UNIVERSITA DEGLI STUDI DI TERAMO MASTER UNIVERSITARIO DI

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI TERAMO MASTER UNIVERSITARIO DI I LIVELLO ANNO ACCADEMICO 2003/2004

COMUNICAZIONE E DIVULGAZIONE SCIENTIFICA “DA EUCLIDEAD HILBERT” ( l’evoluzione della geometria) a cura di GIOSUE’ PASSACQUALE

MENU’ INIZIALE n n n n LA NATURA DELLA GEOMETRIA GLI “ELEMENTI” DI EUCLIDE LA CRISI DEI FONDAMENTI DELLA GEOMETRIA I “GRUNDLAGEN DER GEOMETRIE” (FONDAMENTI DELLA GEOMETRIA) DI HILBERT SIGNIFICATO CULTURALE DELLA GEOMETRIA BIBLIOGRAFIA ESSENZIALE RINGRAZIAMENTI

LA NATURA DELLA GEOMETRIA n Che cos’è la geometria? n Qual è l’oggetto di studio della geometria? n Quali sono le origini della geometria? n Qual è il metodo della geometria?

“La geometria è l’arte di fare i ragionamenti giusti sulle figure sbagliate. ” Definizione ironica e paradossale, ma profondissima che presenta tutte le componenti essenziali della geometria: il ragionamento (logico) deduttivo; i ragionamenti giusti; l’intuizione concreta; il riferimento alla realtà; le figure, che non sono il vero oggetto dello studio della geometria.

“ figure “ … o … “ immagini mentali “ Le figure non sono il vero oggetto dello studio della geometria, ma un appoggio alla formazione di quelle immagini mentali (vero oggetto di studio della geometria) che sono le elaborazioni fantastiche con cui la nostra mente descrive le forme degli oggetti reali. Le figure, cioè i segni, cioè i simboli, NON vanno letti in modo ingenuo e superficiale, MA vanno tradotti nei significati che noi conveniamo di attribuire loro, di cui noi vogliamo caricarli. Tutte le figure, prese come meri segni grafici, sono sempre sbagliate, per definizione; ma se ci serviamo convenzionalmente di esse per rappresentare un particolare concetto astratto, allora possono essere un utile guida per i nostri ragionamenti logico deduttivi.

Le radici della geometria Non vi sono dubbi che la geometria storicamente sia partita dalla realtà (il nome stesso letteralmente vuol dire ‘misura della terra’), pensiamo alle esigenze di agrimensori, astronomi, architetti, … Ma, come ogni altra branca della matematica, dopo aver risposto ad esigenze più o meno pratiche, sotto la pressione della loro necessità, essa inevitabilmente acquista valore in se stessa e trascende i confini dell’utilità pratica.

Il metodo ipotetico deduttivo Se l’oggetto della geometria non è, come abbiamo già detto, la realtà fisica in sé ma le immagini mentali che ci creiamo per descriverla, allora è altrettanto vero che il metodo d’indagine della geometria dev’essere diverso da quello del ’fisico’, basato sull’osservazione di un fenomeno (e sulla sua riproducibilità in laboratorio). La costruzione del complesso edificio della geometria è basata sul metodo ipotetico-deduttivo: si fissano degli enti primitivi e degli assiomi che descrivono le proprietà di cui godono tali enti, poi, a partire da questi, si deducono nuovi risultati: i teoremi. Questi ultimi assumono valore di verità solo dopo essere stati dimostrati! Tale metodo ebbe origine in matematica ai tempi di Eudosso di Cnido e si consolidò negli “Elementi”di Euclide.

Chi è più lungo fra T ed S? e fra i segmenti AF e BF? D T C F S A E B

E adesso che ho ripulito il disegno? Mai fidarsi delle apparenze! F T S A B

Qual è il “vero” quadrato?

EUCLIDE … chi? ! n Considerata la fama degli ‘Elementi’ e del loro autore, le notizie che abbiamo sulla vita di Euclide sono sorprendentemente scarse (non si sa neppure dove sia nato). Certo è che, intorno al 300 a. C. , insegnò matematica ad Alessandria d’Egitto, nell’accademia nota come il MUSEO. Le leggende lo dipingono come uomo abbastanza anziano e di temperamento gentile. Ma …

… GENTILE, MA … DECISO n n Si narra che Tolomeo I, illuminato monarca che istituì ad Alessandria l’accademia nota come il “Museo” e chiamò tra gli altri Euclide ad insegnarvi matematica, abbia chiesto una facile introduzione alla geometria allo stesso Euclide, il quale, si dice, abbia fermamente replicato che “non esiste nessuna strada regale che porti alla geometria” Evidentemente Euclide non dava molta importanza agli aspetti pratici della sua disciplina: infatti si racconta che quando un allievo gli chiese che utilità avesse lo studio della geometria, Euclide si rivolse al suo schiavo dicendogli di dare una monetina all’allievo ”perché ha bisogno di trarre guadagno da ciò che impara”

STRUTTURA DEGLI ELEMENTI n n n DEFINIZIONI ASSIOMI POSTULATI n I-VI LA GEOMETRIA PIANA ELEMENTARE n VII-IX LA TEORIA DEI NUMERI n n n X LA CLASSIFICAZIONE DEGLI INCOMMENSURABILI XI-XIII LA GEOMETRIA SOLIDA ED IL METODO DI ESAUSTIONE XIV-XV ALTRI RISULTATI SUI SOLIDI

I libri da I a VI degli Elementi n n n libro I : proprietà sulle figure “rettilinee” libro II : l’algebra geometrica libro III : la geometria dei cerchi libro IV : figure inscritte e circoscritte a cerchi libro V : la teoria delle proporzioni libro VI : le figure simili

I libri da VII a IX degli Elementi n n n libro VII : proprietà dei numeri interi libro VIII : le proporzioni continue (prog. geo. ) libro IX : teo. su numeri quadrati, cubi, piani e solidi e altri teoremi sulle prog. geometriche

Il libro X n La classificazione degli incommensurabili (ad es. contiene la dimostrazione dell’irrazionalità di radice quadrata di due)

I libri da XIII degli Elementi n n n libro XI : inizia a trattare la geometria solida libro XII : teoremi sulle aree e i volumi (in particolare di fig. curvilinee e di fig. delimitate da superfici) e metodo di esaustione libro XIII: proprietà dei poligoni regolari; il problema di come inscrivere i cinque solidi regolari in una sfera e non possono esistere più di cinque solidi (poliedri) regolari (e convessi)

I libri XIV a XV degli Elementi (entrambi postumi) n n libro XIV : dovuto a Ipsicle (150 a. C. ) libro XV : alcune parti furono scritte probabilmente intorno al VI secolo d. C.

I CINQUE SOLIDI PLATONICI n Mentre nel piano possiamo costruire poligoni convessi regolari con un numero arbitrario di lati, è sorprendente che nello spazio tridimensionale sia possibile costruire solo cinque poliedri convessi regolari: tetraedro, cubo (o esaedro), ottaedro, dodecaedro e icosaedro.

LE DEFINIZIONI DEGLI ELEMENTI n n n n D 1. Punto è ciò che non ha parti. D 2. Linea è lunghezza senza larghezza. D 3. Estremi di una linea sono i punti. D 4. Linea retta è quella che giace ugualmente rispetto ai suoi punti. D 5. Superficie è ciò che ha solo lunghezza e larghezza. D 6. Estremi di una superficie sono linee. D 7. Superficie piana è quella che giace ugualmente rispetto alle sue rette.

ALTRE DEFINIZIONI DEGLI ELEMENTI n n D 15. Cerchio è una figura piana limitata da un’unica linea tale che tutte le linee rette condotte su di essa da un punto fra quelli che giacciono all’interno della figura sono uguali fra loro. D 16. E il punto viene detto centro del cerchio. D 17. Diametro del cerchio è una retta tracciata per il centro e limitata in entrambe le direzioni dalla circonferenza del cerchio, e una tale retta biseca anche il cerchio. D 23. Parallele sono quelle rette che, essendo nello stesso piano e venendo prolungate indefinitamente in entrambe le direzioni, non si incontrano fra loro in nessuna di queste.

OSSERVAZIONI ALLE DEFINIZIONI n n n n OD 1. E cosa significa precisamente? OD 2. ‘Linea’ qui significa ‘curva’. Spazio ad una dimensione. OD 3. Questa def. mette chiaramente in evidenza che per Euclide una linea o curva ha sempre lunghezza finita. OD 4. La ‘retta’ per Euclide, in accordo con la def. 3, è il nostro ‘segmento’. Alcuni studiosi sostengono che tale def. sia stata suggerita dalla “livella del muratore”. OD 5. Spazio a due dimensioni. OD 17. Notare che la ‘circonferenza’ non è stata mai definita esplicitamente. OD 23. In realtà la def. data riguarda due segmenti paralleli e non due rette.

LE CINQUE NOZIONI COMUNI ( O ASSIOMI ) n n n A 1. Cose uguali ad una medesima cosa sono uguali anche tra loro; A 2. Se a cose uguali si aggiungono cose uguali, le somme sono uguali; A 3. Se da cose uguali si sottraggono cose uguali, i resti sono uguali; A 4. Le cose che coincidono fra loro sono uguali fra loro; A 5. Il tutto è maggiore della parte.

I CINQUE POSTULATI ( O RICHIESTE ) n n n P 1. si possa tracciare una retta da un punto qualsiasi ad un punto qualsiasi; P 2. si possa prolungare indefinitamente una linea retta; P 3. si possa descrivere un cerchio con un centro qualsiasi ed un raggio qualsiasi; P 4. tutti gli angoli retti siano uguali tra loro; P 5. se una retta che interseca due altre rette forma dalla stessa parte angoli interni inferiori a due angoli retti, allora le due rette, se prolungate indefinitamente, si incontrano da quella parte dove gli angoli sono inferiori a due retti.

Il postulato delle parallele

Differenza fra ASSIOMI e POSTULATI secondo Aristotele n ASSIOMA: gli assiomi o nozioni comuni devono essere convincenti di per se stessi, sono verità comuni a tutte le scienze (dal greco axios, degno di credibilità) n POSTULATO: i postulati sono meno evidenti e non presuppongono l’assenso dell’allievo, poiché riguardano soltanto la disciplina in questione (dal latino postulare, richiedere) I matematici moderni non fanno alcuna differenza essenziale fra un assioma e un postulato n

PREGI DEGLI ELEMENTI n n n Sono la maggiore e più antica opera matematica greca che ci sia pervenuta Sono il più autorevole manuale di matematica di tutti i tempi, la prima fonte di conoscenza matematica Il concetto di matematica, la nozione di dimostrazione e l’ordinamento logico dei teoremi vennero appresi dal loro studio Euclide sottolinea l’importanza di dimostrare l’esistenza delle figure prima di inserirle nella struttura logica della geometria La scelta degli assiomi fatta da Euclide è assai sofisticata: a partire da un piccolo gruppo di assiomi riesce a dimostrare centinaia di teoremi alcuni dei quali molto profondi L’assioma delle parallele è gestito con particolare intelligenza

DIFETTI DEGLI ELEMENTI n n n n L’uso della sovrapposizione (manca una base logica per il concetto di moto; spostando una figura chi ci garantisce che essa conservi tutte le sue proprietà? ) La vaghezza di alcune definizioni (vedi libro. V) L’inutilità di alcune definizioni (punto, rette, superficie, …) Numerose definizioni, come la D 17, presuppongono un assioma Euclide usa fatti, evidenti dalle figure o intuitivamente veri, senza mai dimostrarli Vi sono anche difetti nelle dimostrazioni: alcuni teoremi vengono enunciati in generale ma dimostrati solo in casi particolari I tredici libri non costituiscono un corpo unitario, ma sono compilazioni di opere precedenti

… E INOLTRE … n n Se non è rigorosa la geometria non è nulla … I metodi di Euclide non sono, per consenso quasi universale, eccezionali per il loro rigore. (Henry J. S. SMITH, 1873) Quando Euclide, considerato come libro di testo, veniva attaccato … era uso difenderlo dicendo che la sua eccellenza logica è trascendente, e consente un invalutabile esercizio al potere giovanile di ragionamento. In realtà … la forza dimostrativa di una valida dimostrazione sta nel non disegnare alcuna figura, ma molte delle dimostrazioni di Euclide cadono se sottoposte a questa prova. (BERTRAND RUSSELL, 1902)

C • • E F H A n x D x FALSO TEOREMA. Ogni triangolo è isoscele. VALIDA DIMOSTRAZIONE? Dato un triangolo ABC, costruiamo la bisettrice CH dell’angolo ACB e l’asse DH del lato AB. Queste due rette si intersecano in un punto H (vedi fig. ), allora tracciamo le perpendicolari ai lati BC e AC uscenti dal punto H: siano queste HE e HF rispettivamente. I triangoli CFH e CEH sono uguali, perché hanno rispettivamente: CFH=CEH (ang. retti); CH in comune; FCH=ECH (per ipotesi CH bisettrice di FCE). In particolare: CF=CE e FH=EH B I triangoli AHF e BHE sono uguali, perché hanno rispettivamente: AFH=BEH (ang. retti); FH=EH (preced. dim. ); AH=BH (per una proprietà dell’asse di un segmento). In particolare: FA=EB Ma allora i lati CA e CB sono uguali perché somma di segmenti uguali: CA=CF+FA=CE+EB=CB Pertanto il triangolo ABC è isoscele. C. V. D

L’ERA DELLE GEOMETRIE NON EUCLIDEE n Sebbene fossero state mosse critiche alla struttura logica degli Elementi di Euclide fin dal momento in cui vennero scritti, i difetti erano considerati di scarsa importanza. Fu il lavoro sulle “Geometrie Non Euclidee”(G. N. E. ) a rendere consapevoli i matematici della reale importanza delle deficienze della struttura di Euclide, perché nel portare a termine le dimostrazioni dovevano essere particolarmente critici su ciò che stavano accetttando: nelle G. N. E. veniva a mancare quella verità intuitiva (ma a volte fuorviante) dovuta al ricorso al disegno (ad es. il falso teorema sul triangolo). Tutto ciò obbligò i matematici a dedicarsi alla ‘costruzione dei fondamenti’ della geometria euclidea e di altre ‘geometrie’ che potessero godere della stessa dignità di quella euclidea. Tale attività si sviluppò intensamente negli ultimi trent’anni del XIX secolo.

Cenni sulle ‘geometrie non euclidee’ n n n Il pensiero di Kant sulla geometria euclidea Le ricerche sull’assioma delle parallele Lettera di Gauss a Bessel Nicolaj Ivanovic Lobacevskij (il Copernico della geometria) Janos Bolyai Georg Bernhard Riemann

Il pensiero di Kant n Kant, nella ‘Critica alla ragion pura’ (1781), sosteneva che le nostre menti sono obbligate a vedere il mondo esterno in un unico modo, quindi certi principi relativi allo spazio sono anteriori all’esperienza. Tali principi e le loro conseguenze che Kant chiamava giudizi sintetici a priori sono quelli della geometria euclidea.

L’assioma delle parallele n Fra la fine del Settecento e l’inizio dell’Ottocento, cominciò a svilupparsi la critica ai fondamenti della geometria euclidea, con particolare riferimento al V postulato o delle parallele. Importanti risultati furono raggiunti da Girolamo Saccheri (1667 -1733), il quale convinto di aver dedotto tale postulato, pubblicò l’ Euclides ab Omni Naevo Vindicatus.

Lettera di Gauss a Bessel n All’inizio del XIX secolo, intorno al 1813, Karl Friedrich Gauss (1777 -1855) cominciò a costruire una geometria che non ritenesse valido il V postulato di Euclide e in realtà si convinse che era logicamente coerente, ma non pubblicò mai un’esposizione completamente deduttiva delle sue ricerche perché, come scrisse in una lettera a Bessel del 27 gennaio 1829, temeva “le strida dei beoti”

Nicolaj Ivanovic Lobacevskij (il Copernico della geometria) n Lobacevskij (1793 -1856), russo, fu il primo matematico a fare il passo rivoluzionario di pubblicare, nel 1829, sulla Gazzetta di Kazan, il saggio “Sui principi della Geometria”, in cui espone una nuova geometria, costruita specificamente su un’ipotesi in diretta contraddizione con il postulato delle parallele: (geometria iperbolica) per un punto P esterno ad una retta r si può tracciare nello stesso piano più di una retta parallela ad r.

Janos Bolyai n Bolyai (1802 -1860) era un ufficiale ungherese e figlio di un insegnante di matematica in una città di provincia, tale Wolfgang Bolyai, tra l’altro amico di Gauss, che aveva dedicato tutta la sua vita ai tentativi di dimostrare il postulato delle parallele. Il lavoro di Bolyai sulla geometria non euclidea (La scienza dello spazio assoluto) fu pubblicato solo nel 1832 in appendice ad un libro del padre, benchè rechi una licenza di stampa datata 1829, lo stesso anno in cui Lobacevskij pubblicò il suo. L’ipotesi di Bolyai era leggermente differente da quella del collega russo: (ma sempre geometria iperbolica) nello stesso piano, per un punto P esterno ad una retta r esistono infinite rette parallele ad r.

Georg Bernahrd Riemann n Riemann (1826 -1866) nonostante origini molto modeste riuscì ad ottenere un’educazione di ottimo livello, prima a Berlino e poi a Gottinga. Le geometrie di Riemann sono non euclidee in un senso molto più vasto di quelle di Lobacevskij e Bolyai. Secondo Riemann la geometria dovrebbe parlare solo di ennuple ordinate che vengono raggruppate secondo certe regole; l’uso attuale del nome di Riemann, limitatamente alla geometria non euclidea ellittica, non dà pieno riconoscimento al radicale mutamento introdotto nel pensiero geometrico dalla sua lezione, Habilitationsvortrag, per il conseguimento del titolo di Privatdozent tenuta nel 1854 alla facoltà di Gottinga e successivamente pubblicata nel 1868 con il titolo “Sulle ipotesi che stanno alla base della geometria”.

Gauss, Lobacevskij, Bolyai e Riemann

PRINCIPALI PROTAGONISTI DELLA RIFONDAZIONE n n Moritz PASCH (1843 -1930) ‘Lezioni sulla nuova geometria’, 1882. Giuseppe PEANO (1858 -1932) ‘Principii di geometria’, 1889 Giuseppe VERONESE (1854 -1917) ‘Fondamenti di geometria’, 1891 David HILBERT (1862 -1943) ‘Grundlagen der geometrie’, 1899

MORITZ PASCH n Moritz PASCH (1843 -1930) fu il primo a dare contributi fondamentali alla fondazione della geometria; famoso un suo assioma. Nelle sue Vorlesungen dice: ”Se la geometria deve diventare una scienza genuinamente deduttiva, è essenziale che il modo in cui sono fatte le inferenze sia del tutto indipendente dal significato dei concetti geometrici, e anche dai disegni. ”

GIUSEPPE PEANO n Giuseppe PEANO (18581932) nei suoi ‘Principii di geometria’ (1889), propose un insieme di assiomi per la geometria euclidea. Anch’egli mise in evidenza che gli elementi fondamentali non sono definiti ed enunciò il principio secondo il quale ci devono essere meno concetti indefiniti possibili. Egli usò: punti, segmenti e moti.

GIUSEPPE VERONESE n Giuseppe VERONESE (1854 -1917) ‘Fondamenti di geometria’ (1891), egli usò come elementi indefiniti rette, segmenti e congruenze di segmenti. Inoltre fu autore di diverse geometrie non archimedee.

HILBERT … chi? ! n n n David Hilbert (1862 -1943), matematico tedesco nato a Konigsberg, molti lo considerano il più grande matematico del suo tempo soprattutto per l’importanza da lui data all’idea di struttura. I pregi dei Grundlagen La “curva di Hilbert” I 23 problemi di Hilbert Grundlagen der Geometrie

I SETTE PONTI DI KONIGSBERG n n Esiste una “passeggiata” che permetta di attraversare tutti i 7 ponti di Konigsberg passando su ognuno di essi UNA ED UNA SOLA volta? (soluzione) Si può partire da una delle 4 zone ( nord, sud, isola A, isola B) ma non stando già su uno dei ponti. Nella fig. a fianco è descritto un percorso che parte dall’isola B e termina nella zona sud.

Soluzione problema dei “ 7 ponti” n Definiamo “zona di passaggio” una zona toccata da un numero pari di ponti e “zona non di passaggio” una zona toccata da un numero dispari di ponti. Se vogliamo realizzare una passeggiata che attraversi ogni ponte una ed una sola volta possono esserci al più due zone “non di passaggio”: una di partenza e una di arrivo. Contiamo quanti ponti toccano ogni zona: 5 l’isola A e 3 tutte le altre zone. Quindi abbiamo 4 zone “non di passaggio”: TROPPE!!!

Altri problemi simili ai “ 7 ponti” n n Sapete trovare un modo per disegnare la casetta qui a fianco senza mai staccare la matita dal foglio? E la busta chiusa qui a fianco? E se la apriamo? SOLUZIONI

SOLUZIONI n n n Ci sono esattamente due zone “non di passaggio”: A (da cui escono 3 linee) e B (da cui ne escono 5) Anche qui 2 zone “non di passaggio” (i 2 vertici in alto del rettangolo) Nella busta aperta tutti i punti sono zone “di passaggio”, quindi anche in questo caso esiste una soluzione

Hilbert fu preferito ad altri perché: n n n Rappresenta il sistema di assiomi per la geometria (proiettiva) più semplice per i suoi concetti e per i suoi enunciati, ed è più vicino di altri a quello di Euclide A partire dai suoi assiomi Hilbert dimostrò alcuni teoremi fondamentali della geometria euclidea (altri mostrarono che tutta la geom. Euclidea discende dagli assiomi) Hilbert dimostrò che tutti gli assiomi di un certo gruppo non possono essere dedotti dagli assiomi degli altri quattro gruppi (problema dell’indipendenza) Una delle caratteristiche più belle degli assiomi di Hilbert è che gli assiomi per la geometria non euclidea iperbolica si ottengono immediatamente sostituendo l’assioma euclideo delle parallele con l’assioma di Lobatchevsky-Bolyai, tutti gli altri assiomi del sistema di Hilbert restano invariati. Per ottenere gli assiomi per la geometria non euclidea ellittica, oltre ad abbandonare l’assioma euclideo delle parallele in favore dell’assioma di Riemann, si devono cambiare anche altri assiomi.

LA “CURVA DI HILBERT" n Il nome di Hilbert è legato a una semplice curva che riempie lo spazio. Essa viene generata continuando all’infinito il seguente processo: suddividiamo un quadrato unitario in 4 quadrati uguali e congiungiamo i loro punti centrali con una linea spezzata aperta formata da 3 segmenti; ora dividiamo ogni quadratino in altri 4 quadrati uguali e congiungiamo i centri dei 16 quadrati così ottenuti con una nuova linea spezzata; e così via all’infinito. La curva di Hilbert è il limite delle successive curve poligonali costruite ad ogni passo.

La costruzione della “curva di Hilbert” 1

La costruzione della “curva di Hilbert” 2

con un segmento ‘ ti copro ’ un quadrato n La curva di Hilbert fornì un altro esempio di applicazione continua di un segmento in un quadrato: infatti, poiché sia i sottoquadrati che le parti del segmento unitario si contraggono ad un punto al procedere della suddivisione, possiamo vedere intuitivamente che ad ogni punto del segmento unitario corrisponde un punto del quadrato.

Altre curve “fastidiose” n n La curva di Giuseppe Peano (1858 -1932) Il fiocco di neve di Helge. Von Koch (18701924)

La curva di Peano

La curva di Von Koch

I 23 PROBLEMI DI HILBERT n Hilbert viaggiò molto, specialmente per partecipare ai congressi internazionali di matematica, che sono diventati caratteristici nel XX secolo. Il primo congresso ufficiale di matematica fu tenuto a Zurigo nel 1893, il secondo a Parigi nel 1900, e da allora in poi si sono ripetuti più o meno regolarmente ogni 4 anni. A quello di Parigi, Hilbert, che era già un professore famoso a Gottinga, presentò una relazione in cui proponeva 23 problemi che a suo giudizio sarebbero stati o avrebbero dovuto essere quelli che maggiormente avrebbero impegnato l’attenzione dei matematici del XX secolo.

La matematica è una scienza viva! n n n “Se vogliamo farci un’idea del probabile sviluppo della conoscenza matematica nell’immediato futuro, dobbiamo passare in rassegna davanti alla nostra mente le questioni irrisolte e guardare ai problemi che la scienza moderna ha di fronte e la cui soluzione ci aspettiamo dal futuro. ” I problemi proposti da Hilbert interessavano la topologia, le equazioni differenziali, il calcolo delle variazioni, la struttura del continuo dei numeri reali, gli assiomi dell’aritmetica e altre branche della matematica. Circa metà di essi sono rimasti irrisolti, anche perché la matematica si è sviluppata in parecchie direzioni che non erano state minimamente anticipate nel 1900. “Fin tanto che una disciplina scientifica presenta una grande quantità di problemi, essa continua ad essere viva. ”

STRUTTURA DEI GRUNDLAGEN n SISTEMA DI ASSIOMI DI HILBERT n n n 8 ASSIOMI DI CONNESSIONE 4 ASSIOMI DI ORDINAMENTO 5 ASSIOMI DI CONGRUENZA ASSIOMA DELLE PARALLELE 2 ASSIOMI DI CONTINUITA’

I GRUNDLAGEN IN SINTESI n n n Hilbert apre i ‘Grundlagen’ con la seguente frase di Kant: “Ogni conoscenza umana parte da intuizioni, procede attraverso concetti e culmina in idee”; subito dopo elenca i concetti indefiniti: punto, retta, piano, giacere su, stare fra, congruenza di coppie di punti e congruenza di angoli; poi presenta il suo sistema di assiomi che riunisce in un solo insieme la geometria euclidea piana e solida. Gli assiomi sono suddivisi in 5 gruppi: assiomi di connessione, assiomi di ordinamento, assiomi di congruenza, assioma delle parallele e assiomi di continuità.

… tavoli, sedie e boccali di birra … n Secondo Hilbert, non è necessario assegnare alcun significato esplicito ai concetti indefiniti. Questi elementi, punto, retta, piano ed altri, potrebbero essere sostituiti, come disse Hilbert stesso, “da TAVOLI, SEDIE, BOCCALI DI BIRRA” e da altri oggetti. Gli assiomi non sono verità evidenti in sé, ma devono essere considerati arbitrari, anche se, di fatto, sono suggeriti dall’esperienza”

GLI 8 ASSIOMI DI CONNESSIONE (o di incidenza) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Per ogni coppia di punti A e B, esiste una retta a che giace su A e B Per ogni coppia di punti A e B, esiste al più una retta a che giace su A e B Su ogni retta ci sono almeno due punti. Esistono almeno tre punti che non giacciono su una retta Per ogni terna di punti A, B, C che non giacciono su una retta, esiste un piano α che giace su questi tre punti. Su ogni piano c’è almeno un punto Per ogni terna di punti non allineati A, B, C esiste non più di un piano che li contiene Se due punti di una retta a giacciono su un piano α, allora ogni punto sulla retta giace su α Se due piani α e β hanno un punto A in comune, allora hanno almeno un altro punto B in comune Esistono almeno quattro punti che non giacciono sullo stesso piano

I 4 ASSIOMI DI ORDINAMENTO 1. 2. 3. Se un punto B giace fra i punti A e C, allora A, B, C sono tre punti diversi su una retta e inoltre B giace anche fra C e A Per ogni coppia di punti A e C esiste almeno un punto B sulla retta AC tale che C giace fra A e B Fra tre punti qualsiasi su una retta non più di uno giace fra gli altri due DEF. Siano A e B due punti su una retta a, la coppia di punti A, B oppure B, A è detta SEGMENTO AB. I punti fra A e B sono detti punti del segmento AB o interni al segmento AB. A e B sono detti estremi del segmento. Si dice che sono esterni al segmento tutti gli altri punti della retta a. 4. (Assioma di Pasch) Siano A, B, C tre punti che non giacciono su una retta e sia a una retta qualsiasi nel piano di A, B, C che non passa per A, B e C. Se a passa per un punto del segmento AB, allora deve passare anche per un punto del segmento AC o per un punto del segmento BC

I 5 ASSIOMI DI CONGRUENZA 1. 2. 3. 4. 2. Se A, B sono due punti di una retta a e A’ è un punto di a o di un’altra retta a’, allora su un lato fissato (definito in precedenza) di A’ sulla retta a’ si può trovare un punto B’ tale che il segmento AB sia congruente al segmento A’B’. In simboli AB ≡ A’B’ Se A’B’ e A”B” sono congruenti ad AB, allora A’B’ ≡ A”B” Siano AB e BC due segmenti su una retta a privi di punti interni comuni, e siano A’B’ e B’C’ segmenti su una retta a’ privi di punti interni comuni. Se AB ≡ A’B’ e BC ≡ B’C’, allora AC ≡ A’C’ Supponiamo che l’angolo <(h, k) giaccia su un piano α e che la retta a’ giaccia su un piano α’. Sia fissato un lato di a’ su α’. Sia h’ un raggio di a’ che emana da un punto O’. Allora in α’ esiste uno ed un solo raggio k’ tale che l’angolo <(h, k) è congruente all’angolo <(h’ , k’) e tale che tutti i punti interni di <(h’, k’) giacciano su un lato fissato di a’: in simboli <(h, k) ≡ <(h’, k’). Inoltre ogni angolo è congruente a se stesso. Se per due triangoli ABC e A’B’C’ si ha che AB ≡ A’B’, AC ≡ A’C’ e gli angoli <BAC ≡ <B’A’C’ allora anche gli angoli <ABC ≡ <A’B’C’

L’ASSIOMA DELLE PARALLELE Sia a una retta e A un punto non di a. Allora nel piano di a e A esiste al più una retta per A che non incontra a. OSS. L’esistenza di almeno una retta per A che non interseca a può essere dimostrata e quindi non è necessaria in questo assioma

I 2 ASSIOMI DI CONTINUITA’ 1. 2. (Assioma di Archimede) Se AB e CD sono due segmenti qualsiasi, allora esiste sulla retta AB una famiglia di punti A 1, A 2, … An tali che i segmenti AA 1, A 1 A 2, … An-1 An sono congruenti a CD e tali che B giace fra A e An. (Assioma di completezza lineare) I punti di una retta formano una collezione di punti che, soddisfacendo gli assiomi di connessione, di ordinamento, di congruenza e di Archimede, non possono essere estesi ad una collezione più grande che continui a soddisfare gli stessi assiomi.

A B C n A C n B C n a A B Primo assioma di ordinamento Secondo assioma di ordinamento Assioma di Pasch

A B C a n A’ B’ C’ Terzo assioma di congruenza a’ A n Assioma delle parallele n Assioma di Archimede a A A 1 C D A 2 An-1 B An

Il significato ‘culturale’ della geometria “La geometria è stata al centro di momenti cruciali per lo sviluppo della scienza, anzi della civiltà occidentale: di più essa ne è stata spesso il motore. ” Francesco Speranza Purtroppo la divisione delle due culture (scientifica e umanistica) è stata particolarmente nociva per la matematica e per la filosofia che costituivano fino all’inizio dell’Ottocento una cerniera fra le due visioni del mondo. La matematica è stata percepita dall’opinione pubblica principalmente (se non esclusivamente) come strumento di calcolo, perdendo così gran parte del suo fascino. Non è raro trovare in qualche popolare talk-show televisivo importanti ed affermati personaggi del mondo della politica, della medicina o dello spettacolo che si vantano di aver raggiunto la loro posizione sociale senza aver mai capito nulla di matematica. Ma allora la tesi di Speranza ricordata poco sopra è falsa? E se invece è vera, dove possiamo trovare argomenti che la sostengano?

GEOMETRIA E CULTURA (solo alcuni esempi) n n n Geometria e filosofia Geometria ed epistemologia Geometria ed arte

Rapporto geometria-filosofia n La crisi delle grandezze incommensurabli, viene liquidata come un problema tecnico: l’inadeguatezza della matematica greca, e ci si addentra in un mare di calcoli prevalentemente senza interesse culturale (i radicali). n Basterebbe sottolineare che questa crisi sconvolse l’idea del mondo per i platonici (insieme finito di puntiatomi) e soprattutto, mettendo in crisi quello che i sensi sembravano asserire in modo incontrovertibile, portò i pensatori greci all’idea che solo la ragione può condurre alla vera conoscenza: nascita dell’idealismo.

Rapporto tra geom. non euclidee e nuovo razionalismo n n n L’idea di introdurre elementi di geom. non euclidea nei programmi della scuola superiore è ottima, ma c’è il rischio che , invece di sviluppare le idee più profonde scaturite dalla rivoluzione non euclidea, ci si limiti a dimostrare qualche ulteriore teorema magari accompagnato da alcune sparse notizie storiche. I principali aspetti epistemologici da mettere in risalto dovrebbero essere: il superamento della vecchia concezione della geometria; la possibilità di pensare per modelli; la doppia natura della geometria: scienza empirica e scienza astratta (descrittrice della realtà e ideatrice di strutture astratte) “il nuovo razionalismo non può svilupparsi se non in stretta interazione con il pensiero scientifico e poiché il pensiero scientifico si trasforma, anche il nuovo razionalismo non può pretendere in alcun momento di aver trovato la soluzione definitiva ai problemi epistemologici. ”(Gonseth, 1937)

Modelli di Geometrie Non Euclidee n Modello di Poincarè, geom iperbolica n Modello di geometria ellittica n Modello di geometria iperbolica

Modello di Poincaré n n È un modello per la geometria iperbolica piana: il piano è un cerchio; le rette sono archi di cerchio (interni al cerchio fissato, che lo tagliano ortogonalmente) e le rette per il suo centro. Data una retta r ed un punto P che non le appartiene, esistono infinite rette passanti per P e parallele ad r.

Le rotte aeree sono archi di cerchi massimi n n È un modello per la geometria ellittica: il piano è la superficie di una sfera; le rette sono cerchi massimi sulla sfera ( ad esempio l’equatore e i meridiani terrestri) Data una retta r ed un punto P che non le appartiene, non esiste alcuna retta passante per P e parallela ad r.

Rapporto geometria-arte n n Leon. Battista Alberti (1435) e Piero della Francesca (1478) Albrecht Durer (1525) anticipano di circa 200 anni la geometria proiettiva e con l’invenzione della prospettiva e del punto di fuga sconfiggono l’horror infiniti dei greci A lato: “Flagellazionedi Cristo”, di Piero della Francesca(Galleria Nazionale delle Marche, Urbino) e “Creazione meccanica dell’immagine prospettica”, di Albrecht Durer

geometria e arte: MAURITS CORNELIS ESCHER

Gruppi di trasformazioni in MAURITS CORNELIS ESCHER

Gruppi di trasformazioni nell’ARTE ARABA

BIBLIOGRAFIA ESSENZIALE n n n n n Carl B. BOYER, Storia della matematica, Arnoldo Mondadori Editore Morris KLINE, Storia del pensiero matematico, Biblioteca Einaudi Francesco SPERANZA, Scritti di epistemologia della matematica, Pitagora Editrice Bologna R. COURANT e H. ROBBINS, Che cos’è la matematica? , Serie Scientifica, Bollati Boringhieri A. D. ALEKSANDROV, A. N. KOLMOGOROV, M. A. LAVRENT’EV, Le matematiche, Serie Scientifica, Bollati Boringhieri Nikolaj LOBACEVSKIJ, Nuovi principi della geometria (con una teoria completa delle parallele), Serie Scientifica, Bollati Boringhieri Bernhard RIEMANN, Sulle ipotesi che stanno alla base della geometria, Serie Scientifica, Bollati Boringhieri Emma CASTELNUOVO, Pentole, ombre, formiche (in viaggio con la matematica), La Nuova Italia M. C. ESCHER, Grafica e disegni, Taschen

RINGRAZIO: n n n Anna, Giorgia e Riccardo per la loro pazienza nei miei confronti e per l’amore che sempre mi donano; Laura per avermi trasmesso la passione per la ricerca e il desiderio di capire; Il Prof. Eugeni e la Prof. ssa Ghiraldini per avermi dato l’occasione di realizzare questo lavoro.