UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL Fundamentos

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL Fundamentos de Matemática B Professores: Alvino e Luísa Critérios de divisibilidade e Congruência Andréa Ritter, Belissa Schönardie Porto Alegre, 05 de outubro de 2009. & Camila Rodrigues

Definição Se a e b são inteiros, dizemos que a divide b, denotando por a|b, se existir um inteiro c tal que b = ac. Se a não divide b escrevemos a b.

Proposições 1. 1) Se a, b e c são inteiros, a|b e b|c, então a|c. Como a|b e b|c, existem inteiros k 1 e com b= k 1 a e c=k 2 b. Substituindo o valor de b na equação c=k 2 b teremos c=k 2 k 1 a o que implica que a|c.

1. 2) Se a, b, c, m e n são inteiros, c|a e c|b então c|(ma + nb). Se c|a e c|b então a = k 1 c e b = k 2 c. Multiplicando-se estas duas equações respectivamente por m e n teremos ma = m k 1 c e nb = n k 2 c. Somando-se membro a membro obtemos ma+nb=(mk 1 c+nk 2 c), o que nos diz que c|(ma + nb).

Divisibilidade por 9 Vamos considerar um número N com 5 dígitos abcde, na base 10. Sendo assim, podemos reescrevê-lo na forma: n = a x 104 + b x 103 + c x 10² + d x 10 +e Façamos as seguintes substituições:

10=9+1 100=99+1 1000=999+1 10000=9999+1 Obtemos então: N= a(9999+1) + b(999+1) + c(99+1) + d(9+1) + e= =(9999 a +999 b +99 c +9 d) + (a+b+c+d+e) = =9(1111 a + 111 b + 11 c + d) + (a + b + c + d + e).

Disto concluímos que se 9|n, como 9|9(1111 a + 111 b + 11 c + d), então 9 deve dividir (a + b + c + d + e) pela proposição 1. 2. Reciprocamente se 9| (a + b + c + d + e) , então 9|n, uma vez que 9|9(1111 a + 111 b + 11 c + d).

Provamos desta maneira o critério de divisibilidade por 9: “ Um número é divisível por 9 se, e somente se, a soma de seus algarismos é divisível por 9. ”

Outra forma de demonstrarmos a divisibilidade por 9 é fazendo a utilização do critério de congruência. Dados os naturais a, b e c, dizemos que “a é congruente a b módulo c”, que denotamos por a b (mod c), se e somente se b – a é divisível por c. No nosso caso, a b (mod 9) b-a é divisível por 9.

Seja {x N/x=anan-1. . . a 1 a 0} Podemos também escrever x como x=an. 10 n + an-1. 10 n-1 +. . . + a 1. 101 + a 0. 100 Como 10 n 1(mod 9), temos, x=an. 1(mod 9), +an-1. 1(mod 9), +. . . +a 1. 1(mod 9)+a 0. 1(mod 9) x=[an+an-1+. . . +a 1+a 0](mod 9) Desta forma, 9|x an+an-1+. . . +a 1+a 0=0, ou seja, 9|x 9|(an+an-1+. . . +a 1+a 0)

Divisibilidade por 11 Para obter um critério de divisibilidade por 11, vamos analisar o valor posicional dos algarismos. 1: para cada unidade, haverá SOBRA de uma unidade ao dividirmos por 11 10: para cada dezena, haverá FALTA de uma unidade para completar 11 (pois 10+1=11) 100: para cada centena, haverá SOBRA de uma unidade ao dividirmos por 11 (pois 100 -1=99=11 x 9) 1000: para cada milhar haverá FALTA de uma unidade para completar 11 (pois 1000+1=1001 = 11 x 91) e assim por diante. . .

Ou seja, 102 n 1(mod 11) e 102 n+1 -1(mod 11), n N ) Antes de generalizar, vamos ver um exemplo: O número 58322 é divisível por 11? 58322 = 5 x 104 + 8 x 103 + 3 x 102 + 2 x 101 + 2 x 100 = 5(104 -1) + 8 (103+1) +3(102 -1) + 2(101+1) + 2 (100 -1)+5 -8+3 -2+2 É divisível por 11 Portanto, é preciso que este número também seja divisível por 11

Assim, para saber se um número é divisível por 11, somamos os algarismos de ordem par e subtraímos os algarismos de ordem ímpar. Se o resultado for múltiplo de 11, o número original será múltiplo de 11. Lembrete: a ordem das unidades é zero, das dezenas é 1, etc. Logo, como +5 -8+3 -2+2 = 0 e este é múltiplo de 11, 58322 é divisível por 11.

Generalizando. . . 11 a se a soma alternada de todos os algarismos de a é divisível por 11. 102 n 1(mod 11) e 102 n+1 -1(mod 11), n N. Podemos reescrever assim: 10 k (-1)k (mod 11) será 1 ou -1 dependendo da paridade de k. Logo, a (-1) k ak +(-1) k-1 ak-1 +. . . +a 2–a 1 + a 0 (mod 11)

Exemplos: a) 11 divide 21428, pois Soma dos algarismos de ordem par: 8 + 4 + 2 = 14 Soma dos algarismos de ordem ímpar: 2 + 1 = 3 Diferença: 14 – 3 =11 De fato, 21428: 11= 1948 b) 11 não divide 75893482, pois Soma dos algarismos de ordem par: 2+4+9+5 = 20 Soma dos algarismos de ordem ímpar: 8+3+8+7=26 Diferença: 20 – 26 = -6 Como o resultado foi negativo, isso mostra que faltam 6 unidades para o número ser divisível por 11. Ou seja, o resto da divisão de 75398482 por 11 é 11 -6 = 5.

Divisibilidade por 7 Um número é múltiplo de 7 se, e somente se, o número obtido ao calcular a diferença entre o dobro do último algarismo e o restante do número original também o for. Exemplo: 1757 é um múltiplo de 7, pois 175 − 2 × 7 = 161 = 16 – 2 = 14, que é divisível por 7. Por outro lado, 9178 não é divisível por 7, pois 917 − 2 × 8 = 901 = 90 -2 = 88.

Demonstração: Seja i o dígito das unidades do número n, que pode ser escrito como 10 k + i. No procedimento anterior obtivemos um número r do tipo k – 2 i. Será suficiente provar que os números 10 k + i e K - 2 i são tais que, se um deles é múltiplo de 7, o outro também é. 10 k + i é múltiplo de 7 k – 2 i é múltiplo de 7.

( ) Se 10 k + i é múltiplo de 7, então existe um inteiro m tal que 10 k + 1 = 7 m e, portanto, k – 2 i = k – 2(7 m - 10 k) = k – 14 m + 20 k = 21 k – 14 m = 7(3 k-2 m) o que implica k – 2 i ser múltiplo de 7. ( ) Se k -2 i é múltiplo de 7, então existe um inteiro n, tal que k – 2 i = 7 n e portanto, 10 k + i = 10(7 n + 2 i) + i = 70 n + 20 i + i = 70 n + 21 i = 7(10 n + 3 i) o que implica 10 k + i ser múltiplo de 7, concluindo a prova.

Através de congruências temos: 10 =73; 10²=7 3 x 3 =72; 10³=73 x 2=76; 104 =72 x 2=74; 105 =72 x 6=75; 106=76 x 6=71 e, para as demais potências de 10, os resultados se repetem: 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, . . . Ex. : 21861 =72 x 104+1 x 10³+8 x 10²+6 x 10+1= =72 x 4+1 x 6+8 x 2+6 x 3+1 =71+6+2+4+1 =714=0 ou ainda 21861 =7 21000+861 =7 700+161= =7140+21==70+0 =70

Seja N= 3 045 258 329 506 e consideremos n 1 =506, n 2=329, n 3=258, n 4=045 e n 5=3, obtidos pela separação dos algarismos de N, em grupos de três algarismos da direita para a esquerda. Sejam r 1, r 2 , r 3 , r 4 e r 5 os restos das divisões desses números por sete, respectivamente. Observa-se que esses restos são facilmente determinados sem efetuar as divisões, pela subtração de múltiplos de 70 ou 7, do seguinte modo:

506 -490=16, 16 -14=2, logo r 1=2; 329 -280=49, 49 -49=0, logo r 2=0; 258 -210=48, 48 -42=6, logo r 3=6; 45 -42=3, logo r 4=3 e r 5=3 Seja agora N’= r 1 - r 2+ r 3 - r 4+ r 5=. A regra é: N é divisível por 7 se e somente se N’ é divisível por 7. No nosso caso, N’= 2 – 0 + 6 – 3 + 3= 8, que não é divisível por 7. Logo, N também não é divisível por 7.

Demonstração da regra para um número natural qualquer: Para isso, usaremos, para os naturais a e b, o conceito de congruência: dizemos que “a é congruente a b módulo 7”, que denotamos por a b (mod 7), se e somente se b – a é divisível por 7. Logo, a b (mod 7) b-a é divisível por 7.

Pelas propriedades das congruências temos:

Usando os resultados anteriores, vamos demonstrar a regra: Seja N um número natural e n 1, n 2 , . . . , nm os números obtidos pela separação dos algarismos de N, por pontos, em grupos de três algarismos da direita para a esquerda, como no exemplo. Sejam r 1, r 2, . . . , rm os restos da divisão desses números por sete, respectivamente. Então, N= n 1 + n 2 x 1000+ n 3 x 1000²+. . . + nm x 1000 m-1.

No exemplo inicial temos N=506 + 329 x 1000+258 x 1000² 45 x 1000³+3 x 10004. Como 1000 -1(mod 7) , pois 1001 é divisível por 7, temos 1000 k (-1)k (mod 7), com k=1, 2, 3, . . . Assim, dado um número natural a, se b é o resto da divisão de a por 7, temos a b (mod 7) , então ax 1000 k ax(-1)k(mod 7) bx (-1)k(mod 7). Logo,

n 1 + n 2 x 1000+ n 3 x 1000²+. . . + nm x 1000 m-1 [r + r (-1)²+. . . + r (-1) m-1](mod 7), ou 1 2 3 m N N’(mod 7). Portanto N 0(mod 7) N’ 0(mod 7) N= 3 045 258 329 506 [2 + 0(-1) + 6(-1)²+ 3(-1)³+ 3](mod 7) 8(mod 7) 1(mod 7) e como 1 não é divisível por 7, N também não é.

Sugestão de atividade. . . • Jogo “Treinando os critérios. . . ” Objetivos: Que o aluno seja capaz de: reconhecer os critérios de divisibilidade; desenvolver a capacidade de fazer cálculos mentais; fixar conteúdos matemáticos; simplificar frações criar estratégias de resolução Pré-requisitos: - Simplificação de frações - Critérios de divisibilidade. N° de jogadores: 2 ou mais jogadores/as.

Materiais: - Tabuleiro - Peões - 50 Fichas com números inteiros - 50 Fichas / perguntas Modo de Jogar: É decidido através de sorteio o jogador que inicia a partida. Este deve pegar uma carta do monte (perguntas) e tentar respondê-la. Respondendo corretamente, o jogador tem o direito de resgatar uma carta do segundo monte, para saber quantas casas irá deslocar-se no tabuleiro. O número de casas a deslocar-se é regido pelo número de divisores (apenas segundo os critérios estudados. Deve ser lembrado ao aluno que existem outros divisores além dos trabalhados)da carta resgatada (ex. : se o jogador tirar a carta 10, poderá deslocar-se 3 casas, pois 10 pode ser dividido por 2, 5 ou 10, e estes critérios foram estudados. . . ). Vence o jogador que primeiro chegar no final do tabuleiro.

Material utilizado para confecção do jogo: O baralho pode ser confeccionado em papel cartaz e protegido com Papel Contact. O tamanho de cada carta pode ser do tamanho do baralho normal ou, aproximadamente, de 5 cmx 8 cm. Modelo do tabuleiro:

Modelo das cartas:

Congruência Uma congruência é a relação entre dois números que, divididos por um terceiro (módulo de congruência) deixam o mesmo resto. Por exemplo, o número 10 é congruente ao número 3, módulo 7, pois ambos deixam resto 3, ao serem divididos por 7. Representamos essa congruência do exemplo por 103 (mod 7). Diferentes códigos numéricos de identificação, como códigos de barras, números documentos de identidade, CPF, CNPJ, ISBN, ISSN, criptografia, calendários e diversos fenômenos periódicos estão diretamente ligados ao tema.

Aplicação na escola básica: Banco de questões da OBMEP: A, B, C, D, E, F, G e H são os fios de apoio que uma aranha usa para construir sua teia, conforme mostra a figura. A aranha continua seu trabalho. Sobre qual fio de apoio estará o número 118?

Fios A B C D E F G H 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 . . .

Observando que os fios se repetem a cada oito números conclui-se que os números de cada fio formam uma sequência que aumenta de oito em oito. Sendo assim, cada fio pode ser representado a partir dos múltiplos de 8. O fio A corresponde aos números que são múltiplos de 8 (divididos por 8 deixam resto zero; 8. n, com n natural. ). O fio B corresponde aos números que são múltiplos de 8, mais 1 (divididos por 8 deixam resto 1; 8. n + 1, com n natural). O fio C corresponde aos números que são múltiplos de 8, mais 2 (divididos por 8 deixam resto 2; 8. n + 2, com n natural). Essa lógica se mantém até o fio H, definido pelos números que divididos por oito deixam resto 7. No caso do 118, temos: 118 : 8 = 14. 8 + 6, pertence à família dos números que estão no fio G.

Aplicações Sistemas de identificação 1) ISBN -International Standard Book Number Código numérico onde as publicações são identificadas através de 10 algarismos, sendo que o último (dígito de controle) é calculado através da aritmética modular envolvendo operações matemáticas com os outros nove dígitos. Esses nove primeiros dígitos são subdivididos em 3 partes, de tamanho variável, separadas por hífen, que transmitem informações sobre o país, editora e sobre o livro em questão. Ex: Língua inglesa: algarismo 0, Editora Mc. Graw-Hill código de 2 algarismos -07 -restam 6 algarismos para identificação de suas publicações, havendo pois a possibilidade de 1 000 de títulos.

Vejamos como se processa o cálculo do dígito final do ISBN (controle). Representando por a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a sequência formada pelos 9 primeiros dígitos, devemos multiplica-los, nessa ordem, pela base {10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} e somar os produtos obtidos. O dígito que está faltando, que vamos representar por a 10 deve ser o menor valor possível, tal que ao ser acrescentado à soma obtida, deve gerar um múltiplo de 11, isto é, se a soma obtida é S, o número S + a. 10 deve ser múltiplo de 11, ou seja, S+a. 10 0 (mod 11)

Código do livro A Matemática do Ensino Médio, Volume 1, da Coleção Professor de Matemática: ISBN: 85 -85818 -10 -7 Cálculo do dígito de controle que, como estamos observando, é igual a 8. 8 5 8 1 0 10 9 8 7 6 5 4 3 2 Efetuando as multiplicações correspondentes e somando os produtos obtidos, teremos: 8 x 10 + 5 x 9 + 8 x 8 + 5 x 7 + 8 x 6 + 1 x 5 + 8 x 4 + 2 x 3+ 9 x 2 = 80 + 45 + 64 + 35 + 48 + 5 + 32 + 3 + 0= 312. E 312 : 11 = 28. 11+4, ou seja, apresenta resto 4.

Para acrescentarmos o décimo algarismo deveremos encontrar um múltiplo de 11. O menor valor que atende a condição estabelecida, será o número 7, pois 11– 4=7. Assim, com o valor apresentado no código, temos 312 + 7 = 319 é um múltiplo de 11, ou ainda, que 319 0 (mod 11). No ISBN, se o dígito for igual a 10 (resto da divisão por 11 ser igual a 1), é usada a representação do 10 em algarismos romanos, ou seja usa-se um X.

A partir de janeiro de 2007 os códigos do ISBN estão sendo representados com 13 dígitos. No caso dos livros editados no Brasil há um acréscimo dos dígitos 978 antes do 85. 2) CÓDIGO DE BARRAS EAN-13 Código de barras constituído de 13 algarismos sendo que o último é o dígito de controle. Nesse caso é usada a congruência módulo 10 e os fatores que compõem a base de multiplicação são os dígitos 1 e 3, que vão se repetindo da esquerda para a direita.

Se a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 a 11 a 12 a seqüência formada pelos 12 primeiros dígitos, devemos multiplicá-los, nessa ordem, pela base {1, 3, 1, 3, 1, 3} e somar os produtos obtidos. Vamos representar por S a soma obtida. O dígito que está faltando, que vamos representar por a 13 deve ser tal que ao ser somado com S, deve gerar um múltiplo de 10, isto é, ou seja, S+a 13 0(mod 10).

Numa embalagem de chá instantâneo, da Polônia, temos o seguinte código de barras: Vamos efetuar os cálculos para a determinação do dígito de controle (que estamos vendo ser o dígito 4). 5 9 0 0 2 1 3 1 3 1 3 (esta é a base de multiplicação, nesse caso)

5+27+0+0+9+0+0+6= 56: 10 = 5. 10+6, ou seja, apresenta resto 6. Para acrescentarmos o décimo terceiro algarismo, deveremos encontrar um múltiplo de 10. Logo, o dígito de controle será igual a 4 (10 – 6). Note que 56 + 4 = 60 (múltiplo de 10). No código de barras com 13 algarismos, os três primeiros dígitos do código representam o país de registro do produto (produtos filiados no Brasil apresentam os dígitos 9, 8 e 7); os quatro dígitos seguintes identificam o fabricante; os próximos cinco dígitos identificam o produto e o último é o dígito verificador ou de controle.

3) Cadastro das pessoas físicas na Receita Federal – CPF O número de CPF de uma pessoa, no Brasil, é constituído de 11 dígitos, sendo um primeiro bloco com 9 algarismos e um segundo, com mais dois algarismos, que são os dígitos de controle ou de verificação. No CPF, o décimo dígito ( primeiro dígito verificador) é o resultado de uma congruência, módulo 11 de um número obtido por uma operação dos primeiros nove algarismos.

Se a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 é a seqüência formada pelos 9 primeiros dígitos, devemos multiplicá-los, nessa ordem, pela base {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e somar os produtos obtidos. O dígito que está faltando, que vamos representar por a 10 deve ser tal que ao ser subtraído da soma obtida S, deve gerar um múltiplo de 11 (o número S - a 10 deve ser múltiplo de 11), S - a 10 0 (mod 11). Este número será o próprio resto da divisão por 11 da soma obtida.

O CPF de uma pessoa tem os seguintes 9 primeiros dígitos: 661 386 120 , o primeiro dígito de controle será obtido da seguinte maneira: Escrevemos os nove primeiros e, abaixo deles, a base de multiplicação com os dígitos de 1 a 9. 6 6 1 3 8 6 1 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Efetuando as multiplicações correspondentes, teremos: 6 x 1 + 6 x 2 + 1 x 3 + 3 x 4 + 8 x 5 + 6 x 6 + 1 x 7 + 2 x 8 + 0 x 9 = =153. 153: 11 = 13 x 11 + 10

Se o resto da divisão for 10 (número obtido é congruente a 10, módulo 11) utiliza-se, o dígito zero. Dessa forma, o primeiro dígito de controle será o algarismo zero. A obtenção do segundo dígito de controle é similar a anterior. Agora o décimo dígito é acrescentado e utiliza-se uma base de multiplicação de 0 a 9. 6 6 1 3 8 6 1 2 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 x 0 + 6 x 1 + 1 x 2 + 3 x 3 + 8 x 4 + 6 x 5 + 1 x 6 + 2 x 7 + 0 x 8 + +0 x 9= 99. 99: 11=9 x 11 + 0. Sendo assim, o segundo dígito de controle é zero. O CPF será então 661 386 120 00.

Referências DANTE, Luiz R. Restos , congruências e divisibilidade, In: RPM, n. 10, 1º semestre de 1987. FREIRE, Benedito T. V. Congruência, divisibilidade e adivinhações, In: RPM, n. 22, 1992. JURKIEWICZ, Samuel. Divisibilidade e Números Inteiros: Introdução à Aritmética Modular. Iniciação Científica OBMEP 2006. Rio de Janeiro: Imprinta Express Gráfica e Editora Ltda, 2006. SÁ, Ilydio P. de. Aritmética modular e algumas de suas aplicações, p. 1 a 16. Disponível em : http: //www. magiadamatematica. com/diversos/eventos/20 -congruencia. pdf Acesso em 24 set. 2009. SANTOS, José P. O. Introdução a teoria dos números. Rio de Janeiro: IMPA, 2006. UMBELINO JR. , Arnaldo. Divisibilidade por 7, In: RPM, n. 43, 2000.