Une incursion dans lunivers des jeux combinatoires ric

Une incursion dans l’univers des jeux combinatoires Éric Sopena, La. BRI Équipe Combinatoire et Algorithmique – novembre 2009

Les jeux combinatoires Dans le vaste univers des jeux mathématiques, nous allons nous intéresser aux jeux d’opposition à deux joueurs… Dans le vaste univers des jeux d’opposition à deux joueurs, nous allons nous intéresser aux jeux combinatoires… Une incursion dans l’univers des jeux combinatoires – novembre 2009 2

Qu’est-ce qu’un jeu combinatoire ? Hello ! I’m Alice… Hi ! My name is Bob… Un jeu à deux joueurs, traditionnellement désignés par A(lice) et B(ob) Une incursion dans l’univers des jeux combinatoires – novembre 2009 3

Qu’est-ce qu’un jeu combinatoire ? 1. deux joueurs, Alice et Bob Les deux joueurs jouent à tour de rôle et sont contraints de jouer ; Alice joue toujours la première Une incursion dans l’univers des jeux combinatoires – novembre 2009 4

Qu’est-ce qu’un jeu combinatoire ? 1. deux joueurs, Alice et Bob 2. les deux joueurs jouent alternativement (obligation), Alice commence départ Le nombre de positions possibles est fini, l’une des positions est la position initiale (position de départ) Une incursion dans l’univers des jeux combinatoires – novembre 2009 5

Qu’est-ce qu’un jeu combinatoire ? 1. deux joueurs, Alice et Bob 2. les deux joueurs jouent alternativement (obligation), Alice commence 3. le nombre de positions est fini, l’une des positions est la position initiale On dispose d’un ensemble de règles définissant les options possibles (passage d’une position à une autre). Ces options peuvent être identiques ou différentes pour les deux joueurs (jeu impartial ou jeu partisan) Une incursion dans l’univers des jeux combinatoires – novembre 2009 6

Qu’est-ce qu’un jeu combinatoire ? 1. deux joueurs, Alice et Bob 2. les deux joueurs jouent alternativement (obligation), Alice commence 3. le nombre de positions est fini, l’une des positions est la position initiale 4. ensemble de règles définissant les options (passage d’une position à une autre), identiques ou pas pour les deux joueurs (jeu impartial ou jeu partisan) L’information sur le jeu (position courante et options possibles) est totale pour les deux joueurs etc. Une incursion dans l’univers des jeux combinatoires – novembre 2009 7

Qu’est-ce qu’un jeu combinatoire ? 1. deux joueurs, Alice et Bob 2. les deux joueurs jouent alternativement (obligation), Alice commence 3. le nombre de positions est fini, l’une des positions est la position initiale 4. ensemble de règles définissant les options (passage d’une position à une autre), identiques ou pas pour les deux joueurs (jeu impartial ou jeu partisan) 5. l’information est totale (position et options) Le hasard n’intervient pas en cours de partie Une incursion dans l’univers des jeux combinatoires – novembre 2009 8

Qu’est-ce qu’un jeu combinatoire ? 1. deux joueurs, Alice et Bob 2. les deux joueurs jouent alternativement (obligation), Alice commence 3. le nombre de positions est fini, l’une des positions est la position initiale 4. ensemble de règles définissant les options (passage d’une position à une autre), identiques ou pas pour les deux joueurs (jeu impartial ou jeu partisan) 5. l’information est totale (position et options) 6. le hasard n’intervient pas Le joueur qui ne peut plus jouer perd la partie (version normale). La convention opposée est possible (version misère) Une incursion dans l’univers des jeux combinatoires – novembre 2009 9

Qu’est-ce qu’un jeu combinatoire ? 1. deux joueurs, Alice et Bob 2. les deux joueurs jouent alternativement (obligation), Alice commence 3. le nombre de positions est fini, l’une des positions est la position initiale 4. ensemble de règles définissant les options (passage d’une position à une autre), identiques ou pas pour les deux joueurs (jeu impartial ou jeu partisan) 5. l’information est totale (position et options) 6. le hasard n’intervient pas 7. version normale : le perdant est le joueur ne pouvant plus jouer (autre version possible, dite misère) Le jeu est fini (nombre fini de positions, on ne revient jamais sur une position déjà rencontrée) Une incursion dans l’univers des jeux combinatoires – novembre 2009 10

Qu’est-ce qu’un jeu combinatoire ? 1. deux joueurs, Alice et Bob 2. les deux joueurs jouent alternativement (obligation), Alice commence 3. le nombre de positions est fini, l’une des positions est la position initiale 4. ensemble de règles définissant les options (passage d’une position à une autre), identiques ou pas pour les deux joueurs (jeu impartial ou jeu partisan) 5. l’information est totale (position et options) 6. le hasard n’intervient pas 7. version normale : le perdant est le joueur ne pouvant plus jouer (autre version possible, dite misère) 8. le jeu est fini (nombre fini de positions, on ne revient jamais sur une position déjà rencontrée) Une incursion dans l’univers des jeux combinatoires – novembre 2009 11

Qu’est-ce qu’un jeu combinatoire ? 1. deux joueurs, Alice et Bob 2. les deux joueurs jouent alternativement (obligation), Alice commence 3. le nombre de positions est fini, l’une des positions est la position initiale 4. ensemble de règles définissant les options (passage d’une position à Les jeux combinatoires une autre), identiques ou pas pour les deux joueurs (jeu impartial ou jeu partisan) sont des jeux de 5. l’information est totale (position et options) stratégie pure 6. le hasard n’intervient pas 7. version normale : le perdant est le joueur ne pouvant plus jouer (autre version possible, dite misère) 8. le jeu est fini (nombre fini de positions, on ne revient jamais sur une position déjà rencontrée) Une incursion dans l’univers des jeux combinatoires – novembre 2009 12

Exemple 1 : le jeu de NIM • On dispose de plusieurs tas d’allumettes • À tour de rôle, chaque joueur choisit l’un des tas et enlève un nombre quelconque d’allumettes de ce tas • Le joueur qui enlève la (ou les) dernière(s) allumette(s) gagne la partie (son adversaire ne pourra plus jouer). Alice Nim (4, 3) Bob Alice a gagné la partie… (version normale) Une incursion dans l’univers des jeux combinatoires – novembre 2009 13

Exemple 2 : le jeu de Kayles • On dispose d’une rangée de quilles • À tour de rôle, chaque joueur peut faire tomber une seule quille ou bien deux quilles voisines Alice Bob Alice a gagné la partie… (version normale) Une incursion dans l’univers des jeux combinatoires – novembre 2009 14

Exemple 3 : un jeu sur les graphes • Un graphe non orienté (sommets reliés par des arêtes), un ensemble de k couleurs • À tour de rôle, chaque joueur colorie l’un des sommets de façon telle que deux sommets voisins (reliés par une arête) n’aient jamais la même couleur • On peut montrer qu’un tel jeu est équivalent à un jeu à une seule couleur (sur un graphe différent) Une incursion dans l’univers des jeux combinatoires – novembre 2009 15

Exemple 3 : un jeu sur les graphes • Un graphe non orienté (sommets reliés par des arêtes) • À tour de rôle, chaque joueur supprime un des sommets ainsi que l’ensemble de ses voisins (reliés par une arête) Alice Bob a gagné la partie… (version normale) Une incursion dans l’univers des jeux combinatoires – novembre 2009 16

Quelle est la question ? . . . Les questions qui vont nous intéresser sont les suivantes : 1. Considérons une position de jeu, initiale ou intermédiaire. a. Le joueur qui doit jouer peut-il gagner contre toute défense (position gagnante) ? b. Son adversaire peut-il gagner contre toute défense (position perdante) ? Les jeux combinatoires, tels qu’on les a définis, ont une propriété fondamentale : toute position est soit gagnante, soit perdante 2. Quelle stratégie doit-on adopter, si l’on est face à une position gagnante ? Une incursion dans l’univers des jeux combinatoires – novembre 2009 17

Positions gagnantes et positions perdantes • Une position est gagnante si elle possède une option perdante (ce qui permet de mettre son adversaire en position perdante…) • Une position est perdante si toutes ses options sont gagnantes (on est contraint de mettre son adversaire en position gagnante…) • La stratégie gagnante consiste alors à choisir une option perdante lorsqu’on est face à une position gagnante… On va s’intéresser maintenant aux jeux combinatoires en version normale (le premier joueur bloqué perd la partie) Une incursion dans l’univers des jeux combinatoires – novembre 2009 18

Somme de jeux combinatoires • Soient J 1 et J 2 deux jeux combinatoires (par abus de langage, on identifie un jeu avec sa position initiale) • La règle utilisée pour jouer sur la somme J 1 + J 2 est la suivante : choisir J 1 et jouer sur J 1 en utilisant les règles de J 1 ou bien choisir J 2 et jouer sur J 2 en utilisant les règles de J 2 • Le joueur ne pouvant plus jouer (ni sur J 1, ni sur J 2) est déclaré perdant (version normale) J 1 J 2 Une incursion dans l’univers des jeux combinatoires – novembre 2009 19

Somme de jeux combinatoires • Très souvent, une position de jeu fait apparaître plusieurs composantes indépendantes… • Une telle position peut ainsi être interprétée comme une somme de plusieurs positions… + = = + Une incursion dans l’univers des jeux combinatoires – novembre 2009 20

Somme de jeux combinatoires • Peut-on déterminer si une somme de jeux est gagnante ou perdante, connaissant la réponse à cette question pour les composantes de la somme ? Perdant + Perdant = Perdant Gagnant + Perdant = Gagnant + Gagnant = Perdant ou Gagnant… Une incursion dans l’univers des jeux combinatoires – novembre 2009 21

Principe de symétrie Une position de jeu constituée de deux composantes indépendantes et identiques est toujours perdante. • Chaque coup joué par Alice dans l’une des composantes peut être reproduit à l’identique par Bob dans l’autre composante • Ainsi, Bob ne sera jamais bloqué… Une incursion dans l’univers des jeux combinatoires – novembre 2009 22

Principe de symétrie : Kayles résolu ? Nombre pair de quilles : Alice Nombre impair de quilles : Alice Ainsi, Alice gagne toujours… le jeu est-il résolu pour autant ? Une incursion dans l’univers des jeux combinatoires – novembre 2009 23

Positions de jeu équivalentes On dira que deux positions de jeu J 1 et J 2 sont équivalentes si et seulement si la position J 1 + J 2 est perdante (symétrie : deux positions identiques sont équivalentes…) Une incursion dans l’univers des jeux combinatoires – novembre 2009 24

La fonction de Sprague-Grundy Dans les années 30, Sprague et Grundy ont introduit une fonction permettant de systématiser l’analyse des jeux combinatoires impartiaux (même règles pour les deux joueurs) en version normale (le premier joueur bloqué perd la partie). Idée : • Toute position perdante est équivalente à la position NIM(0) • Toute position gagnante est équivalente à une position NIM(n) pour une certaine valeur de n > 0 (ce qui signifie que la position J + NIM(k) est perdante). Fonction de Sprague-Grundy, notée : ( NIM(k) ) = k, pour tout k 0 ( J ) = k si J est équivalente à NIM(k) Une incursion dans l’univers des jeux combinatoires – novembre 2009 25

Calcul des « nimbers » La valeur (J) est appelée le nimber de la position J. Soit J une position de jeu, et { J 1, J 2, …, Jk } l’ensemble de ses options (positions atteignables en un coup). Nous avons alors : ( J ) = mex ( { ( J 1 ), ( J 2 ), …, ( Jk ) } ) Pour tout ensemble S d’entiers naturels, mex ( S ) désigne le plus petit entier naturel n’apparaissant pas dans l’ensemble S : - mex ( { 0, 1, 3 } ) = 2 - mex ( { 1, 2, 5, 6 } ) = 0 - mex ( ) = 0 Une incursion dans l’univers des jeux combinatoires – novembre 2009 26

Nimbers et somme de jeux Si J = J 1 + J 2, alors ( J ) = ( J 1 ) ( J 2 ) = + XOR ( Nim(3) ) (ou = 3 exclusif = ’ 11’ des ( Nim(1) ) représentations = 1 = ’ 01’ ’ 11’ ’ 01’ = binaires) ’ 10’ ( NIM(3, 1) ) = 2 Une incursion dans l’univers des jeux combinatoires – novembre 2009 27

Résolution d’un jeu combinatoire • La fonction de Sprague-Grundy nous permet de déterminer si une position de jeu J est gagnante ou perdante : J est gagnante si et seulement si ( J ) > 0 • Si J est une position gagnante, la fonction de Sprague. Grundy nous permet de trouver une option perdante J’ de J (stratégie) : choisir J’ telle que ( J’ ) = 0 • La fonction de Sprague-Grundy nous permet de déterminer si deux positions de jeux sont équivalentes : J 1 équivalent à J 2 si et seulement si J 1 + J 2 est perdante si et seulement si (J) = (J 1) (J 2) = 0 si et seulement si (J 1) = (J 2) Une incursion dans l’univers des jeux combinatoires – novembre 2009 28

Résolution d’un jeu combinatoire Exemple : Nim (8, 8, 7, 7, 7, 6, 4, 4, 4, 2, 1) Comment trouver « facilement » le coup gagnant ? On calcule : = 7 6 4 2 1 = ‘ 111’ ‘ 110’ ‘ 100’ ’ 10’ ‘ 1’ = ‘ 101’ On choisit un tas dont la taille possède un ‘ 1’ en 3 ème position par exemple : 7 = ‘ 111’ 3ème position droite Et on calcule la somme des tailles des autres(detas : à gauche) 7 = ‘ 010’ = 4 < 7 Ce qui donne une option perdante possible : supprimer 3 allumettes dans l’un des tas de 7… Une incursion dans l’univers des jeux combinatoires – novembre 2009 29

La machine NIMROD source : http: //www. goodeveca. net/nimrod/ NIMROD : une machine dédiée au jeu de NIM (présentée en Angleterre en mai 1951 par la société Ferranti). Une incursion dans l’univers des jeux combinatoires – novembre 2009 30

Séquence de Sprague-Grundy Soient J(0), J(1), J(2), … les différentes positions initiales d’un jeu J, correspondant à des composantes de taille 0, 1, 2, … n=0 n=1 n=2 n=3 Nim (n) Kayles (n) Une incursion dans l’univers des jeux combinatoires – novembre 2009 31

Séquence de Sprague-Grundy Soient J(0), J(1), J(2), … les différentes positions initiales d’un jeu J, correspondant à des composantes de taille 0, 1, 2, … On définit alors la séquence de Sprague-Grundy, donnée par la suite : ( J(0) ), ( J(1) ), ( J(2) ), … Exemple. Le jeu de NIM n 0 1 2 3 4 5 6 7 … (NIM(n)) 0 1 2 3 4 5 6 7 … Une incursion dans l’univers des jeux combinatoires – novembre 2009 32

Le jeu de Kayles On peut démontrer que la séquence de Sprague-Grundy du jeu de Kayles a la forme suivante : 0 0 1 2 3 1 4 3 2 1 4 2 11 6 4 1 2 7 1 4 3 2 1 4 6 23 7 4 1 2 8 5 4 7 2 1 8 6 35 7 4 1 2 3 1 4 7 2 1 8 2 47 7 4 1 2 8 1 4 7 2 1 4 2 59 7 4 1 2 8 1 4 7 2 1 8 6 71 7 4 1 2 8 1 4 7 2 1 8 2 83 7 4 1 2 8 1 4 7 2 1 8 2 95 7 4 1 2 8 1 … Toutes les positions non vides sont bien gagnantes… Une incursion dans l’univers des jeux combinatoires – novembre 2009 33

Le jeu de Kayles On peut démontrer que la séquence de Sprague-Grundy du jeu de Kayles a la forme suivante : 0 0 1 2 3 1 4 3 2 1 4 2 11 6 4 1 2 7 1 4 3 2 4 6 23 7 4 1 8 6 35 7 4 1 8 2 47 7 4 de 5 période 4 7: 122 1 Nombre 2 3 d’exceptions 1 4 7 : 142 Dernière (70) 1 2 8 exception 1 4 : 7 2 1 1 4 2 59 7 4 1 1 8 6 71 7 4 8 2 83 7 4 8 2 95 7 4 1 Longueur 2 8 1 4 7 2 il suffit de mémoriser la période 1 2 8 1 4 7 2 1 et les exceptions… 1 2 8 1 4 1 2 8 1 … 7 2 1 Toutes les positions non vides sont bien gagnantes… Une incursion dans l’univers des jeux combinatoires – novembre 2009 34

Jeu sur les chemins On peut démontrer que la séquence de Sprague-Grundy du jeu sur les chemins a la forme suivante : 0 1 1 2 0 3 1 1 0 3 3 2 2 4 0 5 2 2 18 3 3 0 1 1 3 0 2 1 1 0 4 5 2 7 4 0 35 1 1 2 0 3 1 1 0 3 3 2 2 4 4 5 5 2 52 3 3 0 1 1 3 0 2 1 1 0 4 5 3 7 4 8 69 1 1 2 0 3 1 1 0 3 3 2 2 4 4 5 5 9 86 3 3 0 1 1 3 0 2 1 1 0 4 5 3 7 4 8 103 1 1 2 0 3 1 1 0 3 3 2 2 4 4 5 5 9 120 3 3 0 1 1 3 0 2 … Une incursion dans l’univers des jeux combinatoires – novembre 2009 35

Jeu sur les chemins On peut démontrer que la séquence de Sprague-Grundy du jeu sur les chemins a la forme suivante : 0 1 1 2 0 3 1 1 0 3 3 2 2 4 0 5 2 2 18 3 3 0 1 1 3 0 2 1 1 0 4 5 2 7 4 0 35 1 1 2 0 3 1 1 0 3 3 2 2 4 4 5 5 2 52 3 3 0 1 1 3 0 2 1 1 0 4 5 3 7 4 8 69 1 1 2 0 3 1 1 0 3 3 2 2 4 4 5 5 9 86 3 3 4 5 3 7 4 8 103 1 1 2 4 4 5 5 9 120 3 3 0 Longueur 1 1 de 3 période 0 2 1: 34 1 0 Nombre d’exceptions : 7 2 0 3 1 1 0 3 3 2 Dernière exception : (51) 0 1 1 3 0 2 … Une incursion dans l’univers des jeux combinatoires – novembre 2009 36

En guise de conclusion… La fonction de Sprague-Grundy est un outil fondamental pour la résolution des jeux combinatoires impartiaux, en version normale. Nous n’avons pas d’outil équivalent (général) pour l’étude des jeux combinatoires impartiaux en version misère… • • Une résolution complète de la version misère du jeu de KAYLES n’a été obtenue qu’en 1973 par William Sibert (et publiée en 1992)… (jeu introduit en 1914…) En version misère, le jeu de coloration sur les chemins n’est toujours pas résolu ! (introduit en 1934, connu sous le nom de Dawson’s chess) Graphe des positions (si le temps le permet…) Une incursion dans l’univers des jeux combinatoires – novembre 2009 37

En guise d’exercice… Le solitaire à deux joueurs : (le premier joueur bloqué perd la partie) Sauriez-vous déterminer les configurations gagnantes sur une ligne ? . . . … Une incursion dans l’univers des jeux combinatoires – novembre 2009 … 38

Bibliographie E. R. Berlekamp, J. H. Conway, R. K. Guy Winning Ways for your Mathematical Plays (4 vol. , 1 st ed. 1982, 2 nd ed. 2001 -2004) J. H. Conway, On Numbers and Games (1 st ed. 1976, 2 nd ed. 2001) M. H. Albert, R. J. Nowakowski, D. Wolfe Lessons in play (2007) Une incursion dans l’univers des jeux combinatoires – novembre 2009 39

Merci de votre attention…

Le graphe associé à un jeu On peut construire le graphe dont les sommets sont toutes les positions de jeu possibles (à partir de la position initiale). On place un arc d’une position P 1 vers une position P 2 si P 2 est une option de P 1 (un coup légal permet de passer de P 1 à P 2). 1, 0 3, 0 Exemple. le jeu NIM(3, 2) 3, 1 1, 1 3, 2 Ce graphe est sans circuits… 0, 0 2, 2 2, 1 Une incursion dans l’univers des jeux combinatoires – novembre 2009 41

Jeu sur le graphe De façon équivalente, on peut jouer sur ce graphe : • un jeton est placé sur le sommet initial ; à tour de rôle, chaque joueur déplace le jeton le long d’un arc Bob 1, 0 3, 0 Alice 3, 1 1, 1 3, 2 2, 0 2, 2 • le joueur qui arrive sur un sommet puits (pas d’arcs sortants) gagne la partie 0, 0 2, 1 Une incursion dans l’univers des jeux combinatoires – novembre 2009 Alice a gagné la partie… 42

Déterminer les positions gagnantes et perdantes sommet gagnant : possède un arc vers un sommet perdant : sommet puits (pas d’arc sortant) ou ne possède que des arcs allant vers des sommets gagnants 1, 0 3, 0 Gagnant Perdant 3, 1 0, 0 1, 1 3, 2 2, 0 2, 2 2, 1 Une incursion dans l’univers des jeux combinatoires – novembre 2009 43

Déterminer la stratégie gagnante ? . . . La stratégie se lit sur le graphe : depuis un sommet gagnant, on cherche à atteindre un sommet perdant (arcs rouges) 1, 0 3, 0 Gagnant Perdant 3, 1 0, 0 1, 1 3, 2 2, 0 2, 2 2, 1 Une incursion dans l’univers des jeux combinatoires – novembre 2009 44

Graphe et somme de jeux Le jeu avec un jeton sur le graphe de Nim(3, 2) est équivalent au jeu à deux jetons sur le graphe de NIM(3) 1, 0 3, 1 0, 0 1, 1 3, 2 2, 0 2, 2 2, 1 3 2 1 0 À tour de rôle, chaque joueur choisit un jeton et le déplace le long d’un arc… Une incursion dans l’univers des jeux combinatoires – novembre 2009 45

Principe de symétrie Graphe du jeu Nim(3, 2) : 1, 0 3, 0 Gagnant Perdant 3, 1 0, 0 1, 1 3, 2 2, 0 2, 2 2, 1 Toutes les positions de la forme (k, k) sont perdantes… Une incursion dans l’univers des jeux combinatoires – novembre 2009 46

Calcul des « nimbers » (fonction MEX) Exemple : le jeu Nim(3, 2) : 1 3 2 1 1, 0 3, 1 J est perdante si et seulement si (J)=0 0 0 0, 0 1, 1 3, 2 0 Le nimber d’un sommet puits vaut 0 2, 2 2 2, 1 3 Une incursion dans l’univers des jeux combinatoires – novembre 2009 47

Nimbers et somme de jeux 1 3 2 1 1, 0 3, 1 0 0, 0 1, 1 3, 2 0 0 2, 2 2 2, 1 3 3 1 = ’ 11’ ’ 01’ = ’ 10’ = 2 mex ( { 0, 1, 3 } ) = 2 Une incursion dans l’univers des jeux combinatoires – novembre 2009 48