Univerzitet u Beogradu Graevinski fakultet VI Semestar Teorija

Univerzitet u Beogradu Građevinski fakultet VI Semestar Teorija betonskih konstrukcija 2 Primer – deo 1. Doc. dr Nenad Pecić, dipl. građ. inž. Doc. dr Nikola Tanasić, dipl. građ. inž. Beograd, 2017.

Zadatak: Za konstrukciju parkinga na skici uraditi proračun prema Evrokodovima za konstrukcije. {1} Prikazati detaljan proračun ploče POS 1 i grede srednjeg rama POS 3

Dispozicija L = 7. 5 m l = 5. 5 m b/h = 300/600 mm hp = 180 mm hs = 500 mm

POS 1 – kontinualna AB ploča 1. Statički sistem 2. Analiza opterećenja • Granično stanje nosivosti (ULS) • Granično stanje upotrebljivosti (SLS) 3. Statički uticaji • Statički uticaji - ULS • Statički uticaji - SLS 4. Proračun ULS • Savijanje • Smicanje 5. Proračun SLS • Kontrola napona • Kontrola prslina • Kontrola ugiba

Osnovni podaci o konstrukciji, materijalima i opterećenjima: Namena konstrukcije: Parking Kategorija proračunskog upotrebnog veka: 4 (EN 1990: 2. 3(1), Tabela 2. 1, {2}) Kategorija korišćenja površina: F (EN 1991 -1 -1: 6. 3. 3. 1(1), Tabela 6. 7, {3}) Klasa izloženosti: XD 3 (EN 1992 -1 -1: 4. 2(2), Tabela 4. 1, {4}) Materijali: Beton Armatura C 35/45 (EN 1992 -1 -1: prilog E, Tabela E. 1 N, {5}) sa nominalno najkrupnijim zrnom agregata 16 mm B 500 (EN 1992 -1 -1: 3. 2. 2) {6}

POS 1 – kontinualna AB ploča 1. Statički sistem

Analiza opterećenja Stalna dejstva: • sopstvena težina konstrukcije • 0. 18 x 25. 0 = 4. 5 k. N/m 2 • • 1. 0 k. N/m 2 (usvojeno) {7} ostali stalni teret (izolacija, zastor, instalacije) Promenljiva dejstva: • korisna opterećenja na parkingu o površinsko o osovinsko opterećenje • sneg • vetar • q = 2. 50 k. N/m 2 (EN 1991 -1 -1: 6. 3. 3. 2(1), Tabela 6. 8, {8}) • Q = 20. 0 k. N (u primeru nije analizirano !) (EN 1991 -1 -1: 6. 3. 3. 2(1), Tabela 6. 8, {8}) q = 1. 00 k. N/m 2 (treba da bude u NA; ovde usvojeno, {9}) • U primeru nije analizirano ! {9}

2. Analiza opterećenja Stalna dejstva: • sopstvena težina gst = 4. 50 k. N/m 2 • ostali stalni teret g = 1. 00 k. N/m 2 Promenljiva dejstva: • korisno q 1 = 2. 50 k. N/m 2 • sneg q 2 = 1. 00 k. N/m 2

Šeme opterećenja: gst+ g A stalno B q 2 sneg C C. 1 parking C. 2 q 1 C. 3 C. 4

Granično stanje nosivosti (ULS) {10} {11} {12} Kombinacija dejstava za “stalnu” proračunsku situaciju: Parcijalni koeficijenti sigurnosti za dejstva Stalno dejstvo ( G) Promenljivo dejstvo ( Q) Povoljan efekat Nepovoljan efekat 1. 0 1. 35 1. 50 Statistički faktori (EN 1990: A 1. 2. 2(1) – Tabela A 1. 1) Opterećenje Y 0 Y 1 Y 2 Korisno opterećenje kategorije F 0. 7 0. 6 Sneg 0. 5 0. 2 0

{10} {11} {12} (EN 1990: A 1. 3. 1 – Tabela A 1. 2(B)) Jednačina (6. 10) EN 1990 “STALNA” PRORAČUNSKA KOMBINACIJA Stalna dejstva Promenljiva dejstva ”Dominantno” promeljivo dejstvo Ostala promenljiva dejstva 1. 0 g 1. 5 q 1 (1. 5 ili 0) 0. 5 q 2 1. 0 g 1. 5 q 2 (1. 5 ili 0) 0. 7 q 1 1. 35 g 1. 5 q 1 (1. 5 ili 0) 0. 5 q 2 1. 35 g 1. 5 q 2 (1. 5 ili 0) 0. 7 q 1 povoljna nepovoljna

KOMBINACIJE - “STALNA” PRORAČUNSKA SITUACIJA (uzeto u obzir povoljno delovanje stalnog opetrećenja i nepovoljni položaji promenljivih opterećenja) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 1, 0 A 1, 0 A 1, 0 A 1, 35 A 1, 35 A 1, 35 A + + + + + 1, 5 1, 5 1, 5 1, 5 1, 5 B B B C 1 C 2 C 3 + + + 1, 5 1, 5 1, 5 0, 7 C 1 0, 7 C 2 0, 7 C 3 0, 5 B 0, 5 B {12}

KOMBINACIJE - “STALNA” PRORAČUNSKA SITUACIJA : - Promenljivo opterećenje je znatno manje od stalnog opeterećenja - usvojeno {12} je da deluje na čitavoj površini ploče 1. 2. 1. 35 A + 1. 5 B + 1. 5 0. 7 C 1 1. 35 A + 1. 5 C 1 + 1. 5 0. 5 B

{13} Kontrola prslina, kontrola ugiba (SLS): Kvazi-stalna kombinacija Statistički faktori (EN 1990: A 1. 2. 2 – Tabela A 1. 1) Opterećenje Y 0 Y 1 Y 2 Korisno opterećenje kategorije F 0. 7 0. 6 Sneg 0. 5 0. 2 0 (EN 1990: A 1. 4. 1 – Tabela A 1. 4) Stalna dejstva Kvazi – stalna kombinacija 1. 0 g Promenljiva dejstva Korisno kategorije F sneg 0. 6 q 1 0 q 2

Kontrola napona (SLS): {13} - Kvazi-stalna kombinacija (vidi prethodno), i - Karakteristična kombinacija Statistički faktori (EN 1990: A 1. 2. 2 – Tabela A 1. 1) Opterećenje Y 0 Y 1 Y 2 Korisno opterećenje kategorije F 0. 7 0. 6 Sneg 0. 5 0. 2 0 (EN 1990: A 1. 4. 1 – Tabela A 1. 4) Stalna dejstva Karakteristična kombinacija 1. 0 g Promenljiva dejstva “dominantno” ostala 1. 0 q 1 1. 0 q 2 0. 5 q 2 0. 7 q 1

KOMBINACIJE ZA PRORAČUN SLS KVAZI - STALNA PRORAČUNSKA KOMBINACIJA: 1. A + 0. 6 C 1 + 0 B KARAKTERISTIČNA PRORAČUNSKA KOMBINACIJA: 1. 2. A + C 1 + 0. 5 B A + 0. 7 C 1 + B {14}

Rmax Rmin 3. Statički uticaji - ULS [k. N/m] -35. 95 MEd [k. Nm/m] 8. 77 28. 66 39. 33 32. 79 -26. 26 VEd -26. 26 -32. 79 -39. 33 [k. N/m]

3. Statički uticaji - SLS KVAZI - STALNA PRORAČUNSKA KOMBINACIJA: -21. 10 M [k. Nm/m] 5. 15 16. 83 KARAKTERISTIČNA PRORAČUNSKA KOMBINACIJA: -25. 62 M [k. Nm/m] 6. 25 20. 43

4. Proračun - ULS 1. Savijanje • Zaštitni sloj: Cnom = cmin + cdev cmin {15} (4. 1) 4. 4. 1. 1 cmin, b cmin, dur + cdur, g - cdur, st - cdur, add 4. 4. 1. 2 10 mm cmin, b - prečnik pojedinačne šipke = 12 mm (očekivani max ) n - prečnik šipke u svežnju 4. 4. 1. 2(3) (tabela 4. 2)

12 mm cmin, dur + cdur, g - cdur, st - cdur, add 10 mm cmin, dur : Modifikacija klase konstrukcije prema 4. 4. 1. 2(5) Klasa S 4 umanjuje se za 1 klasa S 3 Iz 4. 4. 1. 2(5) - Tabela 4. 4 N: - Tabela 4. 3 N: {17} cmin, dur = 40 mm Vrednosti korekcija za cmin, dur u NA su: cdur, g cmin = cdur, st = cdur, add 12 mm 40+0+0+0 = 40 mm 10 mm =0 = 40 mm {16} 4. 4. 1. 2(6), (7), (8)

cnom =cmin + cdev (4. 1) Vrednost cdev definiše se u NA. Usvojena vrednost u NA (4. 4. 1. 3(1)) je 10 mm: cdev = 10 mm Konačni zaštitni sloj: cnom= cmin+ cdev = 40 + 10 = 50 mm cnom= 50 mm {18}

• Dimenzionisanje ploče POS 1: {19} • Materijali: beton C 35/45: fck = 35 MPa fcd = acc fck/gc acc= 0. 85: fcd = 0. 85 35/1. 5= 19. 83 MPa armatura B 500: fyk = 500 MPa fyd = fyk/gs= 500/1. 15= 434. 8 MPa • Geometrijske karakteristike: h =18. 0 cm cnom = 5. 0 cm d 1 = cnom + /2 = = 5. 0+1. 2/2 = 5. 6 cm d = h-d 1= 18. 0 - 5. 6 = 12. 4 cm {20}

Minimalna površina armature za savijanje: As, min = 0. 26 C 35/45: bt d ali ne manje od 0. 0013 bt d fctm = 3. 2 MPa (tabela 3. 1) {21} (9. 1 N)

1. polje: MEd = 28. 66 k. Nm/m {22} {23} {24} Usvojeno: 12/20 (5. 65 cm 2/m) Podeona armatura: Usvojeno: 8/30 (1. 68 cm 2/m)

2. polje: MEd = 8. 77 k. Nm/m Usvojeno: 8/20 (2. 52 cm 2/m) Podeona armatura: Usvojeno: 8/40 (1. 26 cm 2/m)

Oslonac: MEd= 35. 95 k. Nm/m Usvojeno: 10/10 (7. 85 cm 2/m) Podeona armatura: Usvojeno: 8/30 (1. 67 cm 2/m)

{25} 2. Kontrola smicanja Ploče debljine do 20 cm ne mogu se osiguravati na smicanje (9. 3. 2(1)), pa mora biti ispunjeno: VEd< VRd, c 6. 2. 1(3) Izračunaće se minimalna proračunska nosivost pri smicanju po Formuli (6. 2 b). Pokazaće se da je to dovoljno (VRd, c, min >VEd ) za sve preseke. VRd, c = (vmin + k 1 cp) bwd (6. 2 b) vmin = 0. 035 k 3/2 · fck 1/2 = 0, 035 2. 0 3/2 · 351/2 = 0. 586 k 1= 0. 15 cp= NEd /Ac =0 VRd, c = [0. 586 + 0. 15 0 124 1000 = 72664 N = 72. 66 k. N b, d su u [mm] !

max VEd = 39. 33 k. N < VRd, c, min= 72. 66 k. N Nije potrebno osiguranje smicanja 39. 33 32. 79 26. 26 VEd [k. N/m] -26. 26 -32. 79 -39. 33

5. Proračun SLS {29} Kontrola napona: Naponi u preseku, za stanje eksploatacije (SLS), izračunavaju se uobičajenim postupcima koji podrazumevaju Hukov zakon, Bernulijevu hipotezu i isključenje zategnutog betona. Prikazuje se detaljan proračun napona u preseku na osloncem pri delovanju momenta od kvazi-stalnog opetrećenja M = 21. 10 k. Nm. Proračun je sprovoden po postupku za jednostrano armiran presek, sa sledećim podacima: b = 100 cm h = 18. 0 cm d 1 = 5. 5 cm d = 12. 5 cm As 1 = 7. 85 cm 2/m Ecm = 34 GPa Es = 200 GPa

{29} Naponi u tabeli su izračunati po prikazanom postupku KVAZI - STALNA PRORAČUNSKA KOMBINACIJA: C 35/45: 7. 2(3) c 0. 45 35=15. 75 MPa ploča POS 1 M (k. Nm/m) As 1 (cm 2/m) s sc (MPa) 0. 45 fck ss 1 (MPa) 1. polje 16. 83 5. 65 0. 2071 11. 39 <15. 75 257. 9 2. Polje 5. 15 2. 52 0. 1421 4. 80 <15. 75 170. 7 oslonac 21. 10 7. 85 0. 2377 12. 35 <15. 75 233. 4

KARAKTERISTIČNA PRORAČUNSKA KOMBINACIJA: 7. 2(2) C 35/45: B 500: 7. 2(5) c 0. 60 35 = 21 MPa s 1 0. 80 500 = 400 MPa ploča POS 1 M (k. Nm/m) As 1 (cm 2/m) s sc (MPa) 0. 60 fck ss 1 (MPa) 0. 80 fyk 1. polje 20. 43 5. 65 0. 2063 13. 83 <21. 0 313. 0 <400 {29} 2. polje 6. 25 2. 52 0. 1419 5. 82 <21. 0 207. 2 <400 oslonac 25. 62 7. 85 0. 2374 15. 00 <21. 0 283. 4 <400

Kontrola prslina Minimalna površina armature za ograničenje širine prsline: As, min s = kc k fct, eff Act (7. 1) {30} {31} 7. 3. 2(2) c = 0 k = 1. 0 kc = 0, 4 ( za pravougaoni presek) (h 300 mm) fct, eff = fctm = 3. 2 MPa 7. 3. 2(2) Act = 0. 5 b h =0. 5 18 100 =900 cm 2 s = fyk = 500 MPa Usvojene armature prema ULS zadovoljavaju ( > od As, min ).

Kontrola prslina {32} • Za ploče čija debljina ne prelazi 200 mm posebna kontrola nije potrebna ukoliko su obezbeđene bar minimalne površine armature (7. 3. 2(2), 9. 2. 1. 1(1)) i ispoštovani zahtevi u pogledu maksimalnih razmaka armature (9. 3. 1. 1(3)), što je obezbeđeno. h =180 mm < 200 mm OK 7. 3. 3(1)

{33} Kontrola ugiba može da se sprovodi na dva načina: 1. Indirektnim postupkom 2. Direktnim proračunom ugiba 1. Kontrola graničnog stanja deformacija ograničenjem odnosa raspon / statička visina preseka (l/d) – indirektan postupak : 1. polje: {34} (očekivani najveći ugib) Jednačina (7. 16. а ) K = 1. 3 (NA) (Tabela 7. 4 N) 7. 4. 2

Korekcioni faktor koji uvodi različiti napon u armaturi i razliku usvojene i potrebne računske armature: Dokaz nije uspeo - potrebno je da bude

Ukoliko se nastavi sa kontrolom ugiba bez direktnog proračuna, potrebno je izmeniti karakteristike konstrukcije. Ako se ne želi promena statičke (a time i ukupne) visine preseka, može se povećati usvojena površina armature, što će se ovde i učiniti. Prethodno usvojeno: 12/20 (5. 65 cm 2/m) Novo : 10/10 (7. 85 cm 2/m) (u ovom slučaju oko 40% više nego As, req u polju za ULS) Kontrola se ponavlja.

1. polje: (sa korigovanom armaturom) {34} Korekcioni faktor koji uvodi različiti napon u armaturi i razliku usvojene i potrebne računske armature: Kriterijum je sada zadovoljen Usvaja se 10/10 (7. 85 cm 2/m) (u prvom polju, donja zona)

Treba primetiti da povećanje usvojene armature (As, prov) u odnosu na potrebnu (As, req), koja je fiksna, praktično linearno uvećava raspoloživi granični odnos l/d. Primena obrazaca 7. 16 iz Evrokoda 2 nije validna kada se usvoji veoma uvećana armatura. U samom tekstu EN 1992 -1 -1, međutim, nije navedeno nikakvo ograničenje po ovom pitanju, pa na prethodnom slajdu nije ni razmatrano. Britanski Nacionalni aneks NA BS EN 1992 -1 -1, na primer, ograničava ukupnu korekciju po pitanju fyk upotrebljenog čelika (500/ fyk) i odnosa (As, prov/As, req) na 1. 50. U nacionalnim aneksima nekih zemalja data su ograničenja u pogledu maksimalnog odnosa (l/d) koji se može primeniti. U nastavku su prikazane granice iz britanskog i nemačkog NA Evrokoda 2. Ograničenja su data u obliku K broj, gde je K koeficijent statičkog sistema koji se primenjuje uz formulu 7. 16 a.

2. polje: S obzirom da je 1. polje zahtevalo korekciju armature, potrebno je proveriti i drugo polje. Da nije bilo korekcije, kontrola ne bi bila potrebna jer je visina preseka ista, a koeficijent konturnih uslova (K) ima veću vrednost (“unutrašnje polje”, K = 1. 5). {34} Jednačina (7. 16. a ) OK!

Ako se primene ograničenja iz britanskog i nemačkog NA, za unutrašnje polje dobija se: Sa obzirom da je, za unutrašnje polje: dokaz je uspeo i uz gornja ograničenja.

2. Kontrola ugiba - direktan proračun, približna varijanta

Karakteristike preseka sa prslinom

Ugib nosača uklještenog na jednom i slobodno oslonjenog na drugom kraju: