Univerzitet u Beogradu Filozofski fakultet STATISTIKA U PSIHOLOGIJI

Univerzitet u Beogradu Filozofski fakultet STATISTIKA U PSIHOLOGIJI 2 ODABRANE METODE ZA RANGOVANE PODATKE Oliver Tošković & Lazar Tenjović

Nivoi merenja • Nominalni – ime, kategorije (pol) • Ordinalni – redosled (maraton) • Intervalni – jednaki intervali (Celzijusova skala), arbitrarna nula i merne jedinice • Racio – prirodna nula (Kelvinova skala) • Apsolutni - prirodna merna jedinica

Rangovi Mere (intervalne) 8 10 4 4 8 8 6 3 2 Uzlazni rang 7 9 3. 5 7 7 5 2 1 Nizlazni rang 3 1 6. 5 3 3 5 8 9

PARAMETRIJSKE METODE • Pretpostavka o obliku distribucije mera u populaciji: normalnost raspodele; • Bar intervalni podaci; • Nulta hipoteza sadrži precizno formulisane vrednosti parametara (npr. 1 - 2 = 0; = 0); • Testovi visoke statističke snage! • Primeri: t-test, F-test, koeficijent linearne korelacije, linearna jednostruka i višestruka regresija. . .

GREŠKE U STATISTIČKOM ZAKLJUČIVANJU pri testiranju Ho Ho tačna Ho se odbacuje Ho se ne odbacuje Ho nije tačna Pogrešna odluka Greška tipa I Verovatnoća ovog tipa greške = α Tačna odluka Snaga statističkog testa = 1 - β Tačna odluka Pogrešna odluka Greška tipa II Verovatnoća ovog tipa greške = β

POSTUPCI KOJE ĆEMO PRIKAZATI • BEZ strogih pretpostavki o distribuciji mera u populaciji; • Ordinalni podaci (sa jednim izuzetkom. . . ); • Ponekada se (ne baš najispravnije) zovu i “neparametrijski” (kao da ne podrazumevaju ocenjivanje parametara); • Nulta hipoteza često uopšteno definisana, npr. Uzorci pripadaju istoj populaciji u pogledu ispitivane osobine; • Ako su zadovoljeni uslovi za parametrijske postupke onda ovi testovi uglavnom imaju manju statističku snagu od “parametrijskih”!

KORELACIJA RANGOVA Spirmanov koeficijent korelacije dva niza rangova • Razlike parova rangova - di • -1 < rs < 1 • Statistička značajnost – t statistik (Studentova raspodela uzorkovanja, df = n - 2) x y d • n – broj parova rangova 1 2 3 3 2 1 1 -3 2 -2 3 -1

KORELACIJA RANGOVA Kendalov tau koeficijent korelacije dva niza rangova • Poređani rangovi jednog niza u prirodnom rastućem redosledu, a drugi niz rangova se dodaje – +1 ako je prvo niži pa viši (prirodni redosled) – -1 ako je prvo viši pa niži (inverzni redosled) – S = suma svih +1 i -1 1 3 2 3 4 2 4 1 -1 +1

KORELACIJA RANGOVA Kendalov tau koeficijent korelacije rangova • Značajnost – z statistik : • Nulta distribucija uzorkovanja statistika z je standardizovana normalna raspodela: z ~ N (0, 1)

KORELACIJA RANGOVA: Spirmanov i Kendalov postupak • Kendalov tau koeficijent korelacije rangova niži od Spirmanovog za iste podatke, ali je zaključak o značajnosti uobičajeno isti za oba koeficijenta; • Kendalov koeficijent bolji ocenitelj korelacije između rangova u populaciji; • Kendalov postupak razrađen je i za računanje parcijalne korelacije dva niza rangova kada se isključi uticaj treće varijable.

KORELACIJA RANGOVA/više od dva niza rangova • Kendalov W-koeficijent slaganja • Redovi procenjivači/kriterijumi rangovanja, a kolone rangovani entiteti • Ri – Sume rangova po entitetu/koloni • m – broj procenjivača ili kriterijuma rangovanja • n – broj entiteta • Statistik za testiranje statističke značajnosti: • Statistik H 2 ima Hi-kvadrat raspodelu sa n – 1 stepeni slobode kao svoju nultu distribuciju uzorkovanja. e 1 kr 1 1 kr 2 2 kr 3 3 e 2 3 3 2 e 3 2 1 1 8 4 6

RAZLIKA DVA NEZAVISNA UZORKA Test medijane • H 0: Uzorci pripadaju istoj populaciji u pogledu ispitivanog obeležja • Medijana rezultata za oba niza zajedno • Tabela kontingencije 2 x 2 – grupa/niz (prvi ili drugi) i položaj (ispod ili iznad medijane) • Značajnost – χ2 test Med+ 1 2 Med- 2 1

a 1 1 RAZLIKA DVA NEZAVISNA UZORKA b 1 2 Man - Vitnijev U-test a 2 3 b 2 4 • H 0: Uzorci pripadaju istoj populaciji u a 4 b 6 pogledu ispitivanog obeležja • Rangiranje oba niza zajedno • Sume rangova svake grupe posebno: R 1 i R 2 • n – ukupan broj ispitanika

RAZLIKA DVA NEZAVISNA UZORKA Man - Vitnijev U test Statistik za testiranje - U: a) (n 1 < n 2) U = R 1 b) (n 2 < n 1) U = R 2 c) (n 1 = n 2) U = min (U 1, U 2) • Ako je bilo koji uzorak manji od 20 za određivanje statističke značajnosti mora se koristiti egzaktna raspodela U statistika

RAZLIKA DVA NEZAVISNA UZORKA Man - Vitnijev U-test Ako su oba uzorka veća od 20 statistička značajnost se može odrediti korišćenjem z -statistika: • Nulta distribucija uzorkovanja z-statistika je standardizovana normalna raspodela: z ~ N (0, 1)

RAZLIKA DVA NEZAVISNA UZORKA Veličina efekta:

RAZLIKE VIŠE OD DVA NEZAVISNA UZORKA a 1 1 b 1 2 a 2 3 b 2 4 c 1 5 Kraskal - Volisov test c 2 6 • H 0: Uzorci pripadaju istoj populaciji u a 4 b 6 pogledu ispitivanog obeležja c 11 • Rangiranje svih nizova zajedno • Sume rangova svakog niza posebno R 1, R 2. . . Rk

RAZLIKE VIŠE OD DVA NEZAVISNA UZORKA Kraskal - Volisov test • Statistik za testiranje nulte hipoteze – HKW: pri čemu je n – ukupan broj ispitanika • Nulta distribucija uzorkovanja HKW statistika: Hi-kvadrat raspodela sa k-1 stepeni slobode (k je broj nezavisnih uzoraka).

RAZLIKE VIŠE OD DVA NEZAVISNA UZORKA Kraskal - Volisov test: naknadna poređenja • Testiranje razlike grupa r i s: pri čemu su Rr i Rs zbirovi rangova, nr i ns veličine grupa, S 2 ocena zajedničke varijanse, H je HKW-statistik, a t 0. 975 kvantil 0. 975 iz Studentove raspodele sa k-1 stepeni slobode.

RAZLIKE VIŠE OD DVA NEZAVISNA UZORKA Kraskal - Volisov test: naknadna poređenja • Ocena zajedničke varijanse, S 2 : pri čemu je rij rang i-tog ispitanika iz j-te grupe.

RAZLIKE VIŠE OD DVA NEZAVISNA UZORKA Veličina efekta:

x 1 y 3 D + RAZLIKA DVA ZAVISNA UZORKA 2 2 0 Test predznaka 3 1 • H 0: Uzorci pripadaju istoj populaciji u pogledu ispitivanog obeležja • Svaki član para dobija + ili – (ako su jednaki ne uzimaju se u računanje!) • n = ukupan broj parova - broj jednakih parova • Nulta distribucija uzorkovanja z-statistika: z ~ N (0, 1)

x 1 y 3 RAZLIKA DVA ZAVISNA UZORKA 2 1 Vilkoksonov test ekvivalentnih parova • H 0: Uzorci pripadaju istoj populaciji u pogledu ispitivanog obeležja d R -2 -2 1 1 – Intervalna merna skala (ovaj test je izuzetak po tome) • Apsolutne vrednosti razlika parova se rangiraju • Svaki rang dobija predznak razlike – Odvojene sume pozitivnih i negativnih rangova – ako su jednaki ne uzimaju se u računanje!

RAZLIKA DVA ZAVISNA UZORKA Vilkoksonov test ekvivalentnih parova Statistik za testiranje, z: n = ukupan broj parova - broj jednakih parova Nulta distribucija uzorkovanja z-statistika: z ~ N (0, 1)

RAZLIKA DVA ZAVISNA UZORKA Veličina efekta:

e 1 RAZLIKE VIŠE OD DVA n 1 1 ZAVISNA UZORKA n 2 2 Fridmanov test 3 • H 0: Uzorci pripadaju istoj populaciji u pogledu ispitivanog obeležja • Ispitanici u redove, a situacije u kolone • Rangiranje kolona za svakog ispitanika • n – broj redova, k – broj kolona • Suma rangova za svaku situaciju, Rj e 2 e 3 3 2 3 6 1 3

RAZLIKE VIŠE OD DVA ZAVISNA UZORKA Fridmanov test • Statistik za testiranje - HF: • Nulta distribucija uzorkovanja za HF: Hi-kvadrat raspodela sa k-1 stepeni slobode.

RAZLIKE VIŠE OD DVA ZAVISNA UZORKA Fridmanov test: naknadna poređenja pri čemu je rij rang za i-tog ispitanika u j-toj situaciji, Rj suma rangova u situaciji j, a a t 0. 975 kvantil 0. 975 iz Studentove raspodele sa k-1 stepeni slobode.

RAZLIKE VIŠE OD DVA ZAVISNA UZORKA Veličina efekta: Kendalov W-koeficijent slaganja.

Metode koje smo prikazali • Mogu služiti i kao zamena za “parametrijske” kada nisu ispunjeni uslovi za “parametrijske”: – Npr distribucija nije normalna, mere nisu intervalne/racio već ordinalne parametrija neparametrija

PARAMETRIJA NEPARAMETRIJA t- test za nezavisne uzorke Test medijane Man-Vitnijev U test t test za zavisne uzorke Test predznaka Vilkoksonov test F-test ponovljena merenja Pirsonova korelacija Kraskal-Volisov test Fridmanov test Kendalov tau-koeficijent Spirmanov koeficijent Multipla korelacija Kendalov koef. slaganja