Universidade Estadual de Santa Cruz Departamento de Cincias

Universidade Estadual de Santa Cruz Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas – DCET Fundamentos Matemáticos para Computação Profº Dr. Rogério Vargas Árvores Semânticas Componentes: Lucas, Ítalo, Wagner, Newton e Gabriel

Árvores Semânticas ü Validade de uma fórmula a partir de uma estrutura denominada árvore. ü Árvore é um conjunto de nós (vértices) ligados por arestas. ü Os nós finais são chamados “folhas”. ü O nó inicial é denominado “raiz”.

Nós “folhas” e Nó “raiz” Durante a validação, as arestas que ligam o nó raiz aos outros nós recebem um rótulo, indicando os possíveis valores de uma determinada variável proposicional, escolhida aleatoriamente. Se a partir de uma interpretação for possível obter o valor da fórmula, este é associado ao nó folha correspondente.

� Encontrar uma prova para um conjunto de cláusulas S é gerar uma árvore semântica fechada! � Árvores semânticas completas contém todas as possibilidades. � Mas, se S é insatisfatível, uma árvore semântica sobre H é fechada e finita!

Exemplos de árvores semânticas completas

Considere S = {P(x), P(a)}. O conjunto de átomos de S é {P(a)}.

Considere S = {P(x), Q(f(x))}. O conjunto de átomos de S é: A = {P(a), Q(a), P(f(a)), Q(f(a)), P(f(f(a))), Q(f(f(a))), . . . }

Nós de falha �S = {P, Q v R, P v Q, P v R} � B = {P, Q, R}.

Árvore semântica fechada �S = {P(x), P(x) v Q(f(x)), Q(f(a))} �B = {P(a), Q(a), P(f(a)), Q(f(a)), . . . }

Exemplo do Barbeiro � Haverá algum barbeiro que barbeia toda a gente da cidade(1), mas somente aqueles que não se barbeiam a si próprios(2)? � O paradoxo surge quando tentamos saber se o barbeiro faz a própria barba ou não. Se ele o faz, não poderá, pois violaria a condição 2; mas se não fizer a própria barba, então tem de fazer, pois esta é a condição 1.

Conclusão: O argumento “Haverá algum barbeiro que barbeia toda a gente da cidade, mas somente aqueles que não se barbeiam a si próprios? ” É inconsistente pois a arvore esta terminada e os seus ramos ainda estão abertos. Como esta é uma demonstração por redução ao absurdo, estando a arvore aberta, não há contradição em nenhum dos seus ramos.