Umkehrfunktion oder inverse Funktion 2 1 0 1

Umkehrfunktion oder inverse Funktion -2 -1 0 1 2 Ausgangsmenge Zielmenge -6 -4 -2 0 2 Zielmenge Ausgangsmenge Wie würde der umgekehrte Weg aussehen, wenn also Ausgangs und Zielmenge vertauscht werden? Diese gesuchte Funktionsgleichung nennt man Umkehrfunktion f-1(x)

Wie bestimmten wir nun die Umkehrfunktion? • 1. Schritt: Wir vertauschen x und y also die Ausgangs- und Zielmengen 2. Schritt: Wir lösen jetzt nach y auf

Bestimmen Sie die Umkehrfunktionen von •

Probleme bei nicht eindeutigen Zuordnungen Hier gibt es keine Umkehrfunktion, weil bei einer eindeutigen Funktion von jedem Element der Ausgangsmenge nur ein Pfeil zur Zielmenge ausgehen darf ! -2 -1 0 1 2 0 1 4 Bei der Umkehrfunktion würden aber von der 1 und der 4 der grünen Menge zwei Pfeile ausgehen. Wir müssen deshalb den Definitionsbereich der Ausgangsmenge der ursprünglichen Funktion auf gewisse Werte begrenzen, um eine eindeutige Umkehrfunktion bilden zu können !

Merkregel für Umkehrfunktion Wir können nur Umkehrfunktionen von Funktionen bilden, die nur monoton steigen oder nur monoton fallen. Deshalb müssen wir den Definitionsbereich der Ausgangsfunktion auf diese Bereiche einschränken.

1. Schritt: Wir vertauschen x und y also die Ausgangs- und Zielmengen -2 -1 0 1 2 0 1 4

1. Schritt: Wir vertauschen x und y also die Ausgangs- und Zielmengen -2 -1 0 1 2 0 1 4

Konkretes Beispiel für die Umkehrfunktion einer quadratischen Funktion •

Bestimmen Sie die Bereiche, wo die folgenden quadratischen Funktionen nur monoton steigen oder fallen. Bei quadratischen Funktionen ist die Grenze der Scheitelpunkt. Beschränken Sie den Definitionsbereich der Ursprungsfunktion daraufhin und bestimmen Sie dann die Umkehrfunktionen. Geben Sie den Wertebereich der Ursprungsfunktion also den Definitionsbereich der Umkehrfunktion an. •