UNIVERSIDAD DE ORIENTE NUCLEO DE BOLIVAR COORDINACION GENERAL
UNIVERSIDAD DE ORIENTE NUCLEO DE BOLIVAR COORDINACION GENERAL DE ESTUDIOS DE POSTGRADO EN CIENCIAS ADMINISTRATIVAS MENCION FINANZAS. V COHORTE MATEMATICA APLICADA A LA ADMINISTRACION CODIGO # 806 -3120 SECCION A PROF. HUGAR CAPELLA
. EXPONENCIALES Y LOGARITMOS CAPITULO VI • FUNCION EXPONENCIAL Sea un número real positivo. corresponder la potencia La función que a cada número real x le hace se llama función exponencial de base a y exponente x. PROPIEDADES DE LOS EXPONENCIALES Sean a y b reales positivos y x, y Є R , entonces:
Cuando a = e , donde e es el número irracional cuya representación decimal con sus primeras cifras decimales, es e = 2. 718284…. , la función exponencial , se llama: función exponencial de base e y, frecuentemente, se denota por Exp( x ) = . Tabla A. 3. 3 texto
APLICACIÓN: FUNCION EXPONENCIAL NATURAL LA POBLACION DE CIERTA NACION DESARROLLADA SE SABE QUE ESTA DADA (En MILLONES DE HABITANTES) POR LA FÓRMULA En donde t es el numero de años transcurridos a partir de 1980. Determine la población en el año 2000 y la población proyectada para el 2010, suponiendo que la formula tiene validez hasta entonces. Solución: En el año 2000 han transcurrido 20 años La proyectada para el año 2010.
FUNCION LOGARITMO Definición de logaritmo : Se llama logaritmo en base a del número x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho número. que se lee : "el logaritmo en base a del número x es b" , o también : "el número b se llama logaritmo del número x respecto de la base a ". Como podemos ver, un logaritmo no es otra cosa que un exponente , hecho que no debemos olvidar cuando trabajemos con logaritmos. La constante a es un número real positivo distinto de 1, y se denomina base del sistema de logaritmos. La potencia ab para cualquier valor real de b solo tiene sentido si a > 0.
FUNCION LOGARITMO NATURAL • Logaritmos Decimales : Se llaman logaritmos decimales o vulgares a los logaritmos que tienen por base el número 10. Al ser muy habituales es frecuente no escribir la base. • Logaritmos Neperianos : Se llaman logaritmos neperianos, naturales o hiperbólicos a los logaritmos que tienen por base el número e.
APLICACIÓN DE LOGARITMOS Ejemplo. Construya la grafica de la función logaritmo de base 2 De acurdo a la definición: y = log 2 x entonces x = 2 Y Y -2 -1, 5 -1 -0, 5 0 0, 5 1 1, 5 2 X 0, 25 0, 350 0, 5 0, 707 1 1, 414 2 2, 828 4
APLICACIÓN: INTERÉS COMPUESTO. INVERSIONES La suma de Bs. F 200 se invierte a un interés compuesto anual de 5%. Calcule el valor de la inversión después de 10 años. Sea P una suma invertida a una tasa de interés R por ciento anual. En el primer año Segundo año el interés es En n año valor = P(1+i)n valor = 200( 1+0, 05)10 = 325, 78
Aplicación: inversiones Si la incógnita es n ¿Cuanto tardará la inversión en incrementar a Bs. F 250. ? 200 (1, 05)n= 250 (1, 05)n = 250/200 log 10(1, 05)n= log 10(1, 25) por propiedades de logaritmo n(log 10(1, 05)= log 10(1, 25) n = log 10(1, 25)/log 10(1, 05) n = 4, 57 es decir 5 años en incrementar de Bs. F 200 a Bs. F 250 al 5% de interés anual.
VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO SEA Q EL VALOR PRESENTE Y P EL VALOR DEL FUTURO INGRESO P = Q ( 1+i )n R tasa de interés Q = P/ ( 1+i )n i= R/100
Aplicación: Q y P UN HOMBRE DE 45 AÑOS ADQUIERE UNA POLIZA DE RETIRO EN EDAD AVANZADA A UNA COMPAÑÍA DE SEGUROS QUE LE PAGARA UNA SUMA TOTAL DE Bs. F 20000 A LA EDAD DE 65 AÑOS. LA COMPAÑÍA DE FIJA LA CANTIDAD DE Bs. F 5000 POR LA POLIZA. ¿ DE CUANTO ES LA TASA DE INTERES QUE ESTAN USANDO?
CAPITALIZACION CONTINUA En este caso n tiende a ser muy grande. Si x es la cantidad de años. P = Q ( 1+i )x capitalización anual P = Q ( 1+i/2)2 x capitalización semestral P = Q ( 1+i/4)4 x capitalización trimestral P = Q ( 1+i/n)nx n periodos iguales P = Q ( 1+i/365)365. 1 continua
Uso de la función exponencial natural para capitalizaciones continuas. Valor después de x años = Peix i= R/100 Donde eix se define como de crecimiento especifica e-ix tasa de la tasa se define como la decrecimiento especifica (depreciación)
APLICACIÓN: INVERSIONES UNA INVERSION DE Bs. F 6000 SE CAPITALIZA CONTINUAMENTE A UNA TASA DE INTERÉS NOMINAL ANUAL DE 7 ½ %. ¿ CUAL ES EL VALOR DE LA INVERSION DESPUES DE 6 AÑOS? . Valor después de x años = Peix donde P = 6000 7, 5/100=0, 075 Valor después de i= x= 6 6 años = 6000 e 0, 45 = Bsf 9409, 87
APLICACIÓN: DEPRECIACION HACE DOS AÑOS UNA EMPRESA COMPRO UNA MAQUINA EN Bs. F 6000. SU PRECIO ACTUAL DE REVENTA ES DE Bs. F 4500. SUPONIENDO QUE LA MAQUINA SE DEPRECIA EN FORMA EXPONENCIAL. CUAL ES SU VALOR DENTRO DE 3 AÑOS. Solución : Hace 2 años En tres años 4500= 6000 e-2 i Entonces Valor = 6000 ei= 0, 435 0, 145
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