Universit HassanII Facult des sciences An chock Casablanca

Université Hassan-II Faculté des sciences Aïn chock Casablanca Khayar-marrakh sphériques Réalisé par A. KHAYAR R. MARRAKH Professeurs assistants - département de physique

Les coordonnées cartésiennes employées habituellement pour représenter un point dans l'espace à trois dimensions ne sont pas toujours les plus appropriées. On retiendra deux autres types de coordonnées pour repérer un point ou décrire un champ ( scalaire ou vectoriel ) : les coordonnées cylindriques et les coordonnées sphériques.

Khayar-marrakh Pré requis : q Système de coordonnées cartésiennes et cylindriques q Grandeurs scalaires et vectorielles q Calcul vectoriel : produit scalaire, produit vectoriel, produit mixte… Objectifs : Au terme de ce travail le participant doit être capable de : q Repérer un point de l’espace en utilisant le système des coordonnées sphériques q Passer des coordonnées cylindriques et sphériques aux coordonnées cartésiennes q Utiliser ces systèmes de coordonnées dans la résolution des problèmes présentant une symétrie sphérique

Khayar-marrakh Coordonnées sphériques

Khayar-marrakh Voici un point M dans l’espace. Comment le repérer ? Ainsi le point M est repéré par les nouvelles coordonnées r , et . Ces coordonnées sont appelées coordonnées sphériques. Réponse: : Question Domaine de Coordonnées On trace les axes du repère et on exprime variation Peut on repérer le point M dans le demi M en, coordonnées cylindriques. Oui le point M estdeparfaitement plan j = constante par nouvelles r = OM ] 0 méridien, , + [ si on repéré dans le coordonnées ? plan connait la distance OM = r et l’angle . = ( Oz+, OM) Origine : le point M( z , , ) r [0, p] O O O = ( Ox+, Om) zz [ 0 , 2 p [ Oz+ le demi-axe positif xxx (origine des phases) m (origine des phases) Ox+ le demi-axe positif yyy

Expressions de r, et en fonction de x , y et z. Khayar-marrakh z O f (r, , ) g(r, , ) z h(r, , ) M m Dans ce triangle on a : r y O y , y et z en fonction m P Soient r, et Ples coordonnées du à point M. Dans le plan Oxy ) Objectif : ( On cherche exprimer x Dans le demi-plan P exprimons de ry , x etety en . fonction de et . exprimons et z en fonction de r et . m′ Considérons le triangle rectangle Om′m. x O O′ z Considérons le triangle rectangle OO′M. O x m′ Dans ce triangle on a : M P

Khayar-marrakh Surfaces de Coordonnées Définition : Une surface de coordonnée est l’ensemble de points telle que l’une des trois coordonnées est constante. Première surface de coordonnée r = r 0 ( et varient respectivement de 0 à et de 0 à 2 ) Deuxième surface de coordonnée = 0 ( r et varient respectivement de 0 à + et de 0 à 2 ) Troisième surface de coordonnée = 0 ( r et varient respectivement de 0 à + et de 0 à )

Première surface de coordonnée r = ro Khayar-marrakh Pour = 1 : z Soit M un point de coordonnées r , et . Dans une rotation j = 2 p… θ quelconque Réponse Si. Pour on fixe r ( : r = ro) : O' r 0 sin θ 1 Lorsque on fait varier θ de façon continue … Question : Le point M décrit un cercle de centre Quelle est la surface décrite par le O' et de rayon ro sin q 1. point M lorsque on fait varier et ? q 1 r 0 rs 0 r in θ q 2 M 2 O r 0 j y r 0 sin θm 2 Pour = 2 , des 3 cercles = 2 , forme 4 = une - 2 sphère et 5 =de - 1 : L’ensemble [0, p] [ 0 , r 2 p. [ centre O et de rayon o On obtient un ensemble de cercles d’axe Oz et de rayon rosin qi ( i = 2 , 3…) x r 0 sin θ 1 Conclusion : La première surface de coordonnée décrite par le point M est une sphère de centre O et de rayon ro. C’es la raison pour laquelle ce système est appelé système de

z Deuxième surface de coordonnée = o Pour r = r 1 : Dans = 2 p… Soit Mune un rotation point de coordonnées r , et . Khayar-marrakh z Pour r quelconque : Si Réponse on fixe : ( = 0 ) M Lorsque on fait varier r de façon continue … Le. Question point M : décrit un cercle d’axe Oz et de rayon r 1 sin qo. Quelle est la surface décrite par le r 4 r 3 q 0 point M lorsque on fait varier et r ? Pour r = r 2 , r = r 3 et r = r 4 … M M r 2 q 0 ] 0 , + [ [ 0 , 2 p On obtient un ensemble de[cercles d’axe L’ensemble de cercles et de rayons Oz et de rayons ri sin qod’axe ( i = 2 Oz, 3…). r sin θo forme un cône d’axe Oz et de demi angle au sommet qo. M r 1 O j m x Conclusion : La deuxième surface de coordonnée décrite par le point M est un cône d’axe Oz et de demi angle au sommet o. y

Troisième surface de coordonnée = 0 Khayar-marrakh z Pour r 1 : Pour rr=quelconque : Soit M un point de coordonnées r , et . Dans une rotation = p… Lorsque on fait varier r de façon continue … Si Réponse on fixe : ( = 0 ) M r 4 M Question : Le point M décrit un demi-cercle de centre O et de rayon r 1. r 3 M r 2 Pour r = r 2 la , rsurface = r 3 et décrite r = r 4 … Quelle est par le point M lorsque on fait varier et un r ? demi. L’ensemble des demi-cercles forme On obtientdedes demi-cercles de centre O disque rayon infini demi-plan. et de rayons ri ( i = 2 , 3 , 4 …). [0, p] ] 0 , + [ Conclusion : q M r 1 O j j 0 x La troisième surface de coordonnée décrite par le point M est un demi-plan ( le méridien ) ayant l’axe Oz pour frontière et faisant un angle 0 avec l’axe Ox+. r 1 m r 2 y r 3 r 4

Khayar-marrakh Axes de Coordonnées Définition : Un axe de coordonnées est l’intersection de deux surfaces de coordonnées, c’est-à-dire l’ensemble des points obtenus en fixant les valeurs de deux coordonnées et en laissant libre la troisième. Axe des r = o et = o Axe des r = r o et = o

Khayar-marrakh Axe des r r z On trace les deux surfaces de coordonnées: = o et = o o o Leur intersection donne o l’axe (orienté) des r Conclusion : y x L’ensemble des points M appartenant à l’intersection du cône, de sommet O, et du demi-plan o; forme une demi-droite d’origine O. Cette demi-droite appelée axe des r. est

Axe des Khayar-marrakh z On trace les deux surfaces de coordonnées: r = ro et = o O y jo Leur intersection donne l’axe (orienté) des xx Conclusion : L’ensemble des points M appartenant à l’intersection de la sphère, de rayon ro, et du demi-plan o; forme un demi-cercle de centre O et dont le diamètre est porté par l’axe Oz. Ce demi-cercle est appelé axe des .

z Axe des Khayar-marrakh On trace les deux surfaces de coordonnées: r = ro et = o o Leur intersection donne l’axe (orienté) des x Conclusion : L’ensemble des points M appartenant à l’intersection de la sphère, de rayon ro, et du cône, de demi-angle au sommet o; forme une circonférence d’axe Oz. Ce cercle est appelé axe des . y

Vecteurs unitaires Khayar-marrakh z r er Traçons à partir du point M les trois axes A partir de M on trace les vecteurs de coordonnées. unitaires tangents et dans le sens croissant de ces trois axes. r er O′ M′ Axes des vecteurs unitaires M e e e j e r ayant le même sens que O r. q q tangent à l’axe des et dans le sens de la rotation. O y x , autre point et M′ changent de direction et de sens, suivant la position du Pour un Conclusion : est le même vecteur unitaire dans les deux systèmes point M dans l’espace. cylindrique et sphérique. sont respectivement les vecteurs unitaires associés aux axes des r, des et des dirigés dans le sens croissant des variables r, et .

Expressions de er , e et e dans le système cartésien Etape 1 er e e ez e e Khayar-marrakh z z Dans le demi-plan P on a la configuration suivante : z e rr dans le système sphérique ez er et eze dans le système cylindrique O' M ee e e Objectif : On cherche à exprimer , r et e dans le er Etapeq 2 e sont identiques système cartésien. e M Remplaçant, maintenant, et par leurs cartésien. q dans le système expressions Procédure : O yy e résultat établi donnent: au diapositiveau 16 système des deux Etape. Les 1 : passage du étapes système sphérique (coordonnées cylindriques) Etape 2 : passage au système cartésien. x P

Khayar-marrakh Déplacement élémentaire z r + dr r Soient M et M' deux points de l’espace. M M' + d N. B. : M’ est infiniment voisin de M. r + d O' Question: : Réponse de M à M' est leélémentaire Le déplacement élémentaire résultat Quelle est l’expression du vecteur déplacement dj sinq dj M rr sinq r dq j r de trois déplacements : dl = MM' dans ce système de coordonnées ? M 1 dj q r dq O y Deuxième déplacement MM'suivant = MM 1 l’axe + Mdes 1 M 2 + M 2 M' M 1 M 2 = r d ou encore r Troisième déplacement des ' + M MM'suivant = M 2 Ml’axe 1 M 2 +x MM 1 de M 2 vers M' dr M 2 q Premier déplacement suivant l’axe des MM 1 = r sin d de M vers M 1 de M 1 vers M 2 M' = dr M 21 r r +r dr M'21 + d ++d +d d

Surfaces élémentaires r = constante z On se trouve sur la sphère derayon r. M M’ sur la Un déplacement élémentaire MM’, sphère r = constante définit un élément de surface. d r si n Si nous effectuons un déplacement N. B. : M’ estsuivant infiniment voisin élémentaire l’axe desde M. , su ivi autre des , on d’un obtient un suivant élémentl’axe de surface r d O r sin d d. S r d x A retenir : Λ d. S = = r 2 sin d. Sd = d r 2 sin d d d. S y

On se trouve sur la = constante Khayar-marrakh z surface latérale du cône. M M' sur la Un déplacement élémentaire MM', surface = constante, définit un élément de surface. d. S Si nous effectuons un déplacement N. B. : M’ estsuivant infiniment voisin élémentaire l’axe desde M. , su on obtient un élément de surface ivi d’un autre suivant l’axe des r , O d. S dr x r sin d d. S = = A retenir : Λ r sin dr d d. S = r sin dr d y

Khayar-marrakh On se trouve sur = constante z le demi-plan . MMM', Un déplacement élémentaire M ' sur la surface = constante, définit un élément de surface. d. S Si nous effectuons un déplacement N. B. : M' estsuivant infiniment voisin su élémentaire l’axe desde , M. ivi autre des r , on d’un obtient un suivant élémentl’axe de surface O dr d. S r d x A retenir : Λ d. S = = r dr d d. S y = r dr d

Khayar-marrakh z Volume élémentaire Soient M et M' deux points de l’espace. N. B. : M' est infiniment voisin de M. Un déplacement élémentaire MM' définit un élément de volume dt. dt q O et des déplacements élémentaires Oneffectuons obtient le volume élémentaire dt y le long de ces axes. Surface de la base x A retenir : r 2 sin = Λ M' j Traçons d’abord les axes de coordonnées dt = ( r M ) dr d d dt = r 2 sin dr d d r d dr dr r sin d

Nous désirons exprimer nos remerciements à tous les collègues qui, par leur aide et leur encouragement, nous ont permis d’achever ce travail. n Septembre 2009