UNIDAD 4 CAPTULO X BSQUEDA DE YP COEFICIENTES
UNIDAD 4. CAPÍTULO X. BÚSQUEDA DE YP: COEFICIENTES INDETERMINADOS.
U-4. CAP. X. MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS. Este es otro método para obtener una solución particular de la ecuación diferencial no homogénea con coeficientes constantes: Que se basa en una suposición razonada de la forma general de una solución particular yp que incluya coeficientes cuyo valor se desconoce. Posteriormente se determinan los coeficientes, de manera que la solución supuesta satisfaga la ecuación diferencial no homogénea.
U-4. CAP. X. MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS. Aunque parezca que el método no tiene buen fundamento, puesto que implica adivinar la forma que debe tener la solución particular, existe un procedimiento bien desarrollado para el caso en que la ecuación es de coeficientes constantes y el término no homogéneo, r(x), tiene una forma determinada. La forma del término r(x) requiere, básicamente, que esta función tenga un número finito de derivadas linealmente independientes.
U-4. CAP. X. MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS. Las formas del término no homogéneo que satisfacen el requerimiento son las siguientes: • • Polinomios de grado n, Pn(x) (incluye el constante). Una función exponencial eax. Las funciones circulares sen bx o cos bx. Un número finito de productos de las anteriores. Por tanto, la forma general de un término no homogéneo, r(x), adecuado para este método es:
U-4. CAP. X. MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS. Una gran mayoría de problemas de interés práctico incluyen estas funciones en sus términos no homogéneos. Cuando la ecuación es de coeficientes variables no se puede garantizar el funcionamiento del método. Cuando el término no homogéneo incluya funciones del tipo 1/x, ln x o tan x (infinitamente derivables), este método es impráctico debido a que yp se debe aproximar mediante una serie con un número infinito de coeficientes
U-4. CAP. X. MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS. Ejemplo: Solución particular para r(x) = Pn(x). Encuentre una solución particular de la ecuación: Solución: En este caso, el término no homogéneo es un polinomio de 2° grado, por lo que la solución particular debe tener la misma forma: tal que, al sustituirla en la ecuación diferencial, se obtenga una igualdad de polinomios, cuya resolución permitirá obtener los coeficientes indeterminados A, B y C.
U-4. CAP. X. MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS. Las derivadas de la solución propuesta son: Así: e igualando coeficientes se tiene: de esta manera:
U-4. CAP. X. MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS. Prueba: Al sustituir la solución y sus derivadas 1ª y 2ª en la ecuación no homogénea, se obtiene una igualdad:
U-4. CAP. X. MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS. Ejemplo: Solución particular para r(x) = ea x. Encuentre una solución particular de la ecuación: Solución: yp debe ser una función que incluya, junto con sus derivadas, un múltiplo constante de la función exponencial e 2 x. Por esta razón, una elección adecuada es: donde A es un coeficiente constante a determinar.
U-4. CAP. X. MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS. Las derivadas de la solución propuesta son: La función yp debe satisfacer la ecuación no homogénea, por lo que debe cumplir: entonces: de manera que la solución particular es:
U-4. CAP. X. MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS. Prueba: Al sustituir la solución y su 2ª derivada en la ecuación no homogénea, se obtiene la igualdad: lo que prueba que la solución propuesta es una solución particular de la ecuación original.
U-4. CAP. X. MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS. Ejemplo: Solución particular para r(x) = sen ax o cos ax. Encuentre una solución particular de la ecuación: Solución: En este caso, el término no homogéneo es un múltiplo constante de cos 3 x, por lo que se infiere que la solución particular debe incluir la forma A cos 3 x. Como la ecuación diferencial incluye a la 1ª derivada (en este caso sen x), la solución particular debe plantearse en términos de las dos funciones circulares:
U-4. CAP. X. MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS. Las derivadas de la solución propuesta son: Así: entonces: Igualando términos semejantes:
U-4. CAP. X. MÉTODO DE LOS INDETERMINADOS. y resolviendo el sistema de ecuaciones: Así, la solución particular es: COEFICIENTES
U-4. CAP. X. MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS. Prueba: Al sustituir la solución y sus derivadas 1ª y 2ª en la ecuación no homogénea, se obtiene la igualdad:
U-4. CAP. X. MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS. Ejemplo: r(x) como combinación de diferentes funciones (superposición de soluciones particulares). Encuentre una solución particular de la ecuación: Solución: En este caso, r(x) incluye muchos términos en este caso, y esperaríamos que la forma general de la solución particular fuera más bien complicada. Sin embargo, al agrupar los términos de r(x) de modo que yp tenga el menor número de coeficientes indeterminados, la ecuación se puede expresar en la forma;
U-4. CAP. X. MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS. De esta manera la solución particular se construye a partir de la combinación de las soluciones particulares asociadas a cada grupo, en la forma: De modo que, al sustituir en la ecuación diferencial:
U-4. CAP. X. MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS. de donde: por lo tanto: Prueba:
U-4. CAP. X. MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS. Ejemplo: Soluciones particulares como producto de funciones. Encuentre una solución particular de la ecuación: Solución: En este caso, el término no homogéneo incluye el producto de un polinomio y una exponencial. Aquí existen dos funciones linealmente independientes de las formas e x y xe x, por tanto, la forma apropiada de la solución particular corresponde a:
U-4. CAP. X. MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS. Las derivadas 1ª y 2ª de esta solución particular son: De modo que, al sustituir en la ecuación diferencial: de donde: y así:
U-4. CAP. X. MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS. Ejemplo: Soluciones particulares en donde r(x) contiene términos de la solución complementaria. Encuentre una solución particular de la ecuación: Solución: El término no homogéneo incluye una de las soluciones complementarias de la ecuación diferencial. De manera que la formulación de yp debe incorporar un factor que la haga linealmente independiente de yc. Como se ha visto anteriormente, tal factor es la función algebraica x, entonces:
U-4. CAP. X. MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS. Las derivadas 1ª y 2ª de esta solución particular son: De modo que, al sustituir en la ecuación diferencial: y así:
U-4. CAP. X. MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS. Ejemplo: Soluciones particulares en donde la solución complementaria contienen a r(x) y xr(x). Encuentre una solución particular de la ecuación: Solución: En este caso tanto e 3 x como xe 3 x son soluciones complementarias de la ecuación diferencial. Entonces, siguiendo la idea de que yp debe ser linealmente independiente de yc, se propone multiplicar la solución estándar yp = e 3 x por x 2. Así:
U-4. CAP. X. MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS. Las derivadas 1ª y 2ª de esta solución particular son: De modo que, al sustituir en la ecuación diferencial: y así:
U-4. CAP. X. MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS. Ejemplo: Solución general de una ecuación diferencial de 2° orden coeficientes constantes no homogénea. Encuentre la solución general de la ecuación: Solución: La solución general es la suma de las soluciones complementaria y particular: en donde:
U-4. CAP. X. MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS. Solución complementaria: Por tanto: Solución particular: sustituyendo en la ecuación no homogénea: se tiene:
U-4. CAP. X. MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS. entonces: Por lo tanto, la solución general es: Prueba:
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