Unidade 8 O Modelo simplificado de Sharpe 1963

Unidade 8 . O Modelo simplificado de Sharpe (1963) Avaliação de activos financeiros: Modelo C. A. P. M. (Notas de Moukhamedjanova Sabina Chan Bonnie e de Abhishek Kapur & Geir Sivertsen) Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 1

. Bibliografia F. Fama e Merton H. Miller Theory of Finance (Hinsdale, Illinois: Dryden Press, 1972) Cap 7. n Eugene Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 2

Eficiência segundo Markowitz – baseado na média e na variância Considere N activos num portfolio e as seguintes notações : Vector de ponderações w=[w 1. . . w. N] Matriz das variâncias-covariâncias Ω Vector de retornos R=[R 1. . . RN] Vector unitário 1=[11. . . 1 N] Variância do portfólio w. T Ω w Retorno do portfólio Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira w. T R 3

Fronteira do Portfolio Retornos do portfolio : w. T R Variância do Portfolio : w. T Ω w 3 2 1 4 6 5 Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 4

Efficiencia segundo Markowitz (Média-Var) Para encontrar a fronteira de eficiência min w. T Ω w s. a. 1=1 T w r=RT w w Optimização : min w Carlos Arriaga 1 2 w. T Ω w + (1 -1 T w) + (r. RT w) Economia Bancária e financeira 5

FOC : Eq. 1 : Ωw= 1 + R Eq. 2 : w=Ω-1 1 + Ω-1 R Multiplicando equação 1 por 1 T e RT : Eq. 3 : 1=a +b Eq. 4 : r=b +c onde : a=1 T Ω-11, b=1 T Ω-1 R, c=RT Ω-1 R Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 6

Resolvendo em ordem a e nas equações 3 e 4, e substituindo na eq 2, obtem-se : w=v 1+v 2 r V 1 e v 2 são dois vectores fixos. Por outro lado, qualquer combinação convexa de portfolios eficientes é também um portfolio eficiente. O portfolio de mercado não é mais do que uma combinação ponderada de portfólios, e que, por sua vez também é eficiente. Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 7

Modelo simplificado de Sharpe Problemas do Modelo de Markowitz: Grande dimensão da matriz de co-variâncias (cálculo computacional complicado em 1959) n Conhecimento da matriz das co-varâncias n Hipótese de Sharpe (1963): Os rendimentos diversos activos encontram-se ligados entre eles por uma relação a um factor comum subjacente: n Ř i = α i + βi Ĩ + ũ i n Ĩ = αn+1+ vn+1 n Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 8

CAPM – Mossin, Jan. “Equilibrium in a Capital Asset Market. ” Econometrica 34(Oct. 1966): 768 -83. – Sharpe, W. F. “Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk. ” Journal of Finance 19(Sept. 1964): 42542. Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 9

– Lintner, John. “Security Prices, Risk, and Maximal Gain from Diversification. ” Journal of Finance 20(Dec. 1965): 587 -615. – Lintner, John. “The Valuation of Risk Assets and the Selection of Risky Investments in Stock Portfolios and Capital Budgets. ” Review of Economics and Statistics 47(Feb. 1965): 13 -37. Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 10

Avaliação de activos financeiros: Modelos C. A. P. M. e A. P. T. n Capital market theory (derivado do modelo de Sharpe) n SEcurity market line: Determinação do valor de um activo, tendo em conta o activo sem risco e o portfólio de mercado. n CAPM : Capital Asset Pricing Market: Modelo de avaliação dos activos financeiros tendo em conta a relação entre o modelo de mercado e a security market line. n APT: Arbitrage Pricing theory : Os rendimentos dos cativos financeiros são função lineares de mais do que um factor Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 11

O papel do activo sem risco no modelo n. O equilíbrio de mercado oferece dificuldades de representação porque diferentes investidores têm assumpções diferentes quanto ao risco. A introdução do activo sem risco resolve esta ambiguidade. – O activo sem risco reduz o número potencial de portfolios eficientes a um único portfolio. Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 12

mp rp rf sp Carlos Arriaga sp Economia Bancária e financeira 13

– Dentro deste equilíbrio, existe apenas um portfolio eficiente. Qualquer grau de aversão ao risco pode ser retratado no modelo através de uma combinação de um portfolio simples e eficiente e um emprestimo ou emprestar (borrowing ou lending) à taxa sem risco. – Substituindo xm por xp ou deixando que o “portfolio índice” seja o portfolio de mercado eficiente, ter-se-á: Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 14

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Conceitos Borrowing Portfolio n Um investidor é capaz de se endividar de maneira a comprar um montante de um portfólio cujo valor seja superior aos valores iniciais: n E(Řp) = Xzrz + (1 -Xz)rb n rb é a taxa de empréstimo Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 17

Conceitos Lending portfolio Emprestador sobre o mercado monetário (sem risco) e associação à aquisição de activos com risco. n Condições : n - Existe ao menos alguem que não apresenta risco de não cumprimento da dívida (quem pede emprestado com risco nulo) - O rendimento presente e futuro de quem adquire este activo é um valor certo - Este activo oferece uma protecção perfeita contra a perda do poder de compra n Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 18

MODELO CAPM considera que todos os investidores possuem portfolios eficientes no sentido de maior valor esperado para um mínimo risco. Pelo teorema de separação de dois portfolios, o portfólio de mercado é também eficiente. Para a validade do CAPM, o portfolio de mercado deve encontrarse na fronteira eficiente. Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 19

Condições de estimação do modelo de mercado n O índice de mercado deverá responder às condições seguintes: n 1. Ser exaustivo , isto é, deverá ser calculado a partir de todos os activos financeiros com risco existente no mercado (vinte são representativos) n 2. Ser um indice de rendimento e não apenas um índice de preços. Deverá ter em conta os rendimentos líquidos distribuídos (dividendos e juros). n 3. Ser um índice ponderado e não uma média aritmética simples. Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 20

Versões do CAPM Sharpe-Lintner : E[Zi]= i + ßi (E[Zm]) Este activo assume a presença de um Activo sem risco Black : E[Ri]= i + ßi (E[Rm]) Este modelo trata a taxa sem risco como uma variável aleatória Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 21

Problema de minimização n Black version n Sharpe-Lintner (com activo sem risco) Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 22

Sharpe Model n Regressão de Zit sobre Zmt n Hipótese nula : Versão de Black n Regressão n Hipótese nula α = (i-β)γ Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 23

Modelo de Sharpe-Lintner n A solução de Sharpe. Lintner é uma fronteira de eficiência. n Esta fronteira de eficiência combina uma posição longa no portfolio de mercado com um activo sem risco adquirido em situação de “lending” ou “borrowing” Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 24

Black CAPM Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 25

Security Market Line n E(Rp) n E(rm) n n y rf n Zero Beta Portfolio n n Carlos Arriaga 1 σ (p) Economia Bancária e financeira 26

Security Market Line • Derivamos a security market line: • Em forma de retorno em excesso Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 27

Como testar o CAPM? Os testes do CAPM focam-se em três implicações do modelo de excesso de retorno n A intercepção é zero n Beta captura completamente a variação dos retornos em excesso. n O prémio de mercado é positivo. Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 28

Testes sobre a “intercept” Sharpe-Lintner : E[Zi]= i + ßi (E[Zm]) Testar se i = 0 Black : E[Ri]= i + ßi (E[Rm]) Testar se i = (1 -ßi) E[R 0] Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 29

Zero-Beta CAPM Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 30

Pressupostos implicitos do modelo As estimativas encontram-se sujeitas a erro de amostragem pelo que o portfolio de mercado não é suposto ser ex-post eficiente. A medida do racio de sharp mede a ineficiencia do portfolio de mercado que nos permite detrminar quando deveremos rejeitar o CAPM. Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 31

Rácio de Sharpe Dada uma tangente a, e um portfolio de mercado m : A diferença ra - rm dános uma medida da ineficiência de m Carlos Arriaga a rf Economia Bancária e financeira m 32

Oferta de acções pela empresa n Assumimos que cada empresa vende acções a um preço Pi. Os Investidores desejam adquirir estas acções fundamentados no valor futuro da empresa no final do período, Vi. O valor de aquisição e o valor da empresa no final do período determinarão a taxa de retorno: Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 33

O valor futuro da empresa implica algum risco, por isso a taxa de retorno possui risco. Por outro lado, todos os investidores avaliam o investimento considerando o equilibrio da linha de “capital market”. n Matematicamente, o preço e o valor do portfolio de mercado fica: Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 34

Medidas de Performance baseadas no APT n Modelo de dois factores n Nota: A medida é semlhante ao índice de Jensen Index. Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 35

Conclusão n No caso do CAPM não se sabe se a performance é drivado à habilidade do investidor ou à ineficiência do índice de mercado. No modelo APT, existe liberdade de seleccionar os factores sem restrição, pelo que a performance tem em conta os factores que considerámos. Carlos Arriaga Economia Bancária e financeira 36