Universidade Federal de Pernambuco Centro de Informtica Anjolina

Universidade Federal de Pernambuco Centro de Informática Anjolina Grisi de Oliveira Matemática Discreta – if 670 Centro de Informática / UFPE

Relações • O que é uma relação em um conjunto? – Uma relação R em um conjunto S é uma relação de S para S – Em outras palavras, é um subconjunto de S S • O que é uma relação reflexiva? - Uma relação R em um conjunto S é chamada de reflexiva se (s, s) S para todo elemento s S. Matemática Discreta – if 670 Centro de Informática / UFPE 2

Relações • O que é uma relação simétrica? – Uma relação R em um conjunto S é chamada simétrica se (b, a) R toda vez que (a, b) R, para a, b S. – Em outras palavras: Se (a, b) R → (b, a) R. • O que é uma relação anti-simétrica? - Uma relação R em um conjunto S é chamada anti-simétrica se quando (a, b) R e (b, a) R então a = b, para a, b S. - Se (a, b) R Λ (b, a) R → a = b. Matemática Discreta – if 670 Centro de Informática / UFPE 3

Relações • O que é uma relação transitiva? – Uma relação R em um conjunto S é chamada transitiva se toda vez que (a, b) R e (b, c) R, então (a, c) R, para a, b, c S. – Se (a, b) R Λ (b, c) R → (a, c) R. Matemática Discreta – if 670 Centro de Informática / UFPE 4

Exemplos Defina uma relação no conjunto {1, 2, 3, 4} que seja: a) reflexiva, simétrica e não seja transitiva. R={(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (2, 3), (2, 1), (3, 2)} b) simétrica, transitiva, e não reflexiva R={(1, 1)} c) reflexiva, anti-simétrica e não transitiva. R={(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (2, 3)} d) reflexiva, simétrica e transitiva R={(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} e) reflexiva, anti-simétrica e transitiva R={(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} Matemática Discreta – if 670 Centro de Informática / UFPE 5

Relações • Explique como uma matriz de bits pode ser usada para representar uma relação em um conjunto finito S. – Liste os elementos de S em uma ordem arbitrária: {s 1, s 2, . . . , sn} – A relação R pode ser representada pela matriz MR = [mij] onde: – [mij] = 1, se (si, sj) R – [mij] = 0, se (si, sj) R S={1, 2, 3} e R={(1, 2), (2, 2), (3, 1)} 0 1 0 Ordem: {1, 2, 3} 0 1 0 0 Matemática Discreta – if 670 Centro de Informática / UFPE 6

Relações • Explique como uma matriz de bits que representa uma relação em um conjunto finito S pode ser usada para determinar se a relação é reflexiva, simétrica, e antisimétrica. – Reflexiva: se todos os elementos da diagonal principal forem iguais a 1 – Simétrica: se a matriz for igual a sua transposta – Anti-simétrica: para i j, se [mij] = 1 então [mji] = 0. Ou em outras palavras, quando i j, ou [mij] = 0 ou [mji] = 0 1 1 0 0 1 0 1 Matemática Discreta – if 670 Reflexiva e anti-simétrica Centro de Informática / UFPE 7

Relações de Equivalência • O que é uma relação de equivalência em um conjunto? – É uma relação que é reflexiva, simétrica e transitiva • Que relações no conjunto {a, b, c, d} são relações de equivalência e contêm os pares (a, b) e (b, d) ? – R 1={(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, b), (b, d), (a, d), (b, a), (d, b), (d, a)} – R 2={(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, b), (b, d), (a, d), (b, a), (d, b), (d, a) (a, c), (c, a), (b, c), (d, c), (c, b), (c, d), } Matemática Discreta – if 670 Centro de Informática / UFPE 8

Relações de Equivalência • O que acontece com um conjunto onde é definida uma relação de equivalência ? – É criada uma partição no conjunto • Dê um exemplo de uma relação de equivalência em um conjunto e identifique o conceito de classes de equivalência, relacionando-o com a noção de partição. – Seja S o conjunto dos inteiros positivos – R = { (x, y) | x y (mod 4) } – Existem quatro classes de equivalência: quando o resto da divisão for 0, 1, 2 ou 3 – Cada classe de equivalência é um subconjunto da partição de S. Matemática Discreta – if 670 Centro de Informática / UFPE 9

Ordens Parciais • O que é uma ordem parcial – É uma relação em um conjunto que tem as seguintes propriedades: reflexiva, anti-simétrica e transitiva • Mostre que a relação de divisibilidade no conjunto dos inteiros positivos é uma ordem parcial. – Reflexiva: z Z+, z|z – Anti-simétrica: Sejam, a, b, m e n Z+, se a|b e b|a → a. m = b e b. n = a → a. m. n = a → m=n=1 → a=b – Transitiva: Sejam, a, b, c, m e n Z+, se a|b e b|c → a. m = b e b. n = c → a. m. n = c → a|c, pois a operação de multiplicação é fechada em Z+. Matemática Discreta – if 670 Centro de Informática / UFPE 10

Ordens Parciais • O que é conjunto parcialmente ordenado? – É um conjunto S juntamente com uma ordem parcial R: (S, R) – Também chamamos de poset (do inglês: partially ordered set) – Usamos a notação (S, ) para falarmos de um poset arbitrário Matemática Discreta – if 670 Centro de Informática / UFPE 11

• Por quê o nome ordem parcial? – Em (P(Z), ), {1, 4} não se relaciona com {1, 2} e nem vice-versa – Em (Z+, |), 2 não se relaciona com 5 e nem viceversa • Os elementos a e b em um poset (S, ) são chamados de comparáveis se ou a b ou b a. Caso contrário, eles são ditos incomparáveis. Matemática Discreta – if 670 Centro de Informática / UFPE 12

• Se (S, ) é um poset e cada par de elementos de S são comparáveis, dizemos que S é um conjunto totalmente ordenado ou linearmente ordenado, e é chamada de ordem total ou linear. • Um conjunto totalmente ordenado é chamado de cadeia • O poset (Z, ) é uma cadeia • O poset (Z+, |) não é totalmente ordenado Matemática Discreta – if 670 Centro de Informática / UFPE 13

Ordem Lexicográfica As palavras em um dicionário são listadas em ordem alfabética ou ordem lexicográfica, que é baseada na ordem das letras do alfabeto. Esse exemplo é um caso especial onde é possível ordenar cadeias a partir de uma ordem parcial sobre o alfabeto em que as cadeias são construídas. Matemática Discreta – if 670 Centro de Informática / UFPE 14

• Como construir uma ordem parcial no produto cartesiano de dois posets (A, 1) e (B, 2) • A ordem lexicográfica em A B é definida da seguinte forma: (a 1, b 1) (a 2, b 2) se ou a 1 <1 a 2 ou a 1 = a 2 e b 1 <2 b 2 A ordem parcial é obtida adicionando a igualdade à ordem < em A B Matemática Discreta – if 670 Centro de Informática / UFPE 15

• Exemplo Seja o poset (Z Z, ), onde é a ordem lexicográfica construída a partir da ordem usual no conjunto dos inteiros. Determine se (3, 5) < (4, 8); (3, 9)<(3, 10); (6, 8) < (6, 9) Matemática Discreta – if 670 Centro de Informática / UFPE 16

Uma ordem lexicográfica pode ser definida no produto cartesiano de n posets: (A 1, 1), (A 2, 2). . . , (An, n). Defina a ordem parcial em A 1 A 2. . . An por: (a 1, a 2, . . . , an) < (b 1, b 2, . . . , bn) Se a 1<1 b 1 ou se existe um inteiro i>0 t. q. a 1=b 1. . . ai=bi e ai+1<i+1 bi+1. Matemática Discreta – if 670 Centro de Informática / UFPE 17

• Ordem lexicográfica de cadeias – Considere as cadeias distintas a 1 a 2. . . am e b 1 b 2. . . bn sobre um conjunto parcialmente ordenado S; – Seja t o menor dentre m e n – a 1 a 2. . . am < b 1 b 2. . . bn se e somente se – (a 1, a 2. . . , at ) < (b 1, b 2. . . , bt ) ou – (a 1, a 2. . . , at) = (b 1, b 2. . . , bt) e m<n Matemática Discreta – if 670 Centro de Informática / UFPE 18

• Exemplo Suponha que (S, 1) e (T, 2) são conjuntos parcialmente ordenados. Mostre que (S T, ) é um conjunto parcialmente ordenado onde (s, t) (u, v) se e somente se s 1 u e t 2 v. • Reflexiva: (s, t) S T, (s, t) pois s 1 s e t 2 t • Anti-simétrica: se ((s, t), (u, v)) e ((u, v), (s, t)) → s 1 u , t 2 v, u 1 s e v 2 t → s = u e t = v → (s, t) = (u, v) • Transitiva: se ((s, t), (u, v)) e ((u, v), (w, z)) → s 1 u , t 2 v, u 1 w e v 2 z → s 1 w e t 2 z → ((s, t), (w, z)) Matemática Discreta – if 670 Centro de Informática / UFPE 19

Diagrama de Hasse Desenhe o diagrama de Hasse para ({2, 3, 5, 9, 12, 15, 18}, |) 18 Elementos maximais? 15 9 12 2 12, 15 e 18 Elementos minimais ? 3 2, 3, 5 5 Menor elemento? Maior elemento? Não Matemática Discreta – if 670 Centro de Informática / UFPE 20

Elementos Maximais e Minimais 20 12 10 4 2 25 5 • Seja um poset (S, ). • O elemento a é maximal nesse poset se não existe b S de forma que a < b. • O elemento a é minimal nesse poset se não existe b S de forma que b < a. Matemática Discreta – if 670 Centro de Informática / UFPE 21

Maior elemento/ Menor elemento • a é o maior elemento no poset (S, ) se b a para todo b S • a é o menor elemento no poset (S, ) se a b para todo b S • Quando existem, o maior e o menor elementos são únicos Matemática Discreta – if 670 Centro de Informática / UFPE 22

Limitante superior/inferior • Seja A um subconjunto do poset (S, ). • Se u S e a u para todo a A, então u é chamado de limitante superior de A. • Se i S e i a para todo a A, então i é chamado de limitante inferior de A. Matemática Discreta – if 670 Centro de Informática / UFPE 23

Limitante superior/inferior • Limitantes superior e inferior dos subconjuntos {a, b, c}, {j. h} e {a, c, d, f} do seguinte poset. h j g f d e b c a • De {a, b, c}: sup= {e, f, h, j}; inf={a} • De {j, h}: sup= ; inf={f, d, e, b, c, a} • De {a, c, d, f}: sup={f, j, h}; inf={a} Matemática Discreta – if 670 Centro de Informática / UFPE 24

Supremo e ínfimo • Supremo: o menor dos limitantes superiores • Ínfimo: o maior dos limitantes inferiores • Quando existem são únicos • Qual o supremo e o ínfimo de {b, d, g} do poset do exemplo anterior? Matemática Discreta – if 670 Centro de Informática / UFPE 25

Reticulados • Um poset onde cada par de elementos possui um supremo e um ínfimo é chamado de reticulado f d e c b a O segundo diagrama não é um reticulado. Os elementos b e c não têm supremo. Os elementos d, e e f são limitantes superior de b e c, no entanto não existe o menor entre eles. Matemática Discreta – if 670 Centro de Informática / UFPE 26