UNIVERSIDAD AUTNOMA DEL ESTADO DE MXICO FACULTAD DE

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE MÉXICO FACULTAD DE QUIMICA PROGRAMA EDUCATIVO DE QUÍMICO UNIDAD DE APRENDIZAJE INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS NUMÉRICOS UNIDAD II RESOLVER PROBLEMAS CON EL MÉTODO DE SOLUCIÓN ADECUADO Métodos de solución Punto Fijo Material didáctico Modalidad: Solo visión proyectable (diapositivas) Responsable de la Elaboración: M. en A. María Esther Aurora Contreras Lara Vega Septiembre, 2015

Propósito La Unidad de Aprendizaje (UA) de Introducción a los Métodos Numéricos se ofrece como una asignatura optativa del Núcleo de Formación Integral del Programa de Químico. Esta UA forma parte del grupo de 20 Asignaturas Optativas, en donde se da oportunidad al estudiante de Químico de elegir aquellas UA que le permitan profundizar y desarrollas habilidades en distintas áreas y que le den una característica de “traje a la medida” de su propio programa de estudios. Dentro de los contenidos de esta UA se pueden destacar algunos aspectos que están muy relacionados con los conocimientos que el estudiante haya adquirido a lo largo de su formación profesional como lo fueron la forma de resolución analítica de integrales, derivadas y ecuaciones diferenciales; sin embargo esta asignatura proporcionar al estudiante herramientas de tipo numérico y computacional que hace que la solución de problemas matemáticos sea muy sencilla.

Propósito La contribución de ésta UA al perfil de egreso del químico se centra en la promoción de competencias que incidirán en su capacidad de saber resolver problemas de cinética química, crecimientos exponenciales bacterianos, manejo de datos históricos de producción así como la extrapolación de datos. Además, que reconozca los ámbitos de desempeño (centros de investigación y desarrollo; operación de plantas industriales: producción, procesos; diseño y asesoría, entre otros). La enseñanza de esta UA se realiza por medio de actividades individuales y grupales de investigación documental, el dominio de herramientas computacionales, ensayos y resolución de series de problemas. Manteniendo una visión orientada a la calidad en el trabajo, el respeto, la tolerancia y la perseverancia, así como la disposición a aprender.

Guía para la utilización del material El material que se presenta constituye un apoyo para el docente que tenga la oportunidad de impartir la unidad de aprendizaje de Introducción a los Métodos numéricos, pretendiendo facilitar al alumno la comprensión de la temática abordada en la misma. La composición del material es la siguiente: 35 Diapositivas de la Unidad II: Resolver problemas con el método de solución adecuado Métodos de solución punto fijo

Contenido Introducción El Método de Punto Fijo Sustento teórico del método Ejemplos En resumen Algoritmos

Introducción

Introducción 1. Calcular el valor de x, que cumple f(x) = 0 2. Calcular el valor de x que cumple g(x) = h(x) f(x) = g(x) – h(x) = 0 Dada una función f(x) determinar algún valor x' para el que se cumpla f(x')=0. Los valores x' se llaman raíces de f(x).

Las raíces pueden ser reales o complejas. Determinar raíces reales de: 1. Ecuaciones algebraicas: f(x)=x 2 -2 x+1 2. Ecuaciones trascendentes (involucran funciones trigonométricas, exponenciales, logaritmicas, etc): f(x)=sen(x)+e-x

Dos métodos gráficos para determinar la raíz de f(x) = e-x–x f(x) = e-x-x 0 = e-x-x x = e-x f 1(x) = x f 2(x) = e-x

x’ se suele denominar el cero o raíz de f(x) x’ se puede determinar por medios analíticos (solución exacta) o por medios numéricos (solución aproximada) La elección del método numérico depende del problema a resolver (estructura del problema, tipo de ecuaciones, precisión requerida, rápidez del cálculo, . . ). Por tanto no existe un mejor método universalmente aplicable. Tipos de métodos Métodos cotados o cerrados (bracketing methods) Métodos abiertos (open methods)

Métodos cerrados vs. Métodos abiertos Métodos acotados La raíz está situada en un intervalo (necesita dos puntos). Acaba convergiendo dentro de una tolerancia. Métodos abiertos Sólo emplean un punto inicial (o dos puntos que no tienen por qué contener a la raíz) y una fórmula para encontrar la raíz. No siempre convergen, pero cuando lo hacen son mucho más rápidos que los métodos acotados. 11

Métodos Abiertos Se basan en fórmulas requieren un único valor de inicio o si requieren dos, no es necesario que encierren a la raíz No está garantizada la convergencia En caso de converger, lo hacen mucho más rápido que los métodos cerrados

METODO DE PUNTO FIJO

Dada una ecuación f(x) = 0, podemos transformarla, de alguna manera, en otra equivalente del tipo x = g(x) para alguna función g. En este caso se tiene que: a es raíz de f(x) = 0 ↔ f(a) = 0 ↔ a = g(a) ↔ a es raíz de x = g(x).

Un número a tal que a = g(a) se dice un punto fijo de la función g. Cuándo una función g tiene un punto fijo, y si lo tiene, cómo encontrarlo?

PUNTO FIJO El método del punto fijo se lo conoce también como método de iteración simple de punto fijo; o, iteración de un punto por sustitución sucesiva, en el cual se utiliza una fórmula o expresión matemática para predecir la raíz, la misma que puede desarrollarse por una iteración simple, de allí su denominación.

Sustento teórico del método

SUSTENTO TEÓRICO DEL MÉTODO Consiste en obtener una raíz, o solución, de una ecuación de la forma f(x) = 0, la misma que se debe ser transformada en una ecuación equivalente de punto fijo g(x), de tal forma que al reordenar la ecuación f(x)=0, “x” se ubique al lado izquierdo de la ecuación de manera que se defina: x= g(x).

Ejemplo Sistema no lineal Problema de Punto Fijo

Si g es una función continua en [a, b] y g(x) ε[a, b] para todo x ε[a, b], entonces g tiene por lo menos un punto fijo en [a, b]. Si además, g’(x) existe para todo x ε[a, b], y |g’(x)| ≤ K < 1 para todo x ε[a, b], K constante, entonces g tiene un único punto fijo x ε[a, b]. La sucesión {xn}, con n definida, se encuentra mediante la fórmula de iteración: xn=g(xn-1), n=1, 2, 3…. .

Un punto fijo de una función, g es un número p tal que g(p)=p. El problema de encontrar las soluciones de una ecuación f(x)=0 y el de encontrar los puntos fijos de una función h(x) son equivalentes en el siguiente sentido: dado el problema de encontrar las soluciones de una ecuación f(x)=0, podemos definir una función g con un punto fijo p de muchas formas; por ejemplo, f(x)=xg(x). En forma inversa, si la función g tiene un punto fijo en, p entonces la función definida por f(x)=x-g(x) posee un cero en p.

Método de iteración de punto fijo Básicamente, consiste en reordenar los términos de la función. Se iguala a cero, para que la variable “x” quede a la izquierda. x = g(x) ; xi+1 = g(xi) Existen dos técnicas:

1 - Despejando la variable x Ejemplo: f(x)= 3 x 2 - 4 x + 5 Primero se iguala a cero la función. Luego se despeja la variable x.

2 - Sumando x a ambos lados de la ecuación (cos(x), sen(x), etc) Ejemplo: f(x)= cos (x) Primero se iguala a cero la función. Luego se suma la variable x a ambos lados.

Posteriormente, dado un valor inicial para la raíz o al asignar una estimación inicial (x 0), del punto fijo xi de “g”, de tal forma que: [xi punto fijo de g si xi= g(xi)]. xn+1 = g(xn). Entonces la ecuación anterior puede usarse para obtener una aproximación, para k=1, 2, 3, … hasta que convergen, y expresada por la formula iterativa xi+1= g(xi) que generalizando se tiene: xn+1 = g(xn). Al realizar las aproximaciones iterativas, es posible establecer el error aproximado, para ello se lo calcula usando el error normalizado ( ) el mismo que se lo sintetiza con la expresión matemática:

CONVERGENCIA DEL MÉTODO DEL PUNTO FIJO

De lo anterior se puede concluir que cuando el método converge, el error es proporcional, y menor que la iteración anterior, por esto se dice que la iteración simple de punto fijo es linealmente convergente.

Ejemplos

Ejemplo Usando el método de punto fijo vamos a aproximar la solución de la ecuación X 3+4 X 2 -10=0 dentro del intervalo [1, 2]. Lo primero es buscar una función g(x) adecuada x 3+4 X 2 -10=0 x 2(x+4)=10 x= Y claramente elegimos como función iteradora a g(x)= además observe que Para toda x€ [1, 2], lo cual garantiza que la sucesión que vamos a construir va a ser convergente.

1. En la celda A 5 escribimos nuestra aproximación inicial, en este caso 2. En la celda A 6 escribimos la fórmula que calculará las aproximaciones: =raiz(10/(A 5+4)) 3. Por último arrastramos la celda A 6 para generar las restantes aproximaciones. Una desventaja potencial del método de punto fijo es que la elección de la función iteradora g(x) no siempre es fácil.

Usar el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de, f(x)=cos x-x f(x) comenzando con Xo=0 y hasta que |Ea|<1%. Solución El método sí converge a la raíz. Aplicando la fórmula iterativa tenemos, x 1=g(x 0 )=cos 0=1 Con un error aproximado de 100%

Aplicando nuevamente la fórmula iterativa tenemos, x 1=g(x 1 )=cos 1=0. 540302305 Y un error aproximado de 85. 08%.

cos 0 cos 1 cos 2 cos 3 cos 4 cos 5 cos 6 cos 7 cos 8 cos 9 cos 10 cos 11 cos 12 cos 13 cos 14 cos 15 cos 16 cos 17 cos 18 cos 19 cos 20 1, 000000 0, 540302 -0, 416147 -0, 989992 -0, 653643 0, 283662 0, 960170 0, 753902 -0, 145500 -0, 911130 -0, 839071 0, 004426 0, 843853 0, 907447 0, 136737 -0, 759687 -0, 957659 -0, 275163 0, 660317 0, 988704 0, 408082 Intuimos que el error aproximado se irá reduciendo muy lentamente. En efecto, se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1%. El resultado final que se obtiene es: Con un error aproximado igual al 0. 78%. x 13=0, 907447

Ejemplo Sea la función: 2 x 2 -x – 5 = 0 con x 0=1 Puede despejarse en: a. x=2 x 2 -5, despejando el segundo término b. x=((x+5)/2)^(1/2), despejando x del primer término c. x=(5/2 x-1), factorizando x y despejando d. x=2 x 2 -5, sumando x a cada lado

Iteraciones de punto fijo 2 x 2 -5 sqrt((x+5)/2) 1 -3 13 333 221773 98366527053 1. 93519 E+22 7. 48996 E+44 1. 12199 E+90 2. 5177 E+180 #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! 1 1. 5 1. 625 1. 65625 1. 6640625 1. 666015625 1. 666503906 1. 666625977 1. 666656494 1. 666664124 1. 666666031 1. 666666508 1. 666666627 1. 666666657 1. 66664 1. 666666667 1. 666666667 5/(2 x-1) 2 x 2+5 1 5 0. 55555556 45 0. 05617978 -5. 63291139 -0. 40763674 -2. 75440591 -0. 76818936 -1. 97131444 -1. 01160741 -1. 65386858 -1. 1607022 -1. 5053873 -1. 24664198 -1. 43131794 -1. 29445285 -1. 39318233 -1. 32052785 -1. 3732281 -1. 33459454 -1. 36269892 -1. 34213854 -1. 35711834 1 7 103 21223 900831463 1. 623 E+18 5. 2682 E+36 5. 5508 E+73 6. 162 E+147 7. 595 E+295 #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM! #¡NUM!

En Resumen

Método de Punto Fijo Punto fijo Estimación inicial Iteraciones Criterio de parada

Algoritmo

Esquema del algoritmo Entrada: f, x 0, tol, maxiter Proceso Inicializar incr, iter Mientras incr > tol & iter < maxiter Obtener x incr = norm(x - x 0) Actualizar x 0, iter Salida: x, iter, incr Si incr > tol no converge

Algoritmo de Punto Fijo function [x, iter, incr] = pfijo(g, x 0, tol, maxiter) iter = 0; incr = tol + 1; while incr > tol & iter < maxiter x = feval(g, x 0); incr = norm(x - x 0); iter = iter + 1; x 0 = x; end if incr > tol, disp(‘No converge’), end

REFERENCIAS Análisis Numérico con Aplicaciones, Wheatley Gerald. 6ª Ed. Pearson Educativa. México, 2000. pp 698 Numerical Methods for Chemical Engineers with Matlab Application. Constantinides A. , Mostoufi N. Ed. Prentice Hall International Series. USA, 2000 Análisis Numérico. Burden R. L. Faires J. D. , Grupo Editorial Iberoamérica. México 1985. pp 721 Applied Mathematics and Modeling for Chemical Engineers. Rice, G. Richard, Do Duong. Ed. Willey. New York. 1995