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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE MÉXICO Facultad de Ingeniería Coordinación de Materias Propedéuticas Coordinación de Ingeniería Electrónica Métodos Numéricos “Fórmulas de Newton-Cotes: Regla del Trapecio” María de los Ángeles Contreras Flores Mayo 2016
Contenido 1. Guión explicativo 2. Objetivo 3. Objetivos específicos 4. Introducción 5. Concepto de integración 6. Fórmulas de Newton-Cotes 7. Clasificación de las fórmulas de Newton-Cotes 8. Regla del Trapecio 9. Ejemplo 10. Bibliografía
Guión explicativo • Este material ha sido desarrollado para alumnos del curso de Métodos Numéricos de la licenciatura de Ingeniería Electrónica de la Facultad de Ingeniería de la UAEMex. Su propósito es apoyar la impartición del tema de “Integración Numérica”, el cual es visto en la unidad 3 del propio contenido temático. • Los alumnos de Ingeniería Electrónica, cursan esta materia en el segundo semestre de su plan de estudios y es importante que para la correcta comprensión del tema, tengan conocimientos sobre técnicas para obtener derivadas e integrales exactas o analíticas. Temas que, generalmente, son vistos en el primer semestre del nivel superior en la asignatura de Cálculo I. Contenido
Guión explicativo • Las fórmulas de Newton-Cotes, son herramientas que permiten aproximar la solución de integrales que, por su naturaleza, pueden resultar difíciles de evaluar. Dichas fórmulas, obtienen aproximaciones a la solución mediante el uso de polinomios de diferentes grados, lo que permite al alumno plantear problemas de integración y encontrar su solución de una manera práctica. • En este trabajo, se explica el concepto de integración además de mostrar la clasificación de éstas fórmulas. Posteriormente, se deduce la regla del trapecio y se aplica a un ejemplo teórico. • En lo referente al uso del material, se recomienda que para su adecuada visualización, sea utilizada la versión de Power Point 2016. La animación de las gráficas inicia automáticamente, no es necesario hacer click sobre ninguna de ellas ya que esto provocará que se pierdan los efectos. Contenido
Guión explicativo • En lo referente al uso del material, se recomienda que para su adecuada visualización, sea utilizada la versión de Power Point 2016. • La animación de las gráficas inicia automáticamente, no es necesario hacer click sobre ninguna de ellas ya que esto provocará que se pierdan los efectos. • Cada uno de los temas aquí tratados, puede ser accesado desde el contenido, sólo será necesario posicionarse sobre el y hacer click sobre el link. • Para regresar al contenido de la presentación, bastará con posicionarse en el ícono y dar la indicación, nuevamente, con otro click. Contenido
Objetivo • Comprender que es la integración numérica y darse cuenta del valor de su aplicación en la solución de problemas en ingeniería, además de aplicar la regla del trapecio como una técnica dada por las fórmulas de Newton-Cotes. Contenido
Objetivos específicos • Entender la obtención de la regla del trapecio. • Reconocer que la regla del trapecio representa el área bajo un polinomio de primer grado. • Resolver problemas de integración, teóricos y prácticos, utilizando la regla del trapecio. Contenido
Introducción “El cálculo es la matemática del cambio. Los ingenieros tratan frecuentemente con sistemas y procesos que cambian, el cálculo es una herramienta esencial es esta profesión. En la esencia del cálculo existen dos conceptos matemáticos relacionados: la diferenciación y la integración” (Chapra, S. y Canale, R. 2015). Contenido
Introducción • Contenido
Introducción • Contenido
Contenido
Concepto de integración • Contenido
Concepto de integración • Contenido
Concepto de integración • Contenido
Concepto de integración Contenido f(x) a b x
Concepto de integración • Contenido
Fórmulas de Newton-Cotes • Contenido
Fórmulas de Newton-Cotes • Como se observa en la figura 3, un polinomio de primer grado (línea recta) puede ser utilizado para obtener una aproximación. De igual forma, se pudo haber empleado una parábola con el mismo propósito, o bien, un polinomio de mayor grado. Contenido
Contenido f(x) a b x Figura 3. Aproximación de una integral utilizando un polinomio de primer grado.
Fórmulas de Newton-Cotes • La integral, también puede ser aproximada empleando un conjunto de polinomios aplicados por segmentos de longitud constante a la función o datos, a este método se le conoce como “Integración numérica compuesta. • En la figura 4 se aprecia la forma en la que se aproxima el valor de la integral utilizando tres segmentos de línea recta. Sin embargo, pueden ser empleadas más particiones con la intención de disminuir el error. Contenido
Contenido f(x) a b x Figura 4. Aproximación de una integral mediante el área bajo tres segmentos de línea recta.
Clasificación de las fórmulas de Newton-Cotes Contenido • Las fórmulas de Newton-Cotes se clasifican en dos tipos: 1. Cerradas y, 2. Abiertas Las fórmulas cerradas son aquellas que conocen los datos al inicio y al final de los límites de integración. En las fórmulas abiertas los límites de integración van más allá del intervalo de los datos. Generalmente, estas formas no se utilizan para integración definida, pero son muy útiles para evaluar integrales impropias y obtener la solución de ecuaciones diferenciales parciales (Chapra y Canale, 2007). En la figura 5, se presentan gráficamente ambos conceptos.
Clasificación de las fórmulas de Newton-Cotes f(x) Considera los valores de a y b a Contenido a) Fórmulas cerradas b f(x) x No se consideran los valores de a y b a b) Fórmulas abiertas Figura 5. Diferencia entre las fórmulas de integración a) cerradas y b) abiertas b x
Fórmulas Cerradas de Newton-Cotes Regla del Trapecio (n=1) Regla de Boole (n=4) Contenido Fórmulas cerradas Figura 6. Fórmulas cerradas de Newton-Cotes
Fórmulas abiertas de Newton-Cotes Regla Punto Medio (n=0) n=3 Fórmulas abiertas n=1 n=2 Contenido Figura 7. Fórmulas abiertas de Newton. Cotes
Fórmulas compuestas de Newton-Cotes Regla del Punto Medio Fórmulas compuestas Regla del Trapecio Contenido Figura 8. Fórmulas compuestas de Newton. Cotes
Regla del Trapecio • Contenido
Regla del Trapecio • Contenido
Regla del Trapecio • Contenido
Regla del Trapecio f(x) Error Contenido a b x Figura 9. Integral bajo una línea recta. La forma que toma el área calculada es un trapecio
Error de truncamiento • Contenido
Error de truncamiento • Contenido
Ejemplo • Contenido
Solución • Contenido
Ejercicio • Contenido
Bibliografía 1. Chapra C. Steven y Canale P. Raymond, (2007), Métodos numéricos para ingenieros, Mc. Graw -Hill, 5ª. Edición, México. 2. Cheney W y Kinkaid D, (2011), Métodos Numéricos y computación, Cengage Learning, 6ª. Edición, México. 3. Burden R. , Análisis Numérico, Thomson, 7ª. Edición, México. Contenido
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