Universidade Federal do Rio Grande do Norte DIM

Universidade Federal do Rio Grande do Norte DIM 0430 - Lógica Aplicada a Computação – 2009. 3 Professor: Aquiles Burlamaqui

Sumário q Introdução q Evolução Histórica da Lógica Modal q Modalidades Aléticas q Lógicas Modais q Lógica Epistêmica q Lógica Temporal q Lógica Deôntica q Lógica Doxástica q Outras Lógicas Modais q Semântica de Kripke q Aplicações

Introdução • Lógica Modal é o estudo do comportamento dedutivo de expressões que tratam de modos quanto ao: – Possibilidade – Necessidade – Probabilidade – Tempo – Outros

Evolução Histórica da Lógica Modal • 1933 - Rudolf Carnap e Kurt Gödel – Possibilidade, Necessidade e Probabilidade • 1937 - Robert Feyes – Sistema T de Lógica Modal • 1951 - Georg Henrik Von Wright – Sistema M, que é elaborado sobre o Sistema T • 1955 - C. I. Lewis – Sistemas modais S 1, S 2, S 3, S 4 e S 5, sobre o Sistema M • 1965 - Saul Kripke – Sistema modal normal mínimo K

Modalidades Aléticas • O termo "alética" deriva da palavra grega "aleteia" quer dizer verdade. • Tipos de Proposições: – Necessárias • Proposições que necessariamente são verdadeiras ou falsas, ou seja, sua negação é impossível. “ 2+2 = 4”

Modalidades Aléticas • O termo "alética" deriva da palavra grega "aleteia" quer dizer verdade. • Tipos de Proposições: – Possíveis • Proposições que podem levar a uma ocorrência, ou seja, ela não é necessariamente falsa “Pode estar chovendo em Natal agora”

Modalidades Aléticas • O termo "alética" deriva da palavra grega "aleteia" quer dizer verdade. • Tipos de Proposições: – Contingentes • Proposições que podem ser ou não verdades “Sócrates era um filósofo”

Modalidades Aléticas • O termo "alética" deriva da palavra grega "aleteia" quer dizer verdade. • Tipos de Proposições: – Impossíveis • Proposições que marcam a impossibilidade de um acontecimento “Uma pedra tem emoções”

Possibilidade Física • Uma dada proposição é dita fisicamente possível quando é permitida pelas leis naturais ou científicas. “Possivelmente existe um átomo com número atômico 150” • Possibilidade Lógica x Física “É possível acelerar um objeto além da velocidade da luz”

Possibilidade Metafísica • O que é Real, Natural ou Sobrenatural? – A Metafísica tenta esclarecer as noções de como as pessoas entendem o mundo, incluindo a existência e a natureza do relacionamento entre objetos e suas propriedades, espaço, tempo, causalidade, e possibilidade. – No ponto de vista da filosofia, existe uma ponderação sobre as propriedades que um objeto possui independentemente das leis científicas. “Possivelmente irei falar com Deus hoje” – Possibilidade Metafísica x Possibilidade Lógica “Está chovendo e não está chovendo”

Lógicas Modais • Alfabeto – Operadores Unários Básicos • □ (L) - Necessário • ◊ (M) - Possível – Símbolos • Absurdo/Contradição: “ ” • Pontuação: “(” e “)” • Conectivos: “¬”, “∧”, “∨” e “⇒”

Lógicas Modais • Definição do sistema base

Exemplos • ◊ : é possível que seja verdade • □ : é necessário que seja verdade • □ ⇒ ◊ : aquilo que é necessário é possível • ⇒ ◊ : se algo é verdadeiro, então é possível • ⇒ □◊ : algo que é verdadeiro é necessariamente possível • ◊ ⇒ □◊ : aquilo que é possível é necessariamente possível

Construção de sistemas

Outros axiomas

Lógica Epistêmica – Epistemologia é a parte da filosofia que trata da natureza e limitações do conhecimento – A Lógica Epistêmica é um sub-campo da lógica modal que trata do raciocínio sobre o conhecimento.

Modelagem da Lógica Epistêmica • A lógica epistêmica é modelada utilizando o conceito matemático das estruturas Kripke, e utilizando o sistema da lógica modal.

Sintaxe – Operadores Unários Básicos: • K – “Sabe-se que” – Substitui □ – Três outros operadores modais podem ser adicionados à linguagem. • E( g )- "todos os agentes no grupo G conhecem. . . ". • C( g ) - "é do conhecimento comum de todos os agentes em g. . . " • D( g ) - "o conhecimento é distribuído a todos os agentes em g. . . "

Semântica • Modelo de Kripke: Dado um conjunto de proposições primitivas Φ, Um modelo de Kripke M para n agentes sobre Φ é ( S , π , K 1 , K 2 , . . . , Kn ) onde: • S: É um conjunto não vazio de estados ou mundos possíveis. • Π: É uma interpretação que associa cada estado de S com um valor verdade de uma proposição de Φ. • K 1, . . . , Kn: São relações binárias em S para n números de agentes.

Semântica – A valor verdade depende não só da estrutura, mas depende também do estado atual. – Para mostrar que uma fórmula φ é verdade para um certo estado escrevemos ( M , s ) ⊨ φ. Normalmente lido como “φ é verdade em ( M , s ).

Propriedades – Assumindo que Ki é uma relação de equivalência, algumas propriedades do conhecimento podem ser derivadas. • Axioma da Distribuição (K) • Axioma da Verdade (T) • Axioma da Introspecção Positiva (4) • Axioma da Introspecção Negativa (5) • Regra da Generalização do Conhecimento (N)

Propriedades • Axioma da Distribuição (K) – Se um agente conhece φ e se ele sabe que φ → ψ, então ele também conhece ψ. ( Ki φ ∧ Ki ( φ → ψ ) ) → Ki ψ

Propriedades • Axioma da Verdade (T) – Se o agente conhece fatos, então os fatos devem ser verdadeiros. Ki φ → φ

Propriedades • Axioma da Introspecção Positiva (4) – O agente sabe o que ele sabe. Ki φ → Ki Ki φ

Propriedades • Axioma da Introspecção Negativa (5) – O agentes sabe o que não ele sabe. ¬Ki φ → Ki¬ Ki φ

Propriedades • Regra da Generalização do Conhecimento (N) – Se φ é verdade em todo mundo que o agente considera como mundo possíveis, então o agente deve conhecer φ em todos os mundos possíveis. Se M ⊨φ então M ⊨ Ki φ

Propriedades – Lógica Epistêmica também lida com a “crença”, e não só apenas com o “conhecimento”. Para isso o operador modal K pode ser substituído por B. – Operador unário básico: • B – “Acredita-se que” – Devido a isso o Axioma da Verdade perde o sentido e é substituído pelo Axioma da Constituição.

Propriedades • Axioma da Constituição (conhecido como D) – O agente não acredita na contradição ¬Bi⊥

Lógica Temporal – A lógica temporal é outro subconjunto da lógica modal que possui como objetivo de permitir a variação da veracidade das asserções ao longo do tempo.

Lógica Temporal – Operadores Unários Básicos: • G – “Sempre no futuro” – Substitui □ • F – “Alguma vez no futuro” – Substitui ◊ – É usual introduzir outro operador unário. • O - “No próximo instante”

Lógica Deôntica • A lógica deôntica estuda a validade de argumentos nos quais frases regidas por expressões como “É obrigatório que. . . ”, “É permitido que. . . ” desempenham papel relevante. • Operadores Deônticos – O – operador de Obrigação – P – operador de Permissão Pp = ¬O¬p Op = ¬P¬p

Lógica Deôntica • A lógica deôntica não possui o axioma T (reflexividade). • Na lógica deôntica não podem valer as frases – Op ⊃ p - Pois esta afirma que o que é obrigatório é verdadeiro, ou seja, que a norma é sempre cumprida. – p ⊃ Pp - Segundo esta, o que é verdadeiro é permitido.

O Sistema Base • Seja o operador de obrigação (O) tomado como primitivo. Com o seu auxílio, os três axiomas do sistema-padrão podem ser formulados, da seguinte maneira: – A 1. Op ⊃ ¬O¬p – A 2. O(p & q) ≡ (Op & Oq) – A 3. O(p ∨ ¬p) • Como P, por definição equivale a ¬O¬p, o axioma A 1 diz o mesmo que a fórmula Op ⊃ Pp.

O Sistema Base • As regras de inferência do sistema padrão são as seguintes: – Regra da substituição de variáveis proposicionais: O resultado da substituição uniforme de uma variável proposicional por uma fórmula, num teorema, também é um teorema. – Regra do modus ponens: Se p ⊃ q forem teoremas, então q também o será. – Regra da extensionalidade deôntica: Se p e q forem frases equivalentes, então Pp e Pq também o serão.

O Sistema Base • A partir dos axiomas e regras do sistema base, os seguintes teoremas podem ser derivados, dentre outros: – ¬(Op & O¬p) – [(Op ⊃ Oq) & Op] ⊃ Oq – [(Op ⊃ Oq) & Pp] ⊃ Pq – ¬ [O(p ∨ q) & (Fp & Fq)]

Lógica Doxástica • Lógica Doxástica é uma Lógica Modal voltada para o raciocínio sobre as crenças • O termo “doxástica” tem origens no grego antigo onde doxa significa crença • Normalmente, uma lógica doxástica utiliza “Bx” com o significado “acredita-se que x é verdadeiro” e o seguinte conjunto como sendo conjunto das crenças. : { b 1, b 2, . . . , bn }, onde b 1 = B(x), b 2 = B(p). . .

Tipos de raciocínio • Para demonstrar as propriedades do conjunto de crenças, Raymond Smullyan definiu os seguintes tipos de raciocínios: • Raciocínio Preciso: Nunca crê em qualquer proposição falsa p(Bp p)

Tipos de raciocínio • Raciocínio Impreciso: Existe uma proposição na qual se crê e esta é falsa p(Bp ^ ¬p) • Raciocínio Presunçoso: Acredita nunca ser impreciso. B(¬ p(Bp ^ ¬p)) • Raciocínio Consistente: Nunca crê simultaneamente em uma proposição e em sua negação ¬ p(Bp ^ B¬p) • Raciocínio Normal: Sempre que se crê em p, se crê também que se crê em p p(Bp BBp)

Tipos de raciocínio • Raciocínio Peculiar: Existe alguma proposição p tal que acredita-se em p e acredita-se também que não se crê em p p ( Bp ^ B ¬Bp ) • Raciocínio Regular: Sua crença é distributiva sobre as operações lógicas p q( (p q) (q p) ) • Raciocínio Reflexivo: Para toda proposição p existe uma proposição q tal que o raciocínio acredita que q ≡ ( Bq → p ). Em conseqüência disso, se um raciocínio reflexivo crê Bp p, concluí-se que ele acreditará em p p ( B(Bp p) Bp )

Tipos de raciocínio • Raciocínio Instável: Existe alguma proposição p tal que ela crê em p, mas na realidade ela não crê em p. p( BBp ¬Bp ) Nota: Este é um fenômeno tão estranho quanto a peculiaridade, entretanto, não necessariamente um raciocínio instável é incoerente • Raciocínio Estável: Não é instável. Isto é, se para todo p, se ele crê Bp então ele crê em p p( BBp Bp ) Nota: O raciocínio estável é o oposto da normalidade

Tipos de raciocínio • Raciocínio Modesto: Para toda proposição p, ele crê Bpp se ele também crê em p p( B( Bp p ) Bp ) Nota: Todo raciocínio reflexivo é modesto

Semântica de Kripke • Saul Aaron Kripke, nascido em 1940 em Omaha, Nebraska, é amplamente reconhecido como um dos filósofos vivos mais importantes. • Sua obra é muito influente em diversas áreas da filosofia, desde a lógica até a filosofia da mente, passando pela filosofia da linguagem. • A semântica proposta por Kripke, conhecida como semântica dos mundos possíveis, permite formalizar qualquer lógica modal.

Semântica de Kripke • Ela é apenas um dos tipos de semântica de teoria de modelos, e talvez seja o mais bem compreendido e o mais bem desenvolvido • Por quê a semântica de Kripke é necessária nos sistemas modais? • Para responder essa questão, consideremos a seguinte sentença: Necessariamente, 2 + 2 = 4

Semântica de Kripke • Interpretação no modelo padrão do Cálculo de Predicados: – Presume um certo modelo fixo que não muda – Interpretação da sentença ocorre nesse único modelo – Um único conjunto de indivíduos – Dois valores verdade etc.

Semântica de Kripke • A sentença anterior pode expressar um significado mais amplo do que o comum • Podemos não estar referindo-nos apenas ao nosso mundo, às regras do mundo real • Interpretação na nova semântica: – Além do conjunto de indivíduos e valores verdade, acrescenta um conjunto de mundos possíveis

Semântica de Kripke • Sendo assim, temos os seguintes conjuntos: – E : conjunto de indivíduos – { 0, 1 } : conjunto de valores verdades – P : conjunto de mundos possíveis • A partir desse modelo, é possível considerar a veracidade das sentenças em outros mundos além do mundo real

Semântica de Kripke • Consideremos agora a seguinte sentença: “É possível que esteja chovendo em Pequim” • Quando é verdadeiro dizer que está chovendo em Pequim? • Na nova semântica, é verdadeira apenas no caso de existir algum mundo no qual esteja chovendo em Pequim

Semântica de Kripke • A semântica dos mundos possíveis ainda torna possível lidar com diferentes tempos • A sentença “Maria caminhou no parque” é verdadeira em um certo mundo se há um mundo anterior e nele a sentença “Maria caminha no parque” é verdadeira • Por isso, é conveniente acrescentarmos um conjunto de tempos ao novo modelo

Semântica de Kripke • Resumindo, um modelo para distinguir mundos e tempos tem o seguinte aspecto – E : conjunto de indivíduos – P : conjunto de mundos possíveis – T : conjunto de tempos com relação de ordenamento R – { 0, 1 } : conjunto de valores verdades

Semântica de Kripke • Logo, uma interpretação sobre esta nova ótica é uma estrutura M 2, uma função de interpretação D e um conjunto de atribuições G: < M 2, D, G > • A relação R é o que se chama de ordenamento simples, isto é: – Transitivo, reflexivo e anti-simétrico

Aplicações • Sistemas Dinâmicos – Um sistema pode ser descrito como um aglomerado de coisas; ele é dinâmico se houver uma evolução delas com o passar do tempo. Os sistemas dinâmicos podem ser divididos em duas classes: contínuos e discretos (Cassandras, 1993). – Entre os sistemas dinâmicos discretos estão aqueles cuja dinâmica é dirigida pela ocorrência de eventos discretos, chamados sistemas dinâmicos a eventos discretos.

Aplicações • A verificação de especificações em sistemas dinâmicos significa analisar se determinada condição (restrição ao sistema) é satisfeita ou não no sistema. • O processo de verificação de especificações consiste na análise da satisfação ou não de certa especificação do sistema, tendo um modelo como base. • No entanto, algumas especificações podem não estar tão explícitas e só no decorrer do processo de manufatura (ou automação) se percebe que alguma condição tem de ser satisfeita.

Aplicações • Aplicações em sistemas dinâmicos a eventos discretos – Se uma especificação (apropriadamente descrita como uma fórmula da lógica) for conseqüência lógica do conjunto de fórmulas que define (modela) o sistema dinâmico, então a especificação será satisfeita (Manna & Pnuelli, 1979).