitelja, M/M/S * → Sustav s više poslužitelja postoji kada dva ili više poslužitelja rade samostalno kako bi omogućili usluge dolazećim korisnicima. Pretpostavke modela: 1. Poissonova stopa dolazaka i eksponencijalno vrijeme usluge 2. Svi poslužitelji rade prema istoj prosječnoj stopi 3. Korisnici stvaraju samo jedan red za čekanje (kako bi se održalo nepisano pravilo, tko prije dođe, prije će biti poslužen) * M/M/S ukazuje na Poissonovu stopu dolazaka, Poissonovu stopu pružanja usluga i više poslužitelja.

Formule za M/M/S model • Prosječan broj u redu • Vjerojatnost da će u sustavu biti nula korisnika • Prosječno vrijeme čekanja korisnika • Vjerojatnost da će korisnik morati čekati

MODEL VIŠESTRUKIH PRIORITETA • Korisnici se procesuiraju prema nekim mjerama važnosti (ovisno o trošku čekanja) → Korisnici se raspoređuju u jedan od nekoliko prioritetnih razreda prema unaprijed utvrđenim pravilima Ø Npr. u bolnicama na hitnom prijemu srčani udar, ozbiljne ozljede, osobe u nesvijesti se stavljaju u najviši razred prioriteta, a osobe s uganućima, manjim posjekotinama u najniži razred prioriteta → Nakon što su korisnici raspoređeni u prioritetne razrede, najviši razred ima prioritet → Unutar istog razreda, korisnici se obrađuju po pravilu FCFS Iznimka je kada korisnik s visokim prioritetom stigne dok se obrađuje korisnik s niži prioritetom te se u tom slučaju korisnik s visokim prioritetom obrađuje nakon što se obradi korisnik s niži prioritetom

Formule za model s višestrukim prioritetima Iskoristivost kapaciteta Srednje vrijednosti (Lq iz tablice 3. ) Prosječno vrijeme čekanja korisnika u redu u kth klasi prioriteta Prosječno vrijeme čekanja korisnika u cijelom sustavu u kth klasi prioriteta Prosječno broj korisnika u redu u kth klasi prioriteta

MAKSIMALNA DULJINA REDA •

Primjer 4. Određivanje duljine reda • Za 95% Za 98%

MODEL REDOVA ČEKANJA S OGRANIČENIM IZVOROM KORISNIKA → Prikladan za slučajeve gdje je broj potencijalnih korisnika ograničen na relativno mali broj. Primjerice, jedan mehaničar može biti odgovoran za popravke na 15 strojeva, to znači da je broj potencijalnih korisnika 15. → Stopa dolazaka opisana je Poissonovom distribucijom o Za razliku od modela s neograničenim izvorom korisnika, na stopu dolazaka utječe duljina reda čekanja o Stopa dolazaka se smanjuje kako se duljina reda povećava zato što se smanjuje populacija koja je preostala o Granica je kada se cijela populacija nalazi u redu za čekanje, tada je stopa dolazaka nula zato što ne postoji više jedinica koje mogu doći u taj red čekanja → Stopa usluga je eksponencijalna

FORMULE Faktor usluge Prosječan broj korisnika koji čekaju Oznake Značenje L = N(1 -F) Prosječno vrijeme čekanja Prosječan broj korisnika koji su u sustavu, a još nisu došli u red Prosječan broj korisnika koji su posluženi Broj korisnika D Vjerojatnost da će korisnik morati čekati u redu F Faktor efikasnosti: 1 - postotak čekanja u redu H Prosječan broj korisnika koji su posluženi J J = NF(1 -X) H = FNX N= J + L +H Prosječan broj korisnika koji su u sustavu, a još nisu došli u red L Prosječan broj korisnika koji čekaju na uslugu M Broj poslužitelja N Broj potencijalnih korisnika T Prosječno vrijeme pružanja usluge U Prosječno vrijeme između pružanja usluga korisnicima W Prosječno vrijeme čekanja korisnika u redu X Faktor usluge

PSIHOLOGIJA ČEKANJA • Ako u redu čekanja nema ničega što bi korisnicima privuklo pozornost, njihov fokus će biti na činjenici da čekaju. Korisnici često vrijeme provedeno čekajući u redu percipiraju dužim nego što ono uistinu jest. No, ako postoji nešto bi im zaokupilo misli, vrijeme čekanja proći će brže te se neće činiti dužim nego što to zapravo jest. • Menadžment može skratiti percepciju prolaska vremena kod korisnika, npr. : ü Davanjem grickalica i pića prilikom čekanja ü Davanje korisnicima nešto da rade dok čekaju, npr. ispunjavanje obrazaca čini vrijeme čekanja produktivnim ü Pružanjem korisnicima obavijest o tome koliko vremena još moraju čekati ü Učiti prostor čekanja udobnim (sjedeći položaj, unutra na ugodnoj temperaturi, . . . )

Misija: „Učiti ljude sretnima. ” Kako? Smanjiti vrijeme čekanja Zašto? Čekanje ne pridonosi zadovoljstvu posjetitelja Čekanje ne generira prihod = Čekanje ne stvara dodatnu vrijednost Rješenja:

sustav rezervacije „Brz prolaz“ koji posjetiteljima omogućuje rezerviranje vremena u koje će posjetiti atrakciju umjesto da čekaju u redu odvraćanje pozornosti - Disneyevi likovi zabavljaju posjetitelje, video prezentacije osiguravaju informacije o sigurnosti, prodavači se kreću uz redove čekanja te prodaju hrane i pića, suvenire informiranje posjetitelja – jasno postavljeni znakovi pokazuju približno vrijeme čekanja u redu premašivanje očekivanja - vrijeme čekanja je postavljeno na manje od procijenjenog kako bi se premašila korisnikova očekivanja druge taktike: Disney osigurava ugodno okruženje čekanja: redovi čekanja su najčešće unutra, zaštićeni od vremenskih neprilika; čuvari i znakovi usmjeravaju posjetitelje u dijelove parka koji su manje prometni, . . .

Hvala na pozornosti!