Un peu dhistoire Trigonomtrie Ce que nous allons

Un peu d’histoire … Trigonométrie Ce que nous allons voir par la suite ne fonctionne que si nous avons des triangle rectangle Attention Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet Seulement dans un triangle rectangle ! …/…

Pour information : La trigonométrie (du grec : τρίγωνος / trígonos, « triangulaire » , et μέτρον / métron, « mesure » ) C’est une branche des mathématiques Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…

Pré requis Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…

1. Savoir calculer la mesure d’un angle : Angles Alterne-interne Angles correspondant Opposés par le sommet Angles supplémentaires Savoir calculer un angle en énonçant les propriétés suivantes : ■ La somme des angles dans un triangles vaux 180°. ■ Un triangle rectangle comporte deux angles complémentaires, ■ Les angles opposés par le sommet sont toujours égaux. ■ Une droite coupant deux parallèles forment des angles correspondants et alternes-internes égaux. ■ Deux angles supplémentaires valent 180°. Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…

2. Connaître le vocabulaire dans un triangle rectangle : Chaque côté porte un nom mais dépend de l’angle aiguë ! ATTENTION : la disposition des cotés opposé et adjacent dépend de l'angle utilisé dans les calculs C l'hypoténuse Toujours au même endroit opposé adjacent A opposé adjacent B Par exemple, si on tient de l’angle bleu en rouge Et maintenant si par exemple, si compte on tient que compte que deen l’angle Pour info : Un angle aiguë est un angle inférieur à 90 ° Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…

Exemple : vocabulaire Voici trois triangles rectangles : ? ? ? ? Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet ? ? ? ?

Vérifiez si vous savez retrouver le bon nom des côtés Adjacent… Opposé… Hypoténuse… Sinon, faites retour en arrière Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet

Exemple : vocabulaire Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet Voici trois triangles rectangles : …/…

3. Règles de calcul : ■ Rappel : multiplication à trou et division à trou Après transposition une multiplication devient une division ou inversement. ■ Rappel : égalité des produits en croix Remarque : On peut aussi utiliser les propriétés des équations. Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet

Activité de découverte Proportionnalité de certains côtés Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…

1. ACTIVITES : découverte de la notion C 1 C 2 C B B B A Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet A 1 A 2 …/…

Regardons la longueur de leurs côtés. Puis, complétons le tableau suivants en mesurant les cotés AC et BC C 1 C B les AC 5 cm les BC A B A 1 9, 1 cm C 2 les AC/BC B 10 cm Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet A 2

Mesurons et reportons dans le tableau Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet

Regardons la longueur de leurs côtés. Puis, complétons le tableau suivants en mesurant les cotés C 1 pocm hy 5, 5 B les BC 5, 5 11 10 e us n é t o hyp 10 cm 4, 1 cm 2, 2 cm A B e s u én ocmt p 11 y h les AC/BC 0, 4 hypoténuse En fait, Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet A 1 9, 1 cm C 2 Côté opposé les AC 2, 2 4, 5 4, 1 coté opposé 5 cm Côté opposé e s u tén C Côté opposé AC et BC 4, 5 cm B 10 cm A 2 …/…

Ce nombre environ 0, 4… caractérise l’angle qui mesure 24° : il s’appelle le sinus de l’angle de 24° et s’écrit Remarques : sin (24°) les cotés AC sont les cotés opposés à l’angle les cotés BC sont les hypoténuses ( opposés à l’angle droit ) donc le Sinus d’un angle c’est le rapport du coté Opposé sur l’Hypoténuse la calculatrice sait calculer ce nombre sans connaître les cotés : En n’oubliant pas de mettre votre calculatrice en mode degré : sin 24 EXE Réponse 0, 40673… Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…

D’autres côtés sont proportionnels… Cosinus et Tangente … Cosinus et 0, 91 c’est le cosinus de 24° cos 24° = 0, 91 environ Tangente 0, 45 c’est la tangente de 24° tan 24° = 0, 45 environ valeur plus précise de la calculatrice : cos 24° = 0, 9135 le Cosinus d’un angle c’est le coté Adjacent sur l’Hypoténuse tan 24° = 0, 4452 la Tangente d’un angle c’est le coté Opposé sur le coté Adjacent Nous venons de découvrir la notion. Passons à la leçon … Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…

Leçon Définitions Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…

Définition : Voici un triangle ABC rectangle en A, ■ Le cosinus d’un angle aigu, dans un triangle rectangle est égal au quotient : ■ Le sinus d’un angle aigu, dans un triangle rectangle est égal au quotient : ■ La tangente d’un angle aigu, dans un triangle rectangle est égal au quotient : Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…

Remarque : Pour mémoriser quel côté est proportionnel avec quel autre côté et comment s’appelle cette proportionnalité : cosinus ? Sinus ? ou tangente ? On peut retenir la formule : SOH CAH TOA ou CAH SOH TOA Cette formule permet de rappeler si on parle du cosinus, du sinus ou de la tangente et de retenir l’ordre de l’opération à faire ! On peut utiliser ces 3 formules de trigonométrie seulement si on a un triangle rectangle. Attention Ces 3 formules vont pouvoir nous être utiles à trouver : ● soit les longueurs des côtés ● soit les angles du triangle rectangle. Pensez à mettre la calculatrice en mode degré (Deg ou D) Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…

Récapitulatif : LES RELATIONS ENTRE LES ANGLES ET LES COTES : LA TRIGONOMETRIE C le coté en face de l'angle droit le coté en face de l'angle ou coté opposé ou le plus grand: l'hypoténuse B A le coté qui touche l'angle et l'angle droit ou coté adjacent S sin …. O = C cos …. Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet / A = T tan …. opp H adj H / O = opp hyp A / adj …/…

À recopier sur le cahier de leçon : Synthèse : Trigonométrie Dans un triangle rectangle certains côtés sont proportionnels entre eux. On peut retenir la formule : SOH CAH TOA ou CAH SOH TOA Ces 3 formules vont pouvoir nous être utiles à trouver : ● soit les longueurs des côtés ● soit les angles du triangle rectangle. Pensez à mettre la calculatrice en mode degré (Deg ou D). Le cosinus et le sinus d’un angle aigu sont toujours inférieur à 1. Si deux angles sont complémentaires, le sinus de l'un est égal au cosinus de l’autre angle. exemple : sin (60°) = cos (30°) et cos (60°) = sin (30°) Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…

Exemples Méthode Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…

A QUOI SERT LA TRIGONOMETRIE ? calculer un angle : exemples si 2 cotés sont donnés calculer un coté : exemples un autre coté peut être calculé si l’angle est donné et 1 coté est donné un autre coté peut être calculé Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…

À recopier sur le cahier de leçon : Méthode : COMMENT CALCULER LA MESURE D’UN ANGLE ? On Schématise le triangle en repérant les mesures données par l'énoncé et la mesure à calculer. Sur la figure, on repère par leurs noms les différents cotés par rapport à l'angle à calculer. �On cherche le bon rapport trigonométrique parmi les 3 syllabes: SOH CAH TOA ici : opposé : O et hypoténuse : H O et H On va donc utiliser la formule du sinus A Ici, les 2 cotés sont donnés 18 cm ? B à calculer 25 cm opposé C hypoténuse Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…

À recopier sur le cahier de leçon : Méthode : COMMENT CALCULER LA MESURE D’UN COTE ? Soit un triangle ABC, rectangle en A, tel que BC = 8 cm et l’angle Calculer la mesure du coté AC. = 40°. A Schématiser l’énoncé en repérant les données et l'élément à calculer Repérer par leurs noms les différents cotés Trouver le rapport trigonométrique à utiliser : SOH CAH TOA ? Ecrire la relation et la transformer pour calculer la mesure demandée. Rappel : on peut utiliser l’égalité des produits en croix. à calculer opposé 40° B 8 cm C hypoténuse AC Opposé 8 cm Hypoténuse avec O ET H SOH sinus sin 40° 1 = AC 8 Propriété des égalités des produits en croix …/…

Autres exemples détaillés Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…

Exemple de calcul d'angle : a) Pour déterminer un angle : 1ère façon : ABC est un triangle rectangle en A Je tape « arccos (0, 6) » : je trouve : 2ème façon : Je tape « arcsin (0, 8) » , je trouve : 3ème façon : Je tape « arctan (1, 33) » : je trouve : Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…

Exemple de calcul de longueur de côtés : Calculer les longueur AB et BC 0, 87 On trouve De plus Donc alors : BC = 4 : 0, 87 4, 6 cm 1, 73 On trouve De plus Donc alors : AB = 4 : 1, 73 2, 3 cm Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…

COMMENT CALCULER LA MESURE D’UN COTE ? 2ème exemple : Soit un triangle RST, rectangle en R, tel que RS = 35 cm et l’angle = 25°. Calculer la mesure du coté RT. Nommer les cotés : Repérer les données : S S 35 cm à calculer opposé 25° T R R Trouver le rapport trigonométrique : 35 cm Opp et adjacent RT : Adj Ecrire le rapport trigonométrique Transformer la relation tan 25° = : T donc TOA 35 RT RT ´ tan 25° = 35 RT 35 tan 25° RT = 75, 057 RT = 75, 06 cm arrondi à 10 -2 près = Calculatrice 35 ¸ tan 25 = R 75, 057… Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…

Exercices Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…

Correction …/… Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet

QUELQUES EXERCICES. Correction Correction Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet

Correction D C A …/… Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet

Correction Calculer la longueur de cette immeuble. ( Donner BD arrondie au dixième près) Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…

exercice non corrigé Le Panier de Basket : L’échelle dont il se sert mesure 4 m de long 1. Calculer BC ? (Donner une valeur approchée au cm près. ) …/…

Propriétés supplémentaires Propriétés … Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…

Activité : Découverte d’une nouvelle propriété : correction Pour les valeurs suivantes de l’angle , calculer cos , sin , puis (cos )2 + (sin )2 Après avoir fait les calculs, vérifiez : « en cliquant sur correction » en haut à droite pour voir si vous avez juste ! Que remarquez vous ? Pour ce dernier calcul, ne pas utiliser d’arrondi ! Propriété : cos ² (angle) +sin ² (même angle) = 1 Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…

Démonstration : Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…

Activité : correction Pour les valeurs suivantes de l’angle . Calculer : Puis calculer tan Après avoir fait les calculs, vérifiez : « en cliquant sur correction » en haut à droite, pour voir si vous avez juste ! Que remarquez vous ? Propriété : Pour tout angle aigu , on a : Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…

Démonstration : Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…

6) Remarques : Angles complémentaires : Si deux angles sont complémentaires, le sinus de l'un est égal au cosinus de son angle complémentaire. Exemple : L’angle complémentaire à 60°est 30° car 60 + 30 = 90° La propriété est donc : cos ( 60°) = sin ( 30°) …/… Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet

Fin Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…

Fin Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…

Fin Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…

Correction Retour aux exercices Pour les Trois exercices ci-dessus, c’est cosinus qu’il faut utiliser Car : côté Adjacent et Hypoténuse CAH de SOH CAH TOA Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…

Correction Retour aux exercices de SOH CAH TOA Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet E c Pour cet exercice c’est cosinus qu’il faut utiliser Car : côté Adjacent : LE = 27 et Hypoténuse : LD = 39 CAH t en : 7 2 ja d A ? L 39 : Hypoténuse D …/…

Correction Retour aux exercices é Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet S os de SOH CAH TOA ? A pp TOA : 7 , 5 : O c’est tangente qu’il faut utiliser Car : côté Adjacent : SE = 5, 7 et Opposé : EM = 4, 5 c a j d E 4, 5 t en Pour cet exercice : M …/…

Correction Retour aux exercices Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet ? C sé de SOH CAH TOA : po TOA 0 27 Op c’est tangente qu’il faut utiliser Car : côté Adjacent : TC = 270 et Opposé : AT = 199 ja d A T 9: c t en 19 Pour cet exercice : A …/…

Correction Retour aux exercices Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet : ? de SOH CAH TOA sé SOH po Pour cet exercice c’est sinus qu’il faut utiliser Car : on cherche le côté Adjacent : OG = ? et Hypoténuse : FG = 40 Op O 25° F 40 : Hypoténuse G …/…

Correction Retour aux exercices Pour cet exercice : de SOH CAH TOA Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet L c : 3 5 c’est cosinus qu’il faut utiliser Car : côté Adjacent : LE = 53 et Hypoténuse : EZ = ? CAH t en ja d A 45, 4° E Hypoténuse : ? Z …/…

Correction Retour aux exercices Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet A : ? de SOH CAH TOA 85° sé TOA A po : 5 , 4 c’est tangente qu’il faut utiliser Car : côté Adjacent : AZ = 4, 5 et Opposé : ZN = ? c a j d Z Op t en Pour cet exercice : N …/…

Correction Retour aux exercices D C A Pour connaître la pente, il faut raisonner comme pour les fonctions linéaires : Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…

Correction Retour aux exercices ④ On en déduit BD = CD + BC = 6 + 27, 88 = 33, 88 m Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…