Univerzitet Singidunum FIM SEMINARSKI RAD Matematika Zenonovi paradoksi

Univerzitet Singidunum - FIM - SEMINARSKI RAD – Matematika Zenonovi paradoksi - Ahil i kornjača - Dihotomija - Mentor: dr. Ivana Kostić Kovačević Studenti: Amir Dedać 2009/201335 Nikola Vuković 2009/201825 Beograd, 2010.

Zenon iz Eleje Zenon (oko 490 -430. p. n. e) je bio predsokratovski grčki filozof koji je pripadao elejskoj školi, koju je osnovao Parmenid. Aristotel ga je nazvao izumiteljem dijalektike, ali je on ostao upamćen najviše zahvaljujući svojim paradoksima. Iako nekoliko antičkih pisaca pominje Zenonova pisana dela, ni jedno nije sačuvano. Proklus je u svom komentaru Platonovog “Parmenida” rekao da je Zenon izumeo ". . . ne manje od četrdeset argumenata koji pokazuju kontradikcije . . . ”. Najpoznatini su takozvani "argumenti protiv kretanja" opisani u Aristotelovom delu “Fizika”, koji im je i dao moderne nazive. Zenonovi argumenti su možda prvi primeri metode saznanja zvane reductio ad absurdum (svodjenja na apsurd), poznate i kao dokaz pomoću kontradikcije. Zenonovi paradoksi su zbunili, izazvali, uticali, inspirisali i zadivljavali filozofe, matematičare i fizičare preko dve hiljade godina.

Ahil i kornjača ”U trci, najbrži trkač nikada ne može prestići najsporijeg, zato što gonitelj prvo mora doći do tačke odakle je Gonjeni pošao, pa prema tome najsporiji uvek ima prednost. ” Zamislimo da Ahil trči protiv kornjače. Ahil se nalazi u tački A, a kornjača u tački K, na odredjenom rastojanju ispred njega. Ahil trči x puta brže, ali kada on stigne do tačke K, kornjača će se za neko rastojanje pomeriti u tačku K 1. Kada Ahil stigne u tačku K 1, kornjača će se odmaći od njega u neku tačku K 2, itd. Odatle zaključujemo da će kornjača uvek imati prednost nad Ahilom, nebitno koliko mala ona bila, to jest da Ahil nikada neće stići kornjaču. A________K 1____K 2____K 3

Ahil i kornjača Objašnjenje za ovaj paradoks dao je Arhimed, pre 212. godine p. n. e, korišćenjem beskonačnog geometrijskog niza. Beskonačni geometrijski niz konvergira ako i samo ako je apsolutna vrednost količnika njegovih susednih članova manja od 1. U tom slučaju se može izračunati suma tog niza i ona ima konačnu vrednost: ∞ ∑ k=0 n aqk = lim n→∞ ∑ k=0 aqk = lim n→∞ a(1 – qn+1) 1 -q gde je a početni član niza, a q količnik (0 < q < 1). a = 1 -q

Ahil i kornjača Paradoksi se mogu rešiti pomoću geometrijskih sekvenci (nizova), ali je jednostavnije koristiti Aristotelovo rešenje, koje u obzir uzima vreme (a ne udaljenosti kao u nizovima) koje je potrebno Ahilu da sustigne kornjaču. U slučaju Ahila i kornjače zamislimo da kornjača koja se kreće konstantnom brzinom v, ima prednost od d metara. Ahil trči brzinom xv i da bi došao do tačke K 1 treba mu d/xv vremena, dok kornjača za to vreme prelazi d/x . Da bi dostigao kornjaču, Ahilu je potrebno: ∞ n ∑ (x) = d __ v n=0 1 __ d _____ v(x - 1) Kako je ovo konačna vrednost, zaključujemo da će Ahil dostići kornjaču.

Dihotomija Ovaj paradoks nosi naziv “dihotomija” zato sto uključuje ponovno deljenje na polovine. Kretanje je nemoguće jer ”ono što je u pokretu mora prvo preći pola puta pre nego što stigne do cilja”. Ako neko telo treba da predje putanju od tačke A do tačke B, onda ono mora da predje i tačku B 1 koja se nalazi na sredini te putanje. Takodje, ono mora da predje i polovinu rastojanja AB 1. Odavde zaključujemo da je kretanje nemoguće, jer svako rastojanje ima svoju polovinu, tj. svaka polovina ima svoju polovinu. Zamislimo npr. nekog trkača koji mora da stigne na cilj. Pretpostavimo da se kreće konstantnom brzinom. Potrebna mu je ½ vremena da predje ½ puta i još ½ vremena za ostatak. Sada takodje mora pretrčati ½ polovine puta, odnosno ¼ celog puta, zatim ½ četvrtine puta itd. , ali pak ostaje mu konačan broj konačnih dužina i mnogo vremena da to uradi.

Dihotomija Šta ako se deljenje razdaljina nastavlja u beskonačnost? Zenon nas navodi na zaključak da trkač treba da predje beskonačno mnogo konačnih razdaljina, za šta je potrebno beskonačno mnogo vremena, te trka nikada ne može biti završena. Pošto zaključak ne zavisi od toga ko ili šta se kreće, sledi da ni jedna konačna razdaljina ne može biti predjena, odnosno svako kretanje je nemoguće. 1/ AB ¼ AB ½ AB A_____B 3______B 2_______B 1_____________B 8

Dihotomija Potrebno je primetiti da kao što se udaljenost više smanjuje, vreme potrebno da se predje ta udaljenost, takodje se smanjuje. Takav pristup rešavanju paradoksa dovodi do demanta tvrdjenja da je potrebno beskonačno mnogo vremena da se predje konačna udaljenost. Arhimed je razvio metod da izvede konačni odgovor za beskonačno mnogo članova koji postaju progresivno manji. Ove metode dozvoljavaju konstrukciju rešenja koje kaže da (pod normalnim uslovima) ako se udaljenosti stalno smanjuju, vreme je konačno. Ta rešenja su u stvari geometrijski nizovi.