UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ Teorema de Herbrand

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ Teorema de Herbrand Equipe: Eduardo Dantas, Stefhany Oliveira, Raranna Alves e Vagner do Carmo

TEOREMA DE HERBRAND Teorema de Herbrand (1930) • Por definição, uma fórmula válida é uma fórmula que verdadeira sob todas as suas interpretações. é • Herbrand desenvolveu um algoritmo para encontrar uma interpretação que pode invalidar uma fórmula dada. • O método de Herbrand é um procedimento de refutação. Isto é, ao invés de provar que uma fórmula é válida, prova-se que a negação de uma fórmula é inconsistente.

TEOREMA DE HERBRAND Por definição, um conjunto S de cláusulas é insatisfatível se e somente se ele falso sob todas as interpretações sobre todos os domínios. Uma vez que é inconveniente e impossível considerar todas as interpretações sobre todos os domínios, poderia ser interessante buscar-se um domínio especial H, tal que S é insatisfatível se e somente se S é falso sob todas as interpretações sobre este domínio. Felizmente, existe um domínio, que se chama de universo de Herbrand de S, definido como o seguinte:

TEOREMA DE HERBRAND • Definição: Sendo H 0 o conjunto de constantes que aparecem em S. Se nenhuma constante aparece em S, então H 0 é formado por uma única constante, representado por H 0 = {a}. Para i = 0, 1, 2, . . . , Hi+1 é a união de Hi com o conjunto de todos os termos da forma fn(t 1, . . . , tn) para todas as funções n-arg fn que aparecem em S, onde tj, j = 1, . . . , n, são membros do conjunto Hi. Então cada Hi é chamado de conjunto de constantes i-nível de S, e H 1 é chamado de Universo de Herbrand de S.

TEOREMA DE HERBRAND • Idéia: usar um domínio especial H, tal que S é insatisfatível se e somente se S é falso sob todas as interpretações sobre H • H é o universo de Herbrand de S • Se H 0 é o conjunto de constantes que aparecem em S. -Se nenhuma constante aparece em S, então H 0 é formado por uma única constante, H 0={a} -se f é um símbolo funcional n-ário ocorrendo em S, e -se t 1, . . . , tn são termos que pertencem a H, então o termo f(t 1, . . . , tn) também pertence a H

TEOREMA DE HERBRAND • Exemplo 1: Seja S = {P(a), ~P(x) P(f(x))}. Então: H 0 = {a} H 1 = {a, f(a)} H 2 = {a, f(a), f(f(a))}. . . H 1 = {a, f(a), f(f(a)), f(f(f(a))), . . . }.

TEOREMA DE HERBRAND • Exemplo 2: Seja S = { P(x) q(x), R(z), T(y) ~W(y) }. Uma vez que não existe nenhuma constante em S, H 0 = { a }. Não existe nenhum símbolo de função em S , portanto H = H 0 = H 1=. . . = H 1 = { a }.

TEOREMA DE HERBRAND Exemplo 3: Seja S = { P( f(x), a, g(y), b) }. Então H 0 = { a, b} H 1 = { a, b, f(a), f(b), g(a), g(b) } H 2 = {a, b, f(a), f(b), g(a), g(b), f(f(a)), f(f(b)), f(g(a)), f(g(b)), g(f(a)), g(f(b)), g(g(a)), g(g(b))}. . .

TEOREMA DE HERBRAND BASE DE HERBRAND • Um termo-base é um elemento de H • Uma base de Herbrand para S é o conjunto B(S) de todas as fórmulas atômicas da forma P(t 1, . . . , tn) o P é um símbolo predicativo ocorrendo em S o t 1, . . . , tn termos-base • Exemplo: S = {P(x) Q(x), R(f(y))} • H = {a, f(a), f(f(a)), . . . } • B(S) = {P(a), Q(a), R(a), P(f(a)), Q(f(a)), R(f(a)), . . . }

TEOREMA DE HERBRAND INTERPRETAÇÃO DE HERBRAND • Uma interpretação I para S é uma interpretação de Herbrand para S se e somente se: o o domínio U de I é H o para cada constante a de S, a. I = a o para cada função f de S, f. I(t 1, . . . , tn) = f(t 1, . . . , tn), • para cada t 1, . . . , tn H(S) • Também chamada de H-interpretação

TEOREMA DE HERBRAND • Exemplo 4: Considere o conjunto S = { P(x) Q(x), R(f(y)) }. O universo Herbrand H de S é H = { a, f(a), f(f(a)), . . . }. • Existem três símbolos de predicados: P, Q e R. Portanto o conjunto de átomos de S é: • A = { P(a), Q(a), R(a), P(f(a)), Q(f(a)), R(f(a)), . . . }.

TEOREMA DE HERBRAND • Algumas H-interpretações de S são as seguintes : I 1 = { P(a), Q(a), R(a), P(f(a)), Q(f(a)), R(f(a)), . . . }. I 2 = { ~P(a), ~Q(a), ~R(a), ~P(f(a)), ~Q(f(a)), ~R(f(a)), . . . }. I 3 = { P(a), Q(a), ~R(a), P(f(a)), Q(f(a)), ~R(f(a)), . . . }.

Referências • FREITAS, Frederico Luiz Gonçalves de. Lógica de Predicados. Link: [http: //www. cin. ufpe. br/~fred/logica. Muito. Bom. doc]