UNIDAD II Clase 17 Proporcionalidad directa Objetivo Modelar

UNIDAD II. Clase 17: Proporcionalidad directa. Objetivo: Modelar situaciones que involucren proporcionalidad directa OA 8 Séptimo básico 2020 Colegio Antupirén. Profesor Jaime Soto A. Semana del 29 de junio al 3 de julio

Recordemos lo que vimos en el tema de porcentajes, establecimos una relación entre las cantidades y los porcentajes de aquellas cantidades. Entonces, una proporción directa es la forma de relacionar 2 cantidades de ciertas variables, donde, si una aumenta la otra también aumentará. O si una disminuye, la otra también va a disminuir. Un ejemplo cotidiano sencillo: Este dulce tiene un valor de $30. Si compro más de 1, tendré que pagar más. Observa la tabla:

Definimos las variables, en este caso, para la columna de la izquierda tenemos “cantidad de dulces”, para la columna de la derecha tenemos la variable “cantidad de dinero” (cantidad de dulces) $ (Dinero a pagar) 1 30 2 60 3 90 4 120 5 150 Así, si compramos 1 dulce, pagamos $30. Si compramos 2 dulces, pagamos $60, si compramos 3 dulces, pagamos $90 y así sucesivamente. Esto nos demuestra que, al ir aumentando la cantidad de dulces a comprar, también aumentará la cantidad de dinero a pagar. Esta relación es la que llamamos proporción directa.

Ejemplo 2: Sabemos que el precio del dólar va cambiando día a día. Supongamos que aproximamos aquella cantidad y asumimos que el dólar está hoy en día a $820 pesos chilenos. Realizamos la tabla: Cantidad de dólares. Cantidad en pesos chilenos. 1 dólar $820 2 dólares $1. 640 3 dólares $2. 460 4 dólares $3. 280 A medida que va subiendo la cantidad de dólares, también va aumentando la cantidad en pesos chilenos, por ende, es una proporción directa. Si la cantidad de dólares va disminuyendo, la cantidad en pesos chilenos también disminuye (si ves la tabla de abajo hacia arriba).

Ejemplo 3: En una receta de internet, para hacer 8 panqueques se necesitan en la mezcla 3 huevos. Además de aquello, se requiere 1 taza de harina y 1 taza de leche. Si quiero hacer 16 panqueques, necesitaremos 6 huevos. Si deseo 24 panqueques, 9 huevos, y así sucesivamente. Llevemos esto a la tabla: Cantidad de panqueques Cantidad de huevos 8 3 16 6 24 9 32 12 Ahora bien, ¿qué pasaría si una persona quiere hacer sólo 20 panqueques? ¿Cuántos huevos necesitará para la mezcla? Lo responderemos más adelante.

Variables. Al momento de relacionar 2 variables, tenemos una que será la variable dependiente y la otra será la variable independiente. Normalmente, en matemática, para referirnos a variables, utilizamos letras de nuestro abecedario, así llamaremos entonces. X: Variable independiente y: Variable dependiente (depende de x) Si volvemos a nuestro primer ejemplo: En este caso, la cantidad de dinero a pagar depende de la cantidad de dulces que voy a comprar. Así, la variable dependiente (y) en este caso será el dinero a pagar, que dependerá de la variable independiente (x) que corresponde a la cantidad de dulces que quiera comprar.

Constante de proporcionalidad. Ahora que ya sabemos que son las variables dependientes e independientes, estas podemos relacionarlas a través de una expresión. Para aquello, requerimos de la constante de proporcionalidad, a la que llamaremos K. Recuerda que una proporción directa es la igualdad entre 2 razones, y las razones son fracciones. Si resolvemos la división de la variable dependiente con la independiente, obtendremos la constante K. En el primer ejemplo. En este caso, si tomamos la variable “dinero a pagar” que es nuestra variable dependiente, y la dividimos por la variable independiente “cantidad de dulces”, obtendremos un valor que será constante, así: 30 : 1 = 30 60: 2 = 30 90: 3 = 30 120: 4=30 Así, nuestra constante K será igual a 30.

Conociendo la constante K, puedo utilizar la expresión de dependencia de las variables, que es la siguiente: y = k • x Esta expresión relaciona ambas variables, donde puedo encontrar el valor de la variable dependiente (y), sabiendo el valor de la variable independiente (x). Si volvemos al primer ejemplo, nuevamente: Podemos saber, por ejemplo, cuanto dinero pagará alguien que quiera comprar 25 dulces. Reemplazamos la cantidad de dulces por X en nuestra expresión, y sabiendo que la constante k, en este caso es 30, nos quedará así: y=30 • 25 y=750 Por lo tanto, si una persona quiere comprar 25 dulces, deberá pagar $750

Ya que sabemos relacionar ambas variables, junto a la constante k, volvamos al ejemplo 3, donde nos preguntaban lo siguiente: Cantidad de panqueques Cantidad de huevos 8 3 16 6 24 9 32 12 ¿qué pasaría si una persona quiere hacer sólo 20 panqueques? ¿Cuántos huevos necesitará para la mezcla? Sabiendo los datos de la tabla, podemos determinar la constante k, realizando la división de la variable “y” con la variable “x”. 3: 8 = 0, 375 Lo hacemos más Escribimos la expresión que relaciona las variables, de 1 vez para donde k=0, 375 y la variable x=20 (panqueques, según la 6 : 16 = 0, 375 comprobar pregunta): y=0, 375 • 20 resolvemos: 9 : 24 = 0, 375 y=7, 5 Por lo tanto, necesitaremos 7 huevos y medio para hacer 20 panqueques.

Al representar una proporción directa en un plano cartesiano, esta siempre nos mostrará una línea diagonal desde el origen (coordenada (0, 0)). Veamos la gráfica del primer ejemplo: Variable y: Dinero a pagar 150 120 90 60 30 Variable x: cantidad de dulces