Unintroduzione elementare Sandro Salsa Milano Politecnico ottobre 2008

Un’introduzione elementare Sandro Salsa Milano, Politecnico, ottobre 2008

In principio Dio creò il cielo e la terra. La terra era una massa informe e vuota e le tenebre erano sulla superficie dell’abisso e lo spirito di Dio aleggiava sulla superficie delle acque.

E Dio disse

E la luce fu

Perché parlare di modelli matematici? Qual è la loro utilità ? Che cosa rappresentano? Come si costruiscono ? Si possono utilizzare nella didattica corrente ?

Utilità Ruolo della matematica nella soluzione di problemi del mondo reale odierno Ricerca e sviluppo dei processi industriali Capire, gestire e controllare fenomeni come: Perfezionamento di auto, aerei, telecomunicazioni … Ottimizzazione in processi di combustione, energetici… Inquinamento di aria, fiumi … Tempo atmosferico Andamento dei mercati finanziari Progettazione di componenti Elettroniche (microchips) Comportamento fisiologico e/o patologico di organi (emodinamica, innesto di bypass, …)

Che cosa rappresentano Modelli matematici Astrazione scientifica Interfaccia Mondo reale

Come si costruiscono Analisi di un fenomeno (artificiale o naturale) Estrazione delle caratteristiche essenziali Traduzione in linguaggio matematico Modello Numerica Analisi Teorica Validazione e controllo

I mattoni Leggi generali Di bilancio o conservazione: massa, quantità di moto, energia, carica, … (seconda legge della dinamica, legge di Gauss, principio di Heisenberg, …) Leggi costitutive Specifiche, di natura sperimentale: diffusione, resistenze ed attriti, effetti chimici, … (legge di Fourier, legge di Ohm, legge di Hooke, …)

I tipi Deterministici Tipi Probabilistici Concetti caratteristici Dinamica (evoluzione) Equilibri (regime) Controllo/Ottimizzazione (efficienza) Efficacia Completezza Bilancio Possibilità di analisi

Didattica Bilancio tra Intuizione Rigore illustrare Computer per Connessione simulare il calcolo numerico con altre scienze col mondo reale

Obiettivo Uso di modelli elementari per introdurre concetti importanti ed attuali quali: Dinamica, equilibri e loro stabilità Caos deterministico Diffusione, convezione e loro interazione

Legge generale Forza (= massa x accelerazione) = Forza gravitazionale – resistenza dell’aria Ingredienti: Massa = M Velocità di caduta = v dv Accelerazione = dt

Legge generale Forza = dv M dt Forza gravitazionale – resistenza dell’aria Mg ? Legge costitutiva Come si modella la resistenza dell’aria?

resistenza dell’aria Proporzionale a Superficie esposta alla verticale = S Quadrato della velocità = v 2 Un quarto della densità dell’aria = 0. 25 d 2 0. 25 Sv d

Modello matematico dinamica stato iniziale Qual è la velocità limite? In quanto tempo si raggiunge?

Velocità limite Gravità = resistenza dell’aria Mg =0. 25 Sv d V= 2 4 Mg Sd Equilibrio

Forma adimensionale del modello v t v V gt V =U velocità adimensionale =s tempo adimensionale nell’equazione originale

Modello adimensionale Soluzione Velocità limite:

U U=1 Tempo richiesto per raggiungere il valore U = 0. 99 (99 per cento della velocità limite):

Esempio S = 0. 7 m 2 Peso = 80 kg Parametro di controllo V= 4 Mg Sd = 200 km/h (circa) raggiunta in (circa) 16 sec = 2. 64 V/g S 0. 5 S V 1. 4 V

pesticidi composti organici volatili microbi metalli pesanti materiali radioattivi

Canale stretto Inquinante in superficie velocità v tempo = 0 concentrazione (massa/lunghezza) c = c(x, t) tempo = t x x+dx massa presente tra x e x+dx al tempo t = c(x, t)dx x

Legge generale: conservazione della massa velocità di variazione della massa = flusso entrante – flusso uscente velocità di variazione della massa = flusso entrante = flusso uscente = (massa/tempo)

dividendo per dx e poi dx 0 (legge generale) Come si modella il flusso ?

Leggi costitutive convezione o trasporto diffusione Diffusione + trasporto Modello matematico

Che cos’è un’opzione? Contratto che dà al possessore il diritto (non il dovere!) di acquistare (call) o vendere (put) uno o più assets finanziari (azioni, buoni di vario tipo, valuta, beni "concreti". . . ). Gli ingredienti: prezzo d’esercizio E tempo d’esercizio T prezzo dell’asset S=S(t) un possessore e un sottoscrittore un tasso di interesse corrente r

Le regole: 1. Il possessore di un'opzione call può comprare il bene, al prezzo E 2. Nel caso che il possessore decida di comprare, il sottoscrittore deve vendere. Il problema: Qual è il prezzo “equo” che deve essere pagato al tempo t=0? L’incognita: V(S(0), 0) Quale modello per V? Funzione valore V=V(S, t): prezzo dell’opzione se al tempo t, il valore dell’asset è S.

Legge generale Di non arbitraggio: ogni guadagno istantaneo senza rischio deve avere rendimento r Leggi costitutive Modello (stocastico!) per l’evoluzione del prezzo S=S(t) Rendimento deterministico Rendimento aleatorio B moto Browniano

1. Formula per la variazione di V: d. V 3 passi 2. Eliminare la componente di rischio nell’espressione di d. V 3. Utilizzare il principio di non arbitraggio per arrivare al modello finale 1. Formula per la variazione di V

2. Eliminare la componente di rischio nell’espressione di d. V Procedura di Hedging (copertura) Privo di rischio!! 3. Utilizzo del principio di non arbitraggio Equazione di Black-Scholes

E dopo una giornata faticosa … Un po’ di refrigerio!