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Université d’Angers - LPA CH VII Théorie de la Couche Limite 1 - Notion de couche limite Considérons l’écoulement d’un fluide autour d’un objet : Relativement loin de l’objet , on peut négliger les effets de la viscosité si le nombre de Reynolds est suffisamment grand. dans ces conditions, le fluide peut être considéré parfait et l’écoulement peut être décrit par la cinématique. MAIS : cette hypothèse n’a plus de sens lorsqu’on se rapproche de la paroi de l’objet : la vitesse du fluide devient progressivement nulle. proche de la paroi , la viscosité joue un rôle important : on doit y décrire l’écoulement au moyen de l’équation de. Navier-Stokes.

Université d’Angers - LPA CH VII - Théorie de la Couche Limite Le domaine de transition où la vitesse devient progressivement nulle est appelée « couche limite » . fluide parfait (µ 0) écoulement couche limite objet Remarques : l’épaisseur de la couche limite dépend de Re. au sein de la couche limite, l’écoulement peut être soit laminaire soit turbulent (cela dépend également de Re).

CH VII - Théorie de la Couche Limite Université d’Angers - LPA Au contact de la paroi, quand le profil de vitesse présente une pente infinie , on dit qu’il y a décollement de la couche limite. Après le point de décollement D, la couche limite devient turbulente : les forces de viscosité ne sont plus assez importantes pour assurer le contournement normal de l’objet il se forme un « sillage » D sillage Le sillage est d’autant plus important que l’objet est mal profilé : en pratique, on cherche à optimiser le profil de façon à minimiser le sillage. Le sillage est en effet responsable d’une dissipation d’énergie importante.

CH VII - Théorie de la Couche Limite Université d’Angers - LPA 2 - Grandeurs caractéristiques de la couche limite a) Epaisseur Elle est définie comme la distance à la paroi à partir de laquelle la vitesse devient supérieure à 99% de la vitesse de l’écoulement uniforme (non perturbé par l’objet) : y écoulement uniforme couche limite épaisseur de la couche limite x

CH VII - Théorie de la Couche Limite Université d’Angers - LPA b) Epaisseur de déplacement Pour définir l’épaisseur de déplacement, on évalue le flux manquant par rapport à celui qu’on aurait dans l’hypothèse d’un écoulement uniforme jusqu’à la paroi : On a ainsi : y y x x Cette définition de l’épaisseur revient à poser le principe de conservation du débit volumique.

Université d’Angers - LPA CH VII - Théorie de la Couche Limite 3 - Etude dimensionnelle de la couche limite Au sein de la couche limite, l’écoulement doit être décrit au moyen de l’équation de Navier-Stokes. La résolution de cette équation s’avère difficile sans poser un certain nombre d’approximations : Ces approximations doivent être validées sur les bases d’une analyse dimensionnelle. Considérons alors, au sein de la couche limite, un écoulement : stationnaire ; où les effets de la pesanteur sont négligeables ; bidimensionnel (x, y). Avec ces hypothèses, l’équation de Navier-Stokes se résume à :

CH VII - Théorie de la Couche Limite Université d’Angers - LPA Et comme , on peut écrire : (i) (ii) y On peut ainsi poser que : écoulement uniforme et (i) couche limite x (ii)

Université d’Angers - LPA CH VII - Théorie de la Couche Limite Analysons les différents ordres de grandeurs caractéristiques : ordre de grandeur de la vitesse longitudinale (écoulement uniforme). ordre de grandeur de la vitesse transversale. où x peut représenter la distance au front de l’objet. où peut représenter l’épaisseur de la couche limite. On sait que l’équation de continuité doit être vérifiée : donc et sont nécessairement du même ordre de grandeur. On peut alors en déduire que : et

CH VII - Théorie de la Couche Limite Université d’Angers - LPA On sait alors que et sont du même ordre de grandeur . Donc : On en déduit l’ordre de grandeur de l’épaisseur de la couche limite : l’épaisseur de la couche limite croît en (x) couche limite x

Université d’Angers - LPA CH VII - Théorie de la Couche Limite Bilan : L’analyse dimensionnelle nous a permis de montrer que : équation à résoudre avec comme conditions aux limites :

Université d’Angers - LPA CH VII - Théorie de la Couche Limite 4 - Résolution - Equation de Blasius Equation à résoudre : En dehors de la couche limite, on sait que sur une même ligne de courant, la vitesse reste à peu près constante, par conséquent : sur une ligne de courant en dehors de la couche limite Or, on a vu que dans la couche limite, on a : Donc, comme il y a continuité des pression à la frontière de la couche limite, on peut en déduire que : dans la couche limite Par conséquent, il reste seulement à résoudre :

CH VII - Théorie de la Couche Limite Université d’Angers - LPA On peut alors raisonner en terme de lignes de courant au sein même de la couche limite : où et donc On peut alors trouver en intégrant : Exprimons d’abord la vitesse u en fonction de U : où nombre sans dimension épaisseur de la couche limite en x donc la fonction est telle que :

Université d’Angers - LPA On peut alors écrire : Donc il faut résoudre : CH VII - Théorie de la Couche Limite car sachant que : On obtient ainsi : Soit, après simplification : équation de Blasius résolution numérique

CH VII - Théorie de la Couche Limite Université d’Angers - LPA En considérant les conditions aux limites suivantes : et. . . la solution numérique peut être approximée, proche de la paroi, par : y 1 On en déduit aussi : x

CH VII - Théorie de la Couche Limite Université d’Angers - LPA On peut donc définir un nombre de Reynolds « local » : caractérise la nature de l’écoulement à la distance x du front de l’objet, au sein de la couche limite. Ainsi, toutes les grandeurs sans dimensions qui peuvent caractériser la couche limite peuvent être définies à partir de ce nombre de Reynolds local : contrainte de frottement ( = xy) coefficient de traînée local : Remarque : pour obtenir le coefficient de traînée global, il suffit d’intégrer cf sur toute la longueur de l’objet, soit : où correspond au nombre de Reynolds global

CH VII - Théorie de la Couche Limite Université d’Angers - LPA 5 - Couche limite turbulente Ce que l’on vient d’établir concerne une couche limite laminaire. On a vu que la nature de l’écoulement pouvait être localement décrit au moyen du nombre de Reynolds local : On constate alors que Rex croît avec la distance x : quand Rex > 5. 105 (=Rexc), la couche limite devient turbulente. Concrètement, la transition du laminaire au turbulent se manifeste par un épaississement brutal de la couche limite. Rexc x

Université d’Angers - LPA CH VII - Théorie de la Couche Limite 6 - Efforts exercés sur les solides On peut distinguer des efforts de deux types : ceux provenant de la résultante des forces de pression ; ceux provenant des contraintes tangentielles (frottements visqueux). A titre d’illustration, considérons un profil d’objet non symétrique : Les forces de pression sont normales sur la face supérieure, la vitesse est plus grande que U dépression (p<p 0 0) sur la face inférieure, la vitesse est plus petite que U surpression (p>p 0 0) Les forces de frottement sont tangentielles

Université d’Angers - LPA CH VII - Théorie de la Couche Limite La résultante des forces de pression présente : une composante verticale : la portance (Lift) une composante horizontale : la traînée (Drag) La résultante des forces de frottement présente : une composante verticale : la portance (Lift) une composante horizontale : la traînée (Drag) Globalement, l’objet est soumis à une force de portance : et une force de traînée :

Université d’Angers - LPA CH VII - Théorie de la Couche Limite D’un point de vue pratique, si l’on souhaite évaluer ces deux forces, il faudrait connaître, en tout point de la surface de l’objet, la pression et le tenseur des contraintes : c’est analytiquement impossible ! On a donc recours à l’utilisation de deux coefficients sans dimension pour décrire la portance et la traînée sur un objet spécifique : le coefficient de portance : le coefficient de traînée : où A est une aire caractéristique de l’objet Ces deux coefficients sans dimension sont en pratique déterminés numériquement ou expérimentalement. On pourra alors en déduire les forces de traînée et de portance pour tout objet semblable et pour tout type d’écoulement.

CH VII - Théorie de la Couche Limite Université d’Angers - LPA a) la traînée De façon générale, on peut l’expliciter comme : où rôle de la forme : La résistance à l’écoulement dépend évidemment de la forme de l’objet. En outre, pour un même objet, le CD peut varier suivant l’orientation de l’objet :

Université d’Angers - LPA CH VII - Théorie de la Couche Limite rôle du nombre de Reynolds : Selon la valeur de Re, les forces de viscosité peuvent prendre plus ou moins d’importance. Or le coefficient de traînée résulte en partie de ces forces : le CD d’un même objet dépend largement de la nature de l’écoulement. Par exemple, pour de très faibles valeurs de Re (Re<1), on a : Et plus spécifiquement, pour une sphère on peut calculer : rôle du nombre de Mach : Au voisinage de Ma=1, la compressibilité du fluide ne peut plus être négligée. On a par exemple apparition d’ondes de choc responsables de l’augmentation brutale de CD. rôle du nombre de Froude : De façon générale, CD augmente quand Fr diminue. En effet, plus Fr est faible, plus les effets dus à la surface libre sont importants : par exemple, les ondes de surface génèrent une résistance à l’écoulement. rôle de la rugosité : Une paroi rugueuse a pour effet de décoller la couche limite plus rapidement : celle-ci devient turbulente plus tôt ( diminution de CD).

Université d’Angers - LPA CH VII - Théorie de la Couche Limite b) la portance Comme pour la traînée, on a : Mais parmi tous ces paramètres, la forme de l’objet est celui qui influe le plus sur le coefficient de portance. Par exemple, l’effet Magnus en est une illustration : il peut y avoir portance même s’il n’y a pas de frottement autour d’un objet parfaitement symétrique. Une circulation nulle autour de l’objet assure donc sa portance.

Université d’Angers - LPA CH VII - Théorie de la Couche Limite Il apparaît alors qu’une circulation du fluide est nécessaire pour en assurer sa portance. Mais. . . Théorème de Kelvin : Si à un instant donné la circulation est nulle, elle le restera. Il se pose alors le problème de la portance d’une aile d’avion : avant décollage, à l’arrêt, la circulation autour de l’aile est nécessairement nulle. D’après le théorème de Kelvin, la circulation reste nulle au décollage et en vol ! Comment est alors assurer la portance ? La circulation autour de l’aile s’annule par création d’un tourbillon en bord de fuite

CH VII - Théorie de la Couche Limite Université d’Angers - LPA Remarque : la portance L augmente avec U 2 et avec quand la vitesse est faible (atterrissage & décollage) il faut donc augmenter le plus possible l’angle d’attaque pour assurer la portance nécessaire. Mais attention ! Trop augmenter l’angle d’attaque peut provoquer un décollement prématuré de la couche limite : le sillage augmente brutalement CD augmente d’autant. Il s’en suit que la vitesse chute CL et donc la portance diminuent. l’avion « décroche » généralement, on améliore la situation en adaptant des volets sur l’aile. . .

CH VII - Théorie de la Couche Limite Université d’Angers - LPA Volet de bord d’attaque on repousse le ainsi de point de décollement de la couche limite on peut augmenter l’angle d’attaque en prenant moins de risque de décrochement. Volet de bord de fuite La circulation est ainsi augmentée, ce qui permet d’améliorer la portance. Remarque : on peut trouver des configurations où plusieurs volets de bord de fuite s’enchaînent. FIN