UKURAN PEMUSATAN Ratarata Median Modus Oleh ENDANG LISTYANI

UKURAN PEMUSATAN Rata-rata, Median, Modus Oleh: ENDANG LISTYANI 1

Perhatikan pengelompokan data sampel berikut • Data tunggal : • Data dalam tabel dist frek Skor x 1 x 2. . . xk Data dalam tabel distribusi frekuensi Frekuensi f 1 f 2. . . fk Skor Frekuensi a 1 - b 1 a 2 - b 2. . . ak - b k f 1 f 2. . . fk 2

Ukuran Pemusatan adalah ukuran yang menunjukan pusat segugus data yang telah diurutkan dari yang terkecil sampai terbesar atau sebaliknya. (Rata-rata, Median, Modus) 3

Ukuran Bentuk (Measure of Shape) Kurva negatif Kurva positif 4

• Rata-rata = 67, 3, Mo = 45, 2 • Me = (Mo + 2 )/3 = (45, 2 + 134, 6)/3 = 59, 9 5

Rata-rata • Rata-rata hitung • Rata-rata harmonis sering digunakan untuk merata-ratakan kecepatan untuk beberapa jarak tempuh yang sama • Rata-rata geometrik digunakan untuk merata-ratakan data yang rasio suku-suku berurutannya kira-kira tetap. Sering terjadi pada data yang berupa laju perubahan, rasio, indeks ekonomi, ukuran-ukuran populasi untuk periode waktu yang berurutan. • Rata-rata terboboti digunakan untuk merata-ratakan k buah nilai dengan menganggap bahwa sebagian lebih penting dari lainnya. • Rata-rata gabungan 6

Rata-rata Hitung (rata-rata) • Data tunggal: x 1 , x 2. . . . , xn a. data populasi rata-rata populasi μ = b. data sampel rata-rata sampel 7

• Data dalam tabel distribusi frekuensi xi fi fixi x 1 x 2. . . xk f 1 f 2. . . fk f 1 x 1 f 2 x 2. . . f k xk Rata-rata 8

• Data dalam tabel distribusi frekuensi Skor fi xi fixi a 1 - b 1 a 2 - b 2. . . ak - b k f 1 f 2. . . fk x 1 x 2. . . xk f 1 x 1 f 2 x 2. . . f k xk Rata-rata 9

Hitunglah nilai rata-rata dari data berikut Nilai fi xi 31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 – 100 4 3 11 21 33 15 3 35, 5 45, 5 55, 5 65, 5 75, 5 = x* 85, 5 90 fixi ci -2 -1 0 1 f ic i x*= titik tengah yang dipilih p= panjang/lebar kelas 10

Jika lebar kelas sama untuk setiap kelas interval Nilai fi xi fixi ci fici 31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 – 100 4 3 11 21 33 15 3 35, 5 45, 5 55, 5 65, 5 75, 5* 85, 5 95, 5 142 136, 5 610, 5 1375, 5 2491, 5 1282, 5 286, 5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 -16 -9 -22 -21 0 15 6 90 6325 -47 11

• No 6 262, 073 12

Masalah • Rony bersepeda pp dari A ke B yang berjarak 30 km. Berangkat dengan kecepatan 30 km/jam, pulang dengan kecepatan 20 km/jam. Tentukan rata-rata kecepatan bersepeda Rony dari A ke B pp Tentu jawabnya bukan (30+20)/2 = 25 km/jam Dalam hal ini, untuk pergi diperlukan waktu 1 jam, sedangkan untuk pulang diperlukan waktu 1, 5 jam, sehingga pergi pulang perlu waktu 2. 5 jam, sehingga rata kecepatan pergi-pulang 60/2, 5 = 24 km/jam. Jika dihitung dengan rumus untuk rata-rata harmonis diperoleh: 13

Rata-rata Harmonis Data tunggal Data dalam tabel distribusi frekuensi 14

Contoh penggunaan rata-rata harmonis Seseorang menempuh perjalanan dari kota A ke kota B yang berjarak 300 km, pergi pulang. Kecepatan perjalanan dari kota A ke kota B adalah 100 km/jam, sedangkan kecepatan perjalanan dari kota B ke kota A adalah 150 km/jam. Berapakah rata-rata kecepatan pergi-pulang? Tentu jawabnya bukan (100+150)/2 = 125 km/jam Dalam hal ini, untuk pergi diperlukan waktu 3 jam, sedangkan untuk pulang diperlukan waktu 2 jam, sehingga pergi pulang perlu waktu 5 jam, sehingga rata-rata kecepatan pergi-pulang 600/5 = 120 km/jam. Jika dihitung dengan rumus untuk rata-rata harmonis diperoleh: Jadi rata-rata kecepatan yang dimaksud adalah 120 km/jam. 15

• Contoh: Jarak antara kota A dan B 60 km, dari B ke C 80 km, jalan pintas dari C ke A 100 km. Ary berangkat dari A ke B dg kec 40 km/jam, dari B ke C 30 km/jam, dan dari C ke A 50 km/jam. Hitunglah rata-rata kec dari A ke C pp • Data: = (3 x 600)/47 = 38, 297 16

Rata-rata Ukur/Geometrik Data tunggal Data terkelompok Perhatikan data berikut : 8, 17, 33, 67, 136, 275, 560 Rata-rata Ukur = = 67, 37 17

Rata-rata Ukur Suatu percobaan jenis makanan yang diberikan pada unggas tertentu memberikan kenaikan berat (dlm gram) pada minggu pertama sampai kelima berturut-turut sbb. 250, 690, 990, 1890, 3790. Tentukanlah kira-kira kenaikan berat unggas rata-rata tiap minggu = 1041, 13 18

Rata-rata Terboboti • Perhatikan kasus berikut! Penilaian mata kuliah Statistika Elementer meliputi Tugas : 10% 95 Kuis : 10% 70 Ujian Sisipan I : 25% 85 Ujian Sisipan II : 25% 80 Ujian Akhir : 30% 65 Maka nilai akhir (NA) adalah Misalkan wi bobot xi maka rata-rata terboboti adalah 19

Rata-rata Gabungan • Bila sampel acak berukuran n 1, n 2, …, nk yang diambil dari k populasi dengan masing-masing mempunyai rata-rata maka rata-rata gabungannya adalah 20

Median adalah nilai yang membagi data menjadi 2 bagian yang sama besar setelah data diurutkan dari yang kecil ke besar. 21

• Median untuk Data tunggal ( sudah diurutkan) • Bila n adalah bilangan ganjil Bila n adalah bilangan genap Rumus berikut berlaku untuk n bilangan ganjil dan genap 22

Median • Atau (setelah data diurutkan) Median = skor ke Contoh Tentukanlah median dari 1) 5, 5, 2, 3, 7, 7, 9, 10, 15, 10, 16 Data: 2, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 10, 10, 15, 16 Me = skor ke( ) =9 23

Median 2) 5, 5, 2, 3, 7, 7, 9, 10, 15, 10, 16, 3 Data: 2, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 10, 10, 15, 16 Me = skor ke ( ) = skor ke 7 + (skor ke 8 – skor ke 7) = 7 + ( 9 – 7) =8 24

Data dalam tabel distribusi frekuensi 3) Data skor fi 40 50 60 80 95 5 11 10 13 11 fkum 5 16 26 39 50 50 Me = 60 25

Median Data dalam tabel distribusi frekuensi skor 30 - 39 40 - 49 50 - 59 60 - 69 70 - 79 fi 5 11 10 13 11 50 26

Rumus Median untuk data dalam tabel distribusi frekuensi b : batas bawah kelas Median l : lebar kelas Median F : jumlah frekuensi sebelum kelas Median f : frekuensi kelas Median 27

MODUS • Data tunggal Modus adalah nilai data yang paling sering muncul. Contoh: 3, 3, 2, 7, 2, 5, 10, 7, 4, 7 Mo = 7 Data: 5, 4, 6, 8, 9, 12 Mo = 4 dan 6 Data : 5, 4, 6, 7, 10, 15 Mo = tidak ada • Data terkelompok Modus adalah nilai data yang mempunyai 28

Modus Data terkelompok Skor f 30 – 39 2 40 – 49 16 50 – 59 14 60 – 69 5 70 – 79 16 80 – 89 3 56 29

Rumus Modus untuk data dalam tabel distribusi frekuensi b : batas bawah kelas Modus l : lebar kelas Modus b 1 : frekuensi kelas Modus – frekuensi kelas tepat sebelumnya b 2 : frekuensi kelas Modus – frekuensi kelas tepat sesudahnya 30

Data dalam tabel distribusi frekuensi skor 1 – 10 11 – 20 21 – 30 31 – 40 41 – 50 fi 40 70 30 100 60 fkum 40 110 140 240 300 Kelas Me : kelas yang memuat x[n/2] = x[300/2]= x[150] 31 - 40 frekuensi 100 50 140 0, 5 10, 5 20, 5 30, 5 40, 5 50, 5 l : lebar kelas Me l = 40, 5 – 30, 5 = 10 240 31

modus • Data tunggal Modus adalah nilai data yang paling sering muncul. • Data terkelompok Modus adalah nilai data yang mempunyai frekuensi paling besar 32

Data dalam tabel distribusi frekuensi skor 1 – 10 11 – 20 21 – 30 31 – 40 41 – 50 fi 40 70 30 100 60 300 fkum 40 110 140 240 300 frekuensi 100 a d b 1 50 b 2 b c x y 0, 5 10, 5 20, 5 30, 5 40, 5 50, 5 33

Rumus Modus untuk data dalam tabel distribusi frekuensi b : batas bawah kelas Modus l : lebar kelas Modus b 1 : frekuensi kelas Modus – frekuensi kelas sebelumnya b 2 : frekuensi kelas Modus – frekuensi kelas sesudahnya 34

35