UKURAN PENYEBARAN DATA Ukuran penyebaran data adalah suatu

UKURAN PENYEBARAN DATA

Ukuran penyebaran data adalah suatu ukuran yang menyatakan seberapa besar nilai-nilai data berbeda atau bervariasi dengan nilai ukuran pusatnya atau seberapa besar penyimpangan nilai-nilai data dengan nilai pusatnya.

Jangkauan (range) Jangkauan adalah selisih antara nilai maksimum dan nilai minimum yang terdapat dalam data. Jangkauan dapat dihitung dengan rumus: R=X maks –X min

Contoh : Tentukan range dari data : 10, 6, 8, 2, 4 Jawab : R = Xmaks – Xmin = 10 – 2 = 8

Simpangan Rata-rata Simpangan rata-rata dari sekumpulan bilangan adalah: nilai rata-rata hitung harga mutlak simpangan-simpangannya.

a. Data tunggal SR = Contoh : Nilai ulangan matamatika dari 6 siswa adalah : 7, 5, 6, 3, 8, 7. Tentukan simpangan rata-ratanya!

Jawab: = =6 SR = = = 1, 33

Data berbobot / data kelompok SR = mi = data ke-i (data berbobot ) = tanda kelas interval ke-i (data kelompok ) f = frekuensi

Contoh : Tentukan simpangan dari data berikut : Data f x f. x 3 -5 6 -8 9 -11 12 -14 Jumlah 2 4 8 6 20 4 7 10 13 8 28 80 78 194 f 5, 7 2, 7 0, 3 3, 3 11, 4 10, 8 2, 4 19, 8 44, 4

= SR = = 2, 22 = 9, 7

Variance/Varian/Ragam Varian didefinisikan sebagai rata dari kuadrat simpangan 11

Apa Pengertian dari Rumus Varian tersebut ? Pertama, adalah mengurangkan setiap nilai dengan rata-ratanya – Selisih ini dinamakan skor deviasi (deviation score) – Deviasi ini memberikan informasi seberapa jauh nilai yang diamati dari rata-ratanya. – Jadi, deviasi ini mengukur dispersi dari nilai yang diamati. 12

Apa Pengertian dari Rumus Varian tersebut ? Kenapa kita tidak dapat menghitung rata-rata dari deviasi secara sederhana, yang dinotasikan sebagai berikut : Ini bukan merupakan rumus untuk varians 13

Apa Pengertian dari Rumus Varian tersebut ? Salah satu definisi dari rata-rata hitung adalah menjumlahkan seluruh data, sedangkan untuk rumus diatas jumlah seluruh datanya akan sama dengan nol Oleh karena itu, nilai dari rata-ratanya akan menjadi nol, karena jumlah seluruh datanya sama dengan nol Untuk menghindari permasalahan ini, para statistisi mengkuadratkan nilai deviasi tersebut untuk mencari ratanya. 14

Apa Pengertian dari Rumus Varian tersebut ? Varians adalah rata-rata hitung dari nilai deviasi yang dikuadratkan. Semakin besar nilai varian, berarti nilai-nilainya semakin jauh dari rata data. Semakin kecil nilai varian, berarti nilai-nilainya semakin dekat dengan rata-ratanya. 15

Standar Deviasi Ketika nilai deviasi dikuadratkan di dalam rumus varian, unit pengukurannya juga dikuadratkan. Contoh: Jika berat badan diukur dalam satuan Kg, maka variannya dinyatakan dalam satuan Kg 2. Selama kuadrat dari unit pengukurannya janggal, akar dari variance lebih tepat digunakan. 16 – Standar deviasi adalah akar dari varians

Standar deviasi = varian Varian = standar deviasi 2 17

Perhitungan Rumus Persamaan awal dapat di hitung dalam bentuk lain dengan operasi al jabar, adalah sebagai berikut : 2 adalah varians dari populasi, X adalah nilai dari data, adalah rata-rata populasi, dan N adalah ukuran dari 18 populasi

Contoh Perhitungan Rumus 19

Contoh Perhitungan Rumus 20

Varian dari Sampel Karena rata-rata sampel bukan merupakan penaksir yang sempurna dari rata-rata populasi, rumus varian dari sampel sedikit berbeda dengan rumus varian untuk populasi s 2 varians dari sampel, X nilai dari data, X rata-rata sampel, dan n adalah ukuran sampel 21

Simpangan Baku / standar deviasi Simpangan Baku (S) dari sekumpulan bilangan adalah akar dari jumlah deviasi kuadrat dari bilangan-bilangan tersebut dibagi dengan banyaknya bilangan atau akar dari rata-rata deviasi kuadrat.

a. Data tunggal S= S= atau

Contoh : Tentukan simpangan baku dari data : 2, 3, 5, 8, 7. Jawab : = =5

x 2 3 5 8 7 S= -3 -2 0 3 2 9 4 0 9 4 26 = =

2. Data berbobot / berkelompok S= S= atau

Contoh: Tentukan standar deviasi dari data berikut Data f x f. x x 2 f. x 2 3 -5 6 -8 9 -11 12 -14 2 4 8 6 4 7 10 13 8 28 80 78 16 49 100 169 32 196 800 1014 Jumlah 20 198 2024

S= = 2, 83

Kuartil adalah nilai yang membagi kelompok data atas empat bagian yang sama setelah bilangan-bilangan itu diurutkan. Dengan garis bilangan letak kuartil dapat Ditunjukkan sebagai berikut: Q 1 Q 2 Q 3

Menentukan nilai Kuartil a. Data tunggal / berbobot Letak kuartil : Qi = data ke – dengan i = 1, 2, 3

Contoh : Hasil pendataan usia, dari 12 anak balita (dalam tahun) diketahui sebagai berikut 4, 3, 4, 4, 2, 1, 1, 2, 1, 3, 3, 4 , tentukan : a. Kuartil bawah (Q 1) b. Kuartil tengah (Q 2) c. Kuartil atas (Q 3)

Jawab : Data diurutkan : 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4 a. Letak Q 1 = data ke – = data ke- 3

Nilai Q 1 = data ke-3 + (data ke 4 – data ke 3) =1+ (2 – 1) = 1

b. Letak Q 2 = data ke 6 Nilai Q 2 = data ke 6 + (data ke 7 – data ke 6) = 3+ (3 – 3) = 3

c. Letak Q 3 = data ke 9 Nilai Q 3 = data ke 9 + (data ke 10 - data ke 9) = 4+ (4 – 4)

Jangkauan Semi Inter Kuartil / Simpangan Kuartil (Qd) didefinisikan sebagai berikut: Qd = (Q 3 – Q 1)

b. Data Kelompok Nilai Qi = b + p dengan i = 1, 2, 3 b = tepi bawah kelas Qi p = panjang kelas F = jumlah frekuensi sebelum kelas Qi f = frekuensi kelas Qi n = jumlah data

Contoh : Tentukan simpangan kuartil dari data : Nilai f 45 -49 50 -54 55 -59 60 -64 65 -69 70 -74 Jumlah 3 6 10 12 5 4 40

Jawab : Untuk menentukan Q 1 kita perlu = x 40 data atau 10 data, jadi Q 1 terletak pada kelas interval ke-3. Dengan b = 54, 5; p = 5; F = 9; f = 10 Nilai Q 1 = 54, 5 + 5 = 55

Untuk menetukan Q 3 diperlukan = x 40 data atau 30 data, jadi Q 3 terletak pada kelas interval ke-4, dengan b = 59, 5; p = 5; F = 19 ; f = 12 Nilai Q 3 = 59, 5 + 5 = 59, 5 + 4, 58 = 64, 08

Jadi, jangkauan semi interkuartil atau simpangan kuartil dari data di atas adalah Qd = (Q 3 –Q 1) = (64, 08 – 55) = 4, 54

Persentil dari sekumpulan bilangan adalah nilai yang membagi kelompok bilangan tersebut atas 100 bagian yang sama banyaknya setelah bilangan tersebut diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar.

a. Data tunggal / berbobot Letak Pi = data ke dengan i = 1, 2, …, 99 Contoh : Diketahui data : 9, 3, 8, 4, 5, 6, 8, 7, 5, 7 Tentukan P 20 dan P 70

Jawab : Data diurutkan : 3, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9 Letak P 20 = data ke 2 Nilai P 20 = data ke 2 + (data ke 3 –data ke 2) = 4+ (5 – 4) = 4

Letak P 70 = data ke 7 Nilai P 70 = data ke 7 + (data ke 8 - data ke 7) =7+ ( 8 – 7 ) = 7, 7

b. Data kelompok Nilai Pi = b + p , dengan i = 1, 2, . . , 99 Jangkauan Persenti = P 90 – P 10

Contoh : Tentukan Jangkauan persentil dari data berikut : Nilai 50 -59 60 -69 70 -79 80 -89 90 -99 Jumlah F 7 10 15 12 6 50

Jawab : Untuk menentukan P 10 diperlukan = x 50 data = 5 data, artinya P 10 terletak pada kelas interval pertama dengan b = 49, 5 ; p = 10 ; F =0 ; f = 7 Nilai P 10 = 49, 5 + 7, 14 = 56, 64

Untuk menetukan P 90 diperlukan = x 50 dt = 45 data, artinya P 90 terletak pada kelas interval ke 5, dengan b = 89, 5; F = 44; f = 6. Nilai P 90 = 89, 5 + 1, 67 = 91, 17

Jangkauan Persentil = P 90 – P 10 = 91, 17 – 56, 64 = 34, 53

Latihan: 1. Nilai tes matematika dari 5 orang siswa adalah sebagai berikut : 7, 6, 7, 8, 7 besarnya simpangan rata-rata dari data tesebut adalah….

Jawab : = SR = x =7 7 6 7 8 = 7 Jml = 0, 4 0 1 0 2

2. Standar deviasi (simpangan baku) dari data 4, 6, 7, 6, 3, 4 adalah… Jawab : x (x- )2 = =5 4 6 7 6 3 4 Jml -1 1 2 1 -2 -1 1 1 4 1 12

3. Hasil tes penerimaan pegawai baru suatu perusahaan tercatat sebagai berikut : Nilai 30 -39 40 -49 50 -59 60 -69 70 -79 80 -89 90 -99 Frekuensi 3 8 10 20 18 14 7

Jika perusahaan akan menerima 75% dari pendaftar yang mengikuti tes tersebut, berapakah nilai minimum yang dapat diterima?

Jawab : Q 1 75% Untuk menentukan Q 1 diperlukan ¼ x 80 data = 20 data, artinya Q 1 terletak pada kelas interval ke 3, dengan b = 49, 5; p = 10; F = 11; f = 10;

Nilai Q 1 = 49, 5 + 10 = 58, 5

4. Hasil ulangan program diklat akuntansi dari 50 siswa kelas III pada salah satu SMK adalah sebagai berikut: Nilai 50 -59 60 -69 70 -79 80 -89 90 -99 F 7 10 15 12 6 Tentukan nilai P 40 dari data tersebut!

Jawab: Untuk menentukan P 40 diperlukan = x 50 dt atau 20 data, artinya P 40 terletak pada kelas interval kedua, dengan b = 69, 5 ; p = 10 ; F = 17 dan f = 15.

Nilai P 40 = 69, 5 + 10 = 72, 5

5. Hasil tes pelajaran Matematika 15 orang siswa adalah sebagai berikut : 30, 45, 50, 55, 50, 60, 65, 85, 70, 75, 55, 60, 35, 30. Jangkauan semi interkuartil (Qd) dari data di atas adalah…. .