UNITAT 1 Els nombres reals I Genaro de

UNITAT 1: Els nombres reals (I) Genaro de Gamboa Curs 2011 -2012

Introducció (I) • Quins tipus de nombres coneixem? • Els primers nombres que trobem serveixen per a comptar: 1, 2, 3, 4, …, 125, …i es diuen nombres naturals • Quan restem a un nombre natural un altre que sigui més gran, obtenim: -1, -2, -3, -4, . . . , 125, . . . que són els nombres enters

Introducció (II) • Quan dividim nombres enters obtenim • Aquests nombres s’anomenen nombres racionals i es corresponen amb les següents formes decimals: Decimals exactes, decimals periòdics purs i decimals periòdics mixtes

Introducció (III) Equivalència entre els decimal i les fraccions Decimal exacte X=0, 0123 Si multipliquem per 10000·x=123 Per tant, Decimal periòdic pur X=0, 5757. . . Si multipliquem per 100·x=57, 575757 Si restem la primera de la segona 99 x=57 Per tant Decimal periòdic pur X=6, 0858585. . . Si multipliquem per 10 10·x=60, 858585. . . Com que tenim dues xifres periòdiques, multipliquem per 1000·x=6085, 8585. . . Si restem la primera de la segona 990·x=6025 Per tant

Els nombres irracionals • I què passa amb els decimals no periòdics? • Els decimals no periòdics no es poden expressar com a fracció i per tant NO són nombres racionals (ni tampoc enters o naturals) Els decimals no periòdics s’anomenen nombres irracionals. Alguns exemples són:

Representació dels nombres racionals (I) • Si el numerador és més petit que el denominador

Representació dels nombres racionals (II) • Si el numerador és més gran que el denominador (fracció impròpia)

Exercicis • Representa les següents fraccions

Representació dels nombres irracionals

Exercicis • Representa

Resolució dels exercicis amb geogebra

Aproximacions

Exercici

Exercicis • Aproxima els següents nombres per truncament i per arrodoniment fins a les centèsimes:

Tipus de nombres Decimals no periòdics Decimals exactes, periòdics purs i periòdics mixtes

La recta real • Qualsevol nombre real queda representat per un punt de la recta i, recíprocament, a tot punt de la recta li correspon un nombre real. Això permet definir una relació d'ordre en el conjunt dels nombres reals: • Donats dos nombres reals, a i b, direm quea és més petit que b, a < b, si en representar-los a és a l'esquerra de b. • També podem dir que els nombres a la dreta del zero són els positius i els de l'esquerra són els negatius, i a és més petit que b si la diferència b – a és positiva.

Valor absolut i distància L'equivalència entre punts i nombres permet aplicar conceptes geomètrics al càlcul, en particular la idea de distància mitjançant el valor absolut d'un nombre. Anomenem valor absolut d'un nombre real, a, al més gran dels nombres a i -a. El valor absolut de a es representa així: |a|. El valor absolut d'un nombre representa la distància d'aquest al zero. Podem generalitzar aquesta idea: Anomenem distància entre dos nombres reals, a ib, al valor absolut de la seva diferència: d(a, b)=|b-a|=|a-b|

Exercicis Calcula els valors absoluts dels nombres següents: a) -4 b) 5 c) d) Calcula la distància entre els següents nombres a) 5 i -3 b) -25 i -40 c) 96 i -96 d) i -

Intervals (I) • Hem vist que cada nombre real es correspon amb un punt de la recta. Però com es poden representar conjunts de nombres reals? Com expressem i representem tots els números reals entre 2 i 10? I els més petits que 5?

Intervals (II)

Intervals (III)

Intervals (IV)

Intervals (V)

Intervals (VI)

Intervals (VII) Troba els intervals que representen tots els nombres més petits que 3, 5. I els més petits o iguals? I els més grans? I més gran o iguals?

Exercicis • Representa i escriu en forma d’interval els següents conjunts de nombres a) 0 ≤ x ≤ 10 b) 5 ≤ x < 15 c) ≤ x d) x < e) -7< x < 7

Resum

Bibliografia • Ministerio de educación (2011). Recuperat el 1 de setembre de 2011 de http: //recursostic. educacion. es/secundaria/e dad/index_mat_cat. htm