Universidade Federal de Pernambuco Anjolina Grisi de Oliveira

Universidade Federal de Pernambuco Anjolina Grisi de Oliveira Matemática Discreta – if 670 Centro de Informática / UFPE

Definições • Ordem Parcial – Uma relação R em um conjunto S com as seguintes propriedades • Reflexiva • Anti-simétrica • Transitiva • Conjunto Parcialmente Ordenado (poset) - Um conjunto S juntamente com uma ordem parcial R: (S, R) Matemática Discreta – if 670 Centro de Informática / UFPE 2

Exemplos • Mostre que (Z, ) é um poset – Temos que a a para todo inteiro a: reflexiva – Se a b e b a então a = b: anti-simétrica – Se a b e b c então a c: transitiva – Logo é uma ordem parcial no conjunto dos inteiros e (Z, ) é um conjunto parcialmente ordendo. Matemática Discreta – if 670 Centro de Informática / UFPE 3

Exemplos • Mostre que a relação de inclusão é uma ordem parcial no conjunto das partes de um conjunto S. Ou seja, (P(S), ) é um poset. • Mostre que a relação de divisibilidade no conjunto dos inteiros positivos é uma ordem parcial. Ou seja, (Z+, |) é um poset. Matemática Discreta – if 670 Centro de Informática / UFPE 4

• Em um poset a notação a b denota que (a, b) pertence a R • A relação “menor ou igual” é um paradigma para ordens parciais • A notação a b denota que a b, mas a b. Dizemos que “a é menor que b” ou “b é maior que a”. Matemática Discreta – if 670 Centro de Informática / UFPE 5

• Por quê o nome ordem parcial? – Em (P(Z), ), {1, 4} não se relaciona com {1, 2} e nem vice-versa – Em (Z+, |), 2 não se relaciona com 5 e nem viceversa • Os elementos a e b em um poset (S, ) são chamados de comparáveis se ou a b ou b a. Caso contrário, eles são ditos incomparáveis. Matemática Discreta – if 670 Centro de Informática / UFPE 6

• Se (S, ) é um poset e cada par de elementos de S são comparáveis, dizemos que S é um conjunto totalmente ordenado ou linearmente ordenado, e é chamada de ordem total ou linear. • Um conjunto totalmente ordenado é chamado de cadeia • O poset (Z, ) é uma cadeia • O poset (Z+, |) não é totalmente ordenado Matemática Discreta – if 670 Centro de Informática / UFPE 7

Ordem Lexicográfica As palavras em um dicionário são listadas em ordem alfabética ou ordem lexicográfica, que é baseada na ordem das letras do alfabeto. Esse exemplo é um caso especial onde é possível ordenar cadeias a partir de uma ordem parcial sobre o alfabeto em que as cadeias são construídas. Matemática Discreta – if 670 Centro de Informática / UFPE 8

• Como construir uma ordem parcial no produto cartesiano de dois posets (A, 1) e (B, 2) • A ordem lexicográfica em A B é definida da seguinte forma: (a 1, b 1) (a 2, b 2) se ou a 1 <1 a 2 ou a 1 = a 2 e b 1 <2 b 2 A ordem parcial é obtida adicionando a igualdade à ordem < em A B Matemática Discreta – if 670 Centro de Informática / UFPE 9

• Exemplo Seja o poset (Z Z, ), onde é a ordem lexicográfica construída a partir da ordem usual no conjunto dos inteiros. Determine se (3, 5) < (4, 8); (3, 9) < (3, 10); (6, 8) < (6, 9) Matemática Discreta – if 670 Centro de Informática / UFPE 10

Uma ordem lexicográfica pode ser definida no produto cartesiano de n posets: (A 1, 1), (A 2, 2). . . , (An, n). Defina a ordem parcial em A 1 A 2. . . An por: (a 1, a 2, . . . , an) < (b 1, b 2, . . . , bn) Se a 1<1 b 1 ou se existe um inteiro i>0 t. q. a 1=b 1. . . ai=bi e ai+1<i+1 bi+1. Matemática Discreta – if 670 Centro de Informática / UFPE 11

• Ordem lexicográfica de cadeias – Considere as cadeias distintas a 1 a 2. . . am e b 1 b 2. . . bn sobre um conjunto parcialmente ordenado S; – Seja t o menor dentre m e n – a 1 a 2. . . am < b 1 b 2. . . bn se e somente se – (a 1, a 2. . . , at ) < (b 1, b 2. . . , bt ) ou – (a 1, a 2. . . , at) = (b 1, b 2. . . , bt) e m<n Matemática Discreta – if 670 Centro de Informática / UFPE 12

Diagrama de Hasse • Seja o poset ({1, 2, 3, 4, 6}, |). Qual é a representação da relação | usando grafos? Matemática Discreta – if 670 Centro de Informática / UFPE 13

Diagrama de Hasse • Seja o poset ({1, 2, 3, 4, 6}, |). Qual é a representação da relação | usando grafos? 6 4 3 2 1 Matemática Discreta – if 670 Centro de Informática / UFPE 14

Diagrama de Hasse • A relação é reflexiva: possui laços em todos os nós • Não é preciso colocar os laços • Transitiva: não precisamos colocar as arestas que ilustram a transitividade • Desenhamos o diagrama de forma que não é preciso colocar setas 4 66 3 2 1 Matemática Discreta – if 670 Centro de Informática / UFPE 15

Diagrama de Hasse • Desenhe o diagrama de Hasse para os seguintes posets • (P({a, b, c}, ) • ({2, 4, 5, 10, 12, 20, 25}, |) Matemática Discreta – if 670 Centro de Informática / UFPE 16

Elementos Maximais e Minimais 20 12 10 4 2 25 5 • Seja um poset (S, ). • O elemento a é maximal nesse poset se não existe b S de forma que a < b. • O elemento a é minimal nesse poset se não existe b S de forma que b < a. Matemática Discreta – if 670 Centro de Informática / UFPE 17

Maior elemento/ Menor elemento • a é o maior elemento no poset (S, ) se b a para todo b S • a é o menor elemento no poset (S, ) se a b para todo b S • Quando existem, o maior e o menor elementos são únicos Matemática Discreta – if 670 Centro de Informática / UFPE 18

Limitante superior/inferior • Seja A um subconjunto do poset (S, ). • Se u S e a u para todo a A, então u é chamado de limitante superior de A. • Se i S e i a para todo a A, então i é chamado de limitante inferior de A. Matemática Discreta – if 670 Centro de Informática / UFPE 19

Limitante superior/inferior • Limitantes superior e inferior dos subconjuntos {a, b, c}, {j. h} e {a, c, d, f} do seguinte poset. h j g f d e b c a • De {a, b, c}: sup= {e, f, h, j}; inf={a} • De {j, h}: sup= ; inf={f, d, e, b, c, a} • De {a, c, d, f}: sup={f, j, h}; inf={a} Matemática Discreta – if 670 Centro de Informática / UFPE 20

Supremo e ínfimo • Supremo: o menor dos limitantes superiores • Ínfimo: o maior dos limitantes inferiores • Quando existem são únicos • Qual o supremo e o ínfimo de {b, d, g} do poset do exemplo anterior? Matemática Discreta – if 670 Centro de Informática / UFPE 21

Exemplo • Seja P o conjunto das cadeias de 0´s e 1´s (incluindo a cadeia vazia). Defina a ordenação sobre P da seguinte forma: u v se e somente se v é prefixo de u. (Considere que a cadeia vazia é prefixo de qualquer cadeia). • Mostre que (P, ) é um poset • Desenhe o diagrama de Hasse para as cadeias cujo tamanho é menor ou igual a 3 • Encontre os elementos maximais e minimais • Existe o menor/maior elemento? Qual? • Encontre os limitantes superiores/inferiores de {01, 10} • Encontre o supremo e ínfimo de {0} (caso existam) Matemática Discreta – if 670 Centro de Informática / UFPE 22

Reticulados • Um poset onde cada par de elementos possui um supremo e um ínfimo é chamado de reticulado f d e c b a O segundo diagrama não é um reticulado. Os elementos b e c não têm supremo. Os elementos d, e e f são limitantes superior de b e c, no entanto não existe o menor entre eles. Matemática Discreta – if 670 Centro de Informática / UFPE 23

Exemplo • Em muitos sistemas o fluxo de informação entre pessoas e programas é gerenciado por políticas de segurança. • O seguinte reticulado modela uma determinada política de segurança. • Cada pedaço de uma informação é associado a uma classe de segurança, representada por um par (A, C). Matemática Discreta – if 670 Centro de Informática / UFPE 24

Exemplo • No par (A, C), A significa o nível de autoridade, que pode ser: 0 – não classificado; 1 – confidencial; 2 – secreto; e 3 – altamente secreto • C são categorias representadas por subconjuntos de todos os cargos ou compartimentos relevantes de uma determinada área. • Se o conjunto de cargos é {agentes, espiões, agentes duplos}, então temos 8 categorias. Matemática Discreta – if 670 Centro de Informática / UFPE 25

Exemplo • As classes de segurança podem ser ordenadas especificando que (A 1, C 1) (A 2, C 2) se e somente se A 1 A 2 e C 1 C 2 • As informações podem ser passadas de uma classe de segurança (A 1, C 1) para (A 2, C 2) se e somente se (A 1, C 1) (A 2, C 2). • Que classe de segurança seria o supremo e ínfimo de cada par de classe? • Supremo: (maior(A 1, A 2), C 1 C 2) • Ínfimo: (menor(A 1, A 2), C 1 C 2) Matemática Discreta – if 670 Centro de Informática / UFPE 26