UKURAN VARIASI DISPERSI Sumber J Supranto hal 127
UKURAN VARIASI (DISPERSI) Sumber : J. Supranto, hal. 127 • UKURAN DISPERSI ATAU UKURAN PEMENCARAN ATAU UKURAN PENYEBARAN ATAU PENGUKURAN PENYIMPANGAN ADALAH SUATU UKURAN YANG MENUNJUKKAN TINGGI TENDAHNYA PERBEDAAN DATA YANG DIPEROLEH DARI RATA-RATANYA (MEAN-NYA). TUJUANNYA ADALAH UNTUK MENGETAHUI PENYEBARAN SUATU KELOMPOK DATA, AGAR KITA DAPAT MENENTUKAN KELOMPOK DATA (NILAI) YANG BERSIFAT HOMOGEN (TIDAK BERVARIASI), HETEROGEN (SANGAT BERVARIASI) DAN RELATIF HOMOGEN (TIDAK BEGITU BERVARIASI). PERHATIKAN 3 KELOMPOK DATA BERIKUT INI : KLP. 1 50 50 50 RATA-RATA = 50 KLP. 2 50 40 30 60 70 RATA-RATA = 50 KLP. 3 100 40 80 20 10 RATA-RATA = 50 RATA-RATANYA SAMA = 50 NAMUN KELOMPOK 1 DAPAT MEWAKILI RATA KELOMPOK DATA DENGAN BAIK, TETAPI KLP. 3 TIDAK DAPAT MEWAKILI RATA-RATA KELOMPOK DENGAN BAIK.
• • • DISPERSI SANGAT PENTING UNTUK MENGETAHUI SEBARAN NILAI DAN UNTUK MEMBANDINGKAN SEBARAN DATA DARI DUA INFORMASI DISTRIBUSI NILAI. MISAL : MEMBANDINGKAN TINGKAT PRODUKIVITAS DARI DUA PERUSAHAAN ADA BEBERAPA UKURAN VARIASI : 1. NILAI JARAK (NJ) UNTUK DATA TUNGGAL NJ = Xn – X 1 CONTOH : CARI NILAI JARAH DARI DATA BERIKUT : 50 40 30 60 70 JAWAB : DATA HARUS DIURUT DULU MENJADI : X 1=30 X 2 = 40 X 3 = 50 X 4 = 60 X 5=70 NJ = 70 - 30 = 40
• NJ- UNTUK DATA BERKELOMPOK (J. Supranto, hal. 131) Untuk data berkelompok, NJ dapat dihitung dengan dua cara : a) NJ = Nilai tengah kelas terakhir – Nilai tengah kelas pertama b). NJ = Batas kelas terakhir – Bata bawah kelas pertama. Contoh : Hitung NJ dari berat badan 100 Mahasiswa dibawah ini. Berat Badan (Kg) 60 – 62 63 – 65 66 – 68 69 – 71 72 – 74 Banyaknya (f) 5 18 42 27 8
Penyelesaian • Cara-1 Nilai tengah kelas terakhir = (72 + 74 ) /2 = 73 Nilai tengah kelas pertama = (60 + 62)/2 = 61 Jadi NJ = 73 – 61 = 12 Kg. Cara-2 Nilai Batas kelas terakhir = 74, 5 Kg Nilai Batas bawah kelas pertama = 59, 5 kg Jadi NJ = 74, 5 – 59, 5 = 15 Kg. Catatan : Cara-1 Cenderung menghilangkan kasus-kasus ekstrim.
2. SIMPANGAN RATA-RATA (SR) ADALAH NILAI RATA-RATA DARI HARGA MUTLAK SEMUA SIMPANGAN TERHADAP RATA (MEAN) KELOMPOKNYA HARGA MUTLAH MAKSUDNYA SEMUA NILAI SIMPANGAN NEGATIF DIANGGAP POSITIF. Harga mutlak diberi simbol x sehingga ditulis : _ x = Xi - X SIMPANGAN RATA-RATA DATA TUNGGAL _ RUMUS : SR = 1/n ∑ (Xi - X ) SIMPANGAN RATA-RATA DATA BERKELOMPOK RUMUS : SR = _ ∑ f ( Xi - X ) ---------∑f ∑f(x) atau SR = ------∑f CONTOH : DATA TUNGGAL HITUNG SIMPANGAN RATA-RATA DARI DATA NILAI UAS STATISTIK YANG DIAMBIL SAMPEL SEBANYAK 7 MAHASISWA SBB. : 60 65 70 75 80 85 90
• JAWAB : Nilai (Xi) 60 65 70 75 80 85 90 ∑Xi = 525 NILAI UJIAN STATISTIKA Rata-Rata _ (X) ∑Xi = 525 -------n 7 = 75 _ ( X – X ) 15 10 15 ∑ 60
• BERDASARKAN RUMUS DI ATAS MAKA : SR = 60/7 = 8. 57 • ARTINYA : RATA-RATA NILAI UAS DARI 7 ORANG MAHASISWA SEBESAR 75 DENGAN SIMPANGAN RATA-RATA 8, 57 CONTOH : DATA BERKELOMPOK (lihat Riduwan, hal. 145) Berikut ini adalah data tentang Nilai ujian statistika dari 70 orang mahasiswa yang telah diolah ke dalam distribusi frekuensi sbb. :
DIKETAHUI DATA DISTRIBUSI SEBAGAI BERIKUT : Kelas f T. Tengah Xi 60 - 64 2 62 124 15, 64 31, 28 65 - 69 6 67 402 10, 64 63, 84 70 - 74 15 72 1080 5, 64 84, 60 75 - 79 20 77 1540 0, 64 12, 80 80 - 84 16 82 1312 4, 36 69, 76 85 - 89 7 87 609 9, 36 65, 52 90 - 94 4 92 368 14, 36 57, 43 ∑ 70 f. Xi 5435 ( Xi – X ) f (Xi – X) 385, 53
Dari tabel tersebut terlebih dahulu dihitung rata-ratanya : _ ∑ f. X 5435 X = ---- = ------- = 77, 64 ∑ f 70 385, 53 SR = ------ = 5, 5 70 JADI RATA-RATA NILAI STATISTIKA DARI 70 ORANG MAHASISWA SEBESAR 77, 64 DENGAN SIMPANGAN RATA-RATA SEBESAR 5, 5
SIMPANGAN BAKU (STANDAR DEVIASI) sumber : Riduwan, hal. 146. • SIMPANGAN BAKU ADALAH SUATU NILAI YANG MENUNJUKKAN TINGKAT (DERAJAT) VARIASI KELOMPOK DATA ATAU UKURAN STANDAR PENYIMPANGAN DARI MEANNYA • SIMBOL DARI STANDAR DEVIASI : σ = UNTUK POPULASI Sd = s = UNTUK SAMPEL
RUMUS UNTUK DATA TUNGGAL Lihat J. Supranto hal 130 _ ∑ ( Xi – X )2 s = --------- Rumus-1 U/ DATA SAMPEL n – 1
Contoh : Berikut ini adalah data tentang Nilai Statistika dari 10 orang Mahasiswa sbb. : 75 70 85 60 75 100 95 75 Hitung Deviasi Standar dari data tersebut.
PENYELESAIAN : Dengan Menggunakan Rumus - 1 TERLEBIH DAHULU DICARI RATA-RATANYA = 805/10 = 80, 5 ∑ Xi _ (Xi - X)2 75 -5. 5 30. 25 70 -10. 5 110. 25 80 -0. 5 0. 25 85 4. 5 20. 25 60 -20. 5 420. 25 75 -5. 5 30. 25 100 19. 5 380. 25 90 9. 5 90. 25 95 14. 5 210. 25 75 -5. 5 30. 25 805 ∑ 1322. 5
s = = 1322, 5 ------ = 10 – 1 1322, 5 ----9 146, 9 = 12, 12 Catatan : Lihat Hal 147 Riduwan
STANDAR DEVIASI UNTUK DATA BERKLOMPOK (DISTRIBUSI) RUMUS : s = ∑ f. (X – X)2 ------- ∑f- 1 Rumus Ridwan CONTOH : HITUNG STANDAR DEVIASI DARI DATA BERIKUT INI : Riduwan (hal 147)
Tabel kerja untuk Deviasi Standar ( s ) KELAS f TTG (Xi) 60 -64 2 62 124 -15. 64 244. 61 489. 22 65 -69 6 67 402 -10. 64 113. 21 679. 26 70 -74 15 72 1080 -5. 64 31. 81 477. 14 75 -79 20 77 1540 -0. 64 0. 41 8. 19 80 -84 16 82 1312 4. 36 19. 01 304. 15 85 -89 7 87 609 9. 36 87. 61 613. 27 90 -94 4 92 368 14. 36 206. 21 824. 84 JUML 70 5435 f X X - x¯ (X - x¯)2 f. (X - x¯)2 x¯ = 5. 435 / 70 = 77, 64 3396. 07
s = ∑ f (X – X)2 -------∑f-1 3. 396, 07 ------ = 69 Rumus RIDUWAN, hal. 147 49, 22 = 7, 02
• LATIHAN J. Supranto (hal 134). Berikut ini adalah data tentang keadaan modal dari 40 perusahaan di Kendari (dalam ribuan rupiah) Berdasarkan data ini, hitung Standar Deviasi Kelas ( Modal) f 118 -126 127 -135 136 -144 145 -153 154 -162 163 -171 172 -180 3 5 9 12 5 4 2
VARIANS ADALAH “KUADRAT DARI STANDAR DEVIASI”. SIMBOL UNTUK SAMPEL ADALAH σ2 n -1 2 S ATAU SEDANGKAN SIMBOL VARIANS UNTUK POPULASI = σ2 ATAU σ2 n
RUMUS VARIANS UNTUK DATA TUNGGAL 2 _ ∑ ( Xi – X )2 s 2 = --------- U/ DATA SAMPEL n - 1 CONTOH : JIKA PADA CONTOH TERDAHULU (DATA TUNGGAL) MENGHASILKAN STANDAR DEVIASI s = 12, 12 (data sampel), maka VARIANS ADALAH : 12, 122 = 146, 89
RUMUS VARIANS UNTUK DATA BERKELOMPOK 2 _ ∑ f( Xi – X )2 s 2 = --------- U/ DATA SAMPEL ∑f - 1 CONTOH DATA BERKELOMPOK : JIKA STANDAR DEVIASI s = 7, 016 (data sampel), maka s 2 = 7, 0162 = 49, 2243
KOEVISIEN VARIASI • KOEFISIEN VARIASI ADALAH PERBANDINGAN ANTARA STANDAR DEVIASI DENGAN HARGA MEAN YANG DINYATAKAN DENGAN PERSEN (%). • GUNANYA ADALAH UNTUK MENGAMATI VARIASI DATA ATAU SEBARAN DATA DARI MEANNYA (RATA-RATANYA) ARTINYA SEMAKIN KECIL KOEFISIEN VARIASI, MAKA DATA SEMAKIN SERAGAN (HOMOGEN). SEBALIKNYA SEMAKIN BESAR KOEFISIEN VARIASINYA, MAKA DATA SEMAKIN HETEROGEN (BERVARIASI).
RUMUS KOEFISIEN VARIASI s KV = ----- x 100% x KV = Koefisien Variasi (%) s = Standar deviasi x = Rata-rata
CONTOH : (Diambil dari data berkelopok) JADI KV DARI DATA BERKELOMPOK DIMUKA ADALAH : 7, 016 KV = ---- x 100% = 9, 04 % 77, 64 SEDANGKAN UNTUK DATA TUNGGAL ? ? ? ? (lihat hasil KV dari data tunggal terdahulu)
- Slides: 25