Ukuran Statistika Ukuran Penyebaran Julius Nursyamsi Pendahuluan Ukuran
Ukuran Statistika Ukuran Penyebaran Julius Nursyamsi
Pendahuluan Ukuran penyebaran n Suatu ukuran baik parameter atau statistik untuk mengetahui seberapa besar penyimpangan data dengan nilai rata – rata hitungnya Ukuran penyebaran mencakup data n Ungrouped data w Data yang belum dikelompokan n Grouped data w Data yang telah dikelompokan ; Tabel distribusi frekuensi
Ukuran Penyebaran Ukuran penyebaran: n n n n Range Deviasi Rata – rata Varian Deviasi standar Range inter-kuartil Deviasi kuartil Ukuran kecondongan dan keruncingan
Ukuran Penyebaran Untuk Data Tidak Dikelompokan Range – Jarak n Merupakan perbedaan antara nilai terbesar dan terkecil dalam suatu kelompok data baik data populasi atau sampel Rumusan Range = Nilai terbesar – nilai terkecil Perusahaan Harga Saham Sentul City 530 Tunas Baru 580 proteinprima 650 total 750 Mandiri 840 Range = 840 – 530 = 310
Deviasi Rata – rata Populasi Rata – rata hitung dari nilai mutlak deviasi antara nilai data pengamatan dengan rata-rata hitungnya Rumusan Deviasi rata –rata ( MD) ∑|x - x| MD = X = Nilai data pengamatan X = Rata – rata hitung N N = Jumlah data
Contoh Deviasi Rata - Rata Perusahaan Indek x-X Nilai Mutlak Sentul City 7. 5 1. 14 Tunas Baru 8. 2 1. 84 proteinprima 7. 8 1. 44 total 4. 8 -1. 56 Mandiri 3. 5 -2. 86 Total 31. 8 Rata -rata (X) 6. 36 MD = = ∑|x - X| / n = 8. 84 / 5 = 1. 768 8. 84 MD 1. 768
Varians dan Standar Deviasi Populasi Varians n Rata – rata hitung deviasi kuadrat setiap data terhadap rata – rata hitungnya Rumus varians populasi 2= (X - µ N )2 ∑ ( = µ X) / N X = Nilai data pengamatan µ = Nilai rata – rata hitung N = Jumlah total data
Contoh Kasus Varians Perusahaan X-µ Indek (X - µ)² Sentul City 7. 5 1. 14 1. 2996 Tunas Baru 8. 2 1. 84 3. 3856 proteinprima 7. 8 1. 44 2. 0736 total 4. 8 -1. 56 2. 4336 Mandiri 3. 5 -2. 86 8. 1796 Jumlah ( ∑X ) 31. 8 ∑(X - µ)² 17. 372 Rata - rata (µ) 6. 36 s² 3. 4744 (X - µ )2 2= 17. 372 = N = 3. 4744 5
Standar Deviasi Standar deviasi n Akar kuadrat dari varians dan menunjukan standar penyimpangan data terhadap nilai rata-ratanya Rumus standar deviasi = (X - µ )2 N atau = ²
Contoh Kasus Standar Deviasi Nilai varians : 2= (X - µ )2 N = 17. 372 = 3. 4744 5 Nilai standar deviasi : = 3. 4744 = 1. 864 Nilai penyimpangan sebesar 1. 864
Varians dan Standar Deviasi Sampel Varians s 2= (x - x )2 n -1 Standar deviasi S = s²
Contoh Kasus Sampel No Perusahaan Harga saham x-X (x - X)² 1 Jababeka 215 -358 128164 2 Indofarma 290 -283 80089 3 Budi Acid 310 -263 69169 4 Kimia farma 365 -208 43264 5 Sentul City 530 -43 1849 6 Tunas Baru 580 7 49 7 proteinprima 650 77 5929 8 total 750 177 31329 9 Mandiri 840 267 71289 Panin 1200 627 393129 Jumlah 5730 10 Rata - Rata (X) 573 824260 s² S 91584. 44 302. 63 Varians : ∑(x – X)² s² = n– 1 s² = 824260 / 9 s² = 91584. 44 Standar deviasi : S = s² S = 91584. 44 S = 302. 63
Ukuran Penyebaran Untuk Data dikelompokan Range – Jarak n Merupakan selisih antara batas dari kelas tertinggi dengan batas bawah dari kelas terendah Rumusan Range = Batas kelas tertinggi – nilai terkecil
Contoh Range Batas Kelas terendah Batas Kelas tertinggi Range : = 9754 – 215 = 9539
Deviasi Rata - Rata Rumus deviasi rata - rata MD = f. |x - x| n Rata – rata hitung data dikelompokan x = ( f. x ) / n
Contoh Kasus Kelas Interval Kelas f Titik tengah (x) f. x |x - X| f. |x - X| 1 16 24 10 20 200 13. 68 136. 8 2 25 33 18 29 522 4. 68 84. 24 3 34 42 14 38 532 4. 32 60. 48 4 43 51 4 47 188 13. 32 53. 28 5 52 60 2 56 112 22. 32 44. 64 6 61 69 2 65 130 31. 32 62. 64 50 255 1684 Total Rata - rata (X) 89. 64 442. 08 33. 68 MD = (∑f. |x - X|) / n = 442. 08 / 50 = 8. 8416
Varians dan Standar Deviasi data di kelompokan Varians s 2= f. (x - x )2 n -1 Standar deviasi S = s²
Contoh Kasus Kelas Interval Kelas f Titik tengah (x) f. x |x - X|² f. |x - X|² 1 16 24 10 20 200 13. 68 187. 1424 1871. 424 2 25 33 18 29 522 4. 68 21. 9024 394. 2432 3 34 42 14 38 532 4. 32 18. 6624 261. 2736 4 43 51 4 47 188 13. 32 177. 4224 709. 6896 5 52 60 2 56 112 22. 32 498. 1824 996. 3648 6 61 69 2 65 130 31. 32 980. 9424 1961. 885 255 1684 1884. 254 6194. 88 Total 50 Rata - rata (X) Varians : s²= (∑f. |x - X|²)/ n – 1 = 6194. 88 / 49 = 126. 4261 89. 64 33. 68 Standar deviasi : S = s² = 126. 4261 = 11. 2439
Ukuran Penyebaran Relatif Mengubah ukuran penyebaran menjadi persentase atau ukuran relatif Penggunaan ukuran relatif memberikan manfaat : n n Data mempunyai satuan penguikuran yang berbeda Data mempunyai satuan ukuran yang sama
Ukuran Penyebaran Relatif Koefisien range Koefisien deviasi rata-rata Koefisien deviasi standar
Koefisien Range Pengukuran penyebaran dengan menggunakan range secara relatif Rumusan : KR = ( (la – Lb) / (La + Lb) ) x 100 % La : Batas data atau kelas tertinggi Lb : Batas bawah data atau kelas terendah
Contoh Koefisien Range Kelas 1 2 3 4 5 6 Interval Kelas 16 24 25 33 34 42 43 51 52 60 61 69 La : Kelas tertinggi = 69 Lb : Kelas terendah = 16 f 10 18 14 4 2 2 KR : = (La – Lb) / (La + Lb) = (69 – 16 ) / (69 + 16) = 53 / 85 = 0. 6235 x 100 % = 62. 35 %
Koefisien Deviasi Rata - Rata Koefisien deviasi rata – rata n Ukuran penyebaran dengan menggunakan deviasi rata-rata relatif terhadap nilai ratanya atau persentase dari deviasi rata terhadap nilai rata-ratanya Rumus : KMD = [ MD / x ] x 100% MD = Deviasi rata - rata X = Nilai rata – rata data
Contoh Kasus Data dikelompokan : n n MD = 8. 8416 X = 33. 68 Koefisien deviasi rata – rata : KMD = [ 8. 8416 / 33. 68 ] x 100 % = 0. 2625 x 100 % = 26. 25 %
Koefisien Standar Deviasi Koefisien standar deviasi n Ukuran penyebaran yang menggunakan standar deviasi relatif terhadap nilai rata yang dinyatakan sebagai persentase Rumus KSD = [ s / x ] x 100 % S X = Standar deviasi = Nilai rata – rata data
Contoh Kasus Data dikelompokan n Standar deviasi = 11. 2439 Rata – Rata hitung (x) = 33. 68 Nilai koefisien stnadar deviasi KSD = [ s / x ] x 100 % = [ 11. 2439 / 33. 68 ] x 100% = 0. 3338 x 100 % = 33. 38 %
Ukuran Kecondongan - Skewness Ukuran kecondongan – kemencengan n Kurva tidak simetris Pada kurva distribusi frekuensi diketahui dari posisi modus, rata-rata dan media Pendekatan : Jika n n n Rata-rata = median = modus : Simetris Rata-rata < median < modus : Menceng ke kiri Rata-rata > median > modus : Menceng ke kanan
Koefisien Skewness Sk = [µ - Mo ] / atau = 3. [µ - Md] / Contoh kasus data dikelompokan µ = 33. 68 Mo = 18 Md = 32 = 11. 2439 Sk = [33. 68 - 18 ] / 11. 2439 Sk = 15. 68 / 11. 2439 Sk = 1. 394 µ = Nilai rata – rata hitung Mo = Nilai modus Md = Nilai median = Standar deviasi Sk = {3. [ 33. 68 – 32]} 11. 2439 Sk = 5. 04 / 11. 2439 Sk = 0. 4482
Ukuran Keruncingan - Kurtosis Keruncingan disebut juga ketinggian kurva Pada distribusi frekuensi di bagi dalam tiga bagian : n n n Leptokurtis = Sangat runcing Mesokurtis = Keruncingan sedang Platykurtis = Kurva datar
Koefisien Kurtosis Bentuk kurva keruncingan – kurtosis n n n Mesokurtik Leptokurtik Platikurtik 4 = 3 4 > 3 4 < 3 Nilai data Koefisien kurtosis (data tidak dikelompokan) 4 1/n ∑(x ) 4 = 4
Koefisien Kurtosis Koefisien kurtosis (data dikelompokan) 4 1/n ∑ f. (X ) 4 = 4 Jumlah Frekuensi Standar deviasi Nilai rata – rata hitung Nilai tengah kelas
Rata – Rata Geometrik Digunakan untuk menghitung rata-rata laju pertumbuhan – Growth rate Rumus : G = n (x 1. x 2. x 3. … xn ) G = [log x 1 + log x 2 +… log xn] n G = Antilog (log G)
Contoh Data pertumbuhan suku bunga selama 5 hari, yaitu 1. 5, 2. 3, 3. 4, 1. 2, 2. 5 % Tingkat pertumbuhan : G = [log 1. 5 + log 2. 3 +log 3. 4 + log 1. 2 + log 2. 5 ] / 5 G = [ 0. 176 + 0. 361 + 0. 531 + 0. 079 + 0. 397] / 5 G = 1. 5464 / 5 = 0. 30928 G = antilog 0. 30928 = 2. 03
Ukuran Penyebaran Lain Range Inter-Kuartil n Jarak inter-kuartil = K 3 – K 1 Jika : n n Inter-kuartil : Nilainya lebih kecil ; Bahwa data dalam sampel dan populasi lebih mengelompok ke nilai rata-rata hitung (seragam) Inter-kuartil : lebih besar ; Kurang seragam
Ukuran Penyebaran Lain Deviasi Kuartil n Setengah jarak antara kuartil ke 3 dan kuartil ke 1 Rumusan Deviasi kuartil – DK DK = [ K 3 – K 1 ] / 2 Jika n DK lebih kecil ; Rata – rata data lebih mewakili keseluruhan data
Ukuran Penyebaran Lain Jarak persentil n Selisih antara persentil ke 90 dengan persentil ke 10 Rumusan jarak persentil - JP JP = P 90 – P 10 Jika JP lebih besar n Bahwa nilai deviasi lebih besar
- Slides: 36