Universidad Salesiana de Bolivia Contadura y de Sistemas

Universidad Salesiana de Bolivia Contaduría y de Sistemas Campus. Pública Achachicala 1 er. Semestre CONJUNTOS Álgebra Superior Ing. Cleto @lberto Vargas Patsi 1/2011

Teoría de Conjuntos NOCION INTUITIVA DE CONJUNTO n Un conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre si, que se llaman elementos del mismo. Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de pertenencia a є A. n En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota a є A.

Teoría de Conjuntos Ejemplos de conjuntos: Ø : el conjunto vacío, que carece de elementos. n N: el conjunto de los números naturales. n Z: el conjunto de los números enteros. n Q: el conjunto de los números racionales. n R: el conjunto de los números reales. n C: el conjunto de los números complejos n

Teoría de Conjuntos i. Para que exista un conjunto, se deben cumplir los siguientes requisitos: LA COLECCIÓN DE OBJETOS DEBE ESTAR BIEN DEFINIDA. Es decir que la pertenencia de un elemento a un conjunto debe estar totalmente decidida, evitando ambigüedades.

Teoría de Conjuntos II. NINGÚN OBJETO DEL CONJUNTO DEBE CONTARSE MAS DE UNA VEZ Es decir que en la cuantificación de los elementos de un conjunto, un elemento debe contarse solo una vez, así sea que estos datos se repitan varias veces.

Teoría de Conjuntos III. EL ORDEN EN QUE SE ENUMERAN LOS OBJETOS CARECE DE IMPORTANCIA Es decir que la posición de los elementos entre sí, no afectan al conjunto. e, A h, j, d, a, b, i, c, … , a, A b, c, d, e, h, i, j, … ,

Determinación de conjuntos: n Para determinar, describir o especificar a un conjunto, existe dos modos: Determinación por extensión o comprensión. n n por extensión, enumerando todos y cada uno de sus elementos. por comprensión, diciendo cuál es la propiedad que los

Representación de un conjunto n Los conjuntos son uno de los conceptos básicos de la matemática. Como ya se ha dicho, un conjunto es, una colección de objetos, denominados elementos. La notación estándar utiliza llaves {x , y} alrededor de la lista de elementos para indicar el contenido del conjunto.

Ejemplo: n Las tres líneas anteriores denotan el mismo conjunto. Como puede verse, es posible describir el mismo conjunto de diferentes maneras: Bien dando un listado de sus elementos (lo mejor para conjuntos finitos pequeños) o bien dando una propiedad que defina todos sus elementos.

Subconjunto. n Si A y B son dos conjuntos y todo elemento x de A está contenido también en B, entonces se dice que A es un subconjunto de B. Todo conjunto tiene como subconjunto a sí mismo y al conjunto vacío, {}.

La unión. n La unión de una colección de conjuntos: es el conjunto de todos los elementos contenidos simultáneamente en todos los conjuntos: y se representa: T={x/x, T 1 U T 2}

n Los conjuntos también son nombrados según el número de elementos que tengan ejemplo conjunto vacío, conjunto unitario, conjunto finito, conjunto infinito. Algunos ejemplos de conjuntos de números son:

La intersección de dos conjuntos: A, B es otro conjunto, formado por los elementos que pertenecen tanto a A como a B. La notación, definición de la intersección es: U A V n B = {x/x, є A x є B}

n Para cualquier conjunto A se verifica que; A es un subconjunto propio de A si n El conjunto formado por todos los subconjuntos de uno dado A se llama partes de A, y se denota à (A). Entonces, la relación B Í A es equivalente a decir B Î Ã (A).

Ejemplos

Determinación por extensión. n Un conjunto se suele denotar encerrando entre llaves a sus elementos, si se define por extensión, enumerando todos y cada uno de sus elementos. A: = {a, e, i, o, u} B: = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

Determinación por comprensión. Consiste en el enunciado de las propiedades, que caracterizan a los Elementos de un Conjunto. n En forma general una determinación por comprensión se expresa por: A = {x/P(x)} P(x) es la propiedad de los elementos de A (/ Se lee: tal que) n

Ejemplos: A = {x/x es una vocal del alfabeto} A = {x/x es un dígito par} A = {0, 2, 4, 6, 8} B = {x/x es entero, 2 ≤ x ≤ 9} B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} C = {x/x es un entero 3 < x < 5} C = {2, 3, 4} D = {x/2 x – 6 = 0} D = {3}

Ejemplos: n Como elementos, se deben tomar las soluciones de la ecuación indicada. A = {x/(x-2)(x-4)=0} A = {2, 4} C = {x/x es un departamento occidental} A = {La Paz, Oruro, Potosí, }

Los siguientes conjuntos se dan por Extensión, describirlos por comprensión. a) b) c) d) e) f) A = {1, 3, 5, 7, 9} B = {i, u} C = {+, -, *, /} D = {2, 4, 6, 8, 10} E = {3, 6, 9, 12, 15, 18} F = {01, 01, 01}

Conjuntos finitos e infinitos. Un conjunto es finito si se tiene: n elementos, siendo: n un número entero y positivo. n Un conjunto es infinito si tiene: n elementos, asumiéndose que tiene tantos elementos que es imposible contarlos, se dice que tiene infinitos elementos. n

Ejemplos: n Un conjunto finito es: A = {x/x es un dígito impar} {1, 3, 5, 7, 9 } El conjunto: A consta de cinco elementos, es decir que: n = 5

Ejemplos: n Un conjunto infinito es: B = {x/x es un número par} {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …} El conjunto: B consta de infinitos elementos, es decir que: n = ∞

Ejemplos: D={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Conjunto de números Dígitos (D) se trata de un conjunto finito. N={1, 2, 3, …, 9, 10, 11, 12, … } Conjunto de números naturales (N) es un conjunto infinito.

En los conjuntos de números, Expresados de la forma: a ≤ x ≤ b; se toman todos los números comprendidos entre: a, b; los cuales son los extremos (a es el extremo inferior, b es el extremo superior); incluyéndose en el conjunto los extremos. n Si en el conjunto se da en la forma: a < x < b: no se incluyen los extremos. n

Igualdad. n Dos conjuntos son iguales entre sí, cuando constan de los mismos elementos; la igualdad entre los dos conjuntos, de dice de: A; B se escribe: A = B A = {x/x es un punto cardinal} A = {Este, Oeste, Norte, Sur} El conjunto: A se da por Descripción, B se da por Extensión, pero son iguales entre sí.

Igualdad. n Se dice que A está contenido en B (también que A es un subconjunto de B o que A es una parte de B), y se denota A C B, si todo elemento de A lo es también de B, es decir, a A → a B.

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

n Estas propiedades hacen que partes de U con las operaciones unión e intersección tenga una estructura de álgebra de Boole. Además de éstas, se verifican también las siguientes propiedades:

Propiedades de conjuntos.