UFRPE Licenciatura em Computao Disciplina Lgica e Programao

UFRPE – Licenciatura em Computação Disciplina: Lógica e Programação Lógica Prof. : Paulemir G. Campos Lógica de Predicados (Sintaxe e Semântica) 9/26/2020 DEInfo - Prof. Paulemir Campos 1

Sumário n n n Introdução à Lógica de Predicados Sintaxe Semântica 9/26/2020 DEInfo - Prof. Paulemir Campos 2

Introdução à Lógica de Predicados n n Na unidade anterior, foi estudada a Lógica Proposicional (LP). Contudo, apesar de ser importante, a LP não provê meios para simbolizar substantivos, adjetivos, pronomes, verbos ou advérbios. 9/26/2020 DEInfo - Prof. Paulemir Campos 3

Introdução à Lógica de Predicados n n Assim, a Lógica de Predicados surgiu para cobrir algumas limitações da LP. Exemplo: n 9/26/2020 É possível explicar a diferença entre as duas sentenças ou proposições abaixo usando a LP? A “Todos são mortais. ” B “Alguém é bondoso. ” DEInfo - Prof. Paulemir Campos 4

Introdução à Lógica de Predicados n Exemplo (Continuação): n 9/26/2020 Note que as proposições A e B na LP seriam tratadas como unidades. Ou seja, não seria possível decompo-las em proposições menores ligadas por conectivos lógicos. Portanto, não se poderia explicar a diferença entre as proposições A e B na LP. DEInfo - Prof. Paulemir Campos 5

Lógica de Predicados: Sintaxe Alfabeto n O alfabeto consiste dos seguintes símbolos: n n n n 9/26/2020 Símbolos Predicativos: P 1, . . . , Pn, = Símbolos Funcionais: f 1, . . . , fm Constantes Individuais: c 1, . . . , ck Variáveis Individuais: x 1, . . . , xp Conectivos Lógicos: , , Símbolos Quantificadores: , Símbolos de Pontuação ou Auxiliares: ‘(‘, ‘)’ e ‘, ’ (parêntesis e vírgula) DEInfo - Prof. Paulemir Campos 6

Lógica de Predicados: Sintaxe Alfabeto n A denominação dos símbolos quantificadores é exibida a seguir: n n Símbolo : Quantificador Universal Símbolo : Quantificador Existencial 9/26/2020 DEInfo - Prof. Paulemir Campos 7

Lógica de Predicados: Sintaxe Expressão n n Um expressão é qualquer seqüência finita de símbolos do alfabeto da Lógica de Predicados. Exemplos: n n 1. x 1 (, ; 2. x 1(P 1(x 1)); 3. x 1( Intuitivamente, percebe-se que as expressões 1 e 3 são destituídas de sentido. 9/26/2020 DEInfo - Prof. Paulemir Campos 8

Lógica de Predicados: Sintaxe Termo n Um termo é definido como: n n 9/26/2020 1. Variáveis individuais são termos; 2. Constantes individuais são termos; 3. Se t 1, . . . , tn são termos e fn é um símbolo funcional n-ário, então fn(t 1, . . . , tn) é um termo; Cláusula Maximal: Uma dada expressão constitui um termo se e somente se foi obtida com base nas regras de 1 a 3 acima. DEInfo - Prof. Paulemir Campos 9

Lógica de Predicados: Sintaxe Termo n São exemplos de termos: n n n 9/26/2020 1. x 101; (variável individual) 2. c 1; (constante individual) 3. f 2(x 1, x 2). (símbolo funcional) DEInfo - Prof. Paulemir Campos 10

Lógica de Predicados: Sintaxe Fórmula n Uma fórmula é definida como: n n 1. Se t 1, . . . , tn são termos e Pn é um símbolo predicativo n-ário, então Pn(t 1, . . . , tn) é uma fórmula (dita atômica); 2. Se A e B são fórmulas quaisquer, então ( A), (A B), (A B) e (A B) são fórmulas; Se x é uma variável individual e A é uma fórmula, então ( x)A e ( x)A são fórmulas; Cláusula Maximal: Uma dada expressão constitui uma fórmula se e somente se foi obtida com base numa das regras de 1 a 3 acima. 9/26/2020 DEInfo - Prof. Paulemir Campos 11

Lógica de Predicados: Sintaxe Fórmula n São exemplos de fórmulas: n n n (P 1(x 1) P 2(c 1, x 2)) ( x 1)(( x 2)P 2(c 1, x 2)) 2. ( x 1)P 1(x 1) 3. ( x 2)P 2(c 1, x 2) 1. 9/26/2020 DEInfo - Prof. Paulemir Campos 12

Lógica de Predicados: Sintaxe Fórmula n Dada uma variável individual x e uma fórmula A, temos: n n Generalização: a expressão ( x)A denomina -se a generalização de A por x; Instanciação: a expressão ( x)A chama-se a instanciação de A por x. 9/26/2020 DEInfo - Prof. Paulemir Campos 13

Lógica de Predicados: Sintaxe Fórmula n Visando facilitar a leitura das fórmulas, será adotada a seguinte convenção: n n Variáveis Individuais: x, y, z, w, etc; Símbolos Predicativos: P, Q, R, etc; Símbolos Funcionais: f, g, h, etc; Constantes Individuais: a, b, c, etc. 9/26/2020 DEInfo - Prof. Paulemir Campos 14

Lógica de Predicados: Sintaxe Sub-Fórmula n Seja A uma fórmula. n n 1. Se A é uma fórmula atômica P(t 1, . . . , tn) então P(t 1, . . . , tn) é uma sub-fórmula de A; 2. Se A é do tipo ( B), então B é uma sub-fórmula de A; 3. Se A é do tipo (B C) ou (B C), então B e C são sub-fórmulas de A; 4. Se A é do tipo ( x)B ou ( x)B, então B é subfórmula de A; 9/26/2020 DEInfo - Prof. Paulemir Campos 15

Lógica de Predicados: Sintaxe Sub-Fórmula n Seja A uma fórmula. (Continuação) n n 5. Se C é sub-fórmula de B é subfórmula de A, então C é sub-fórmula de A; 6. As únicas sub-fórmulas de A são definidas pelas regras de 1 à 5 mencionadas anteriormente, além da própria fórmula A. 9/26/2020 DEInfo - Prof. Paulemir Campos 16

Lógica de Predicados: Sintaxe Sub-Fórmula n Exemplos de Sub-fórmulas: Na fórmula x y( P(x) Q(y)) temos as seguintes sub-fórmulas: 1. x y( P(x) Q(y)); 2. y( P(x) Q(y)); 3. P(x) Q(y); 4. P(x); 5. P(x); 6. Q(y). 9/26/2020 DEInfo - Prof. Paulemir Campos 17

Lógica de Predicados: Sintaxe Escopo de Quantificadores n n Se x é uma variável individual e A é uma fórmula, defini-se o escopo do quantificador x, na fórmula ( x)A, como sendo a fórmula A. Analogamente, o escopo do quantificador x, na fórmula ( x)A, é a fórmula A. 9/26/2020 DEInfo - Prof. Paulemir Campos 18

Lógica de Predicados: Sintaxe Escopo de Quantificadores n Exemplos de escopos de quantificadores: 1. x(P(x) Q(x)) P(x) Q(x) é o escopo de x na fórmula 1 acima. 2. P(x) ( y)Q(y) é o escopo de y na fórmula 2 acima. 9/26/2020 DEInfo - Prof. Paulemir Campos 19

Lógica de Predicados: Sintaxe Estrutura n É válido ressaltar que as sentenças ou proposições são constituídas normalmente de dois termos: n n O ser (de quem ou de que se diz algo – sujeito); E, aquilo que se diz (do ser – predicado). 9/26/2020 DEInfo - Prof. Paulemir Campos 20

Lógica de Predicados: Sintaxe Estrutura n Exemplos: Nas sentenças abaixo o sujeito está em itálico e o predicado em negrito: n n n A Terra é redonda. A rosa é perfumada. O homem é um mamífero. 9/26/2020 DEInfo - Prof. Paulemir Campos 21

Lógica de Predicados: Sintaxe Estrutura n Note que identificando que é o sujeito e o predicado destas sentenças, pode-se obter uma representação simbólica na Lógica de Predicados da seguinte forma: n n Atribui-se um símbolo predicativo ao predicado da sentença na linguagem natural; E, uma variável individual ao sujeito. 9/26/2020 DEInfo - Prof. Paulemir Campos 22

Lógica de Predicados: Sintaxe Estrutura n Exemplos: n A Terra é redonda. P “É redonda. ” e x “A Terra” Assim, temos simbolicamente P(x). n O homem é um mamífero. Q “É um mamífero. ” e y “O homem” Assim, temos simbolicamente Q(y). 9/26/2020 DEInfo - Prof. Paulemir Campos 23

Lógica de Predicados: Semântica n n Toda linguagem se refere a objetos ou estados de coisas. A semântica da linguagem trata precisamente das interconexões entre a linguagem e aquilo a que ela se refere. 9/26/2020 DEInfo - Prof. Paulemir Campos 24

Lógica de Predicados: Semântica n Um estrutura E para uma linguagem L consiste dos seguintes objetos: n n 9/26/2020 1. Um conjunto não-vazio D, denominado o universo de E. Os seus elementos chamamse indivíduos de E; 2. Para cada símbolo funcional n-ário f, uma operação n-ária f. E de D em D; DEInfo - Prof. Paulemir Campos 25

Lógica de Predicados: Semântica n Um estrutura E para uma linguagem L consiste dos seguintes objetos: n n 9/26/2020 3. Para cada símbolo predicativo n-ário P, uma relação n-ária PE sobre D; 4. Para cada constante individual c, um indivíduo c. E de D. DEInfo - Prof. Paulemir Campos 26

Lógica de Predicados: Semântica n n n Seja E uma estrutura para L. Para cada indivíduo a de E escolhe-se uma nova constante, denominada o nome de a. Convenciona-se que diferentes nomes são escolhidos para diferentes indivíduos. A nova linguagem acrescida dos nomes de indivíduos de E chama-se linguagem diagrama de L e denotamos por L(E). 9/26/2020 DEInfo - Prof. Paulemir Campos 27

Lógica de Predicados: Semântica n A interpretação I[A] de uma fórmula A de L(E) é dada por: Se A a=b, então I[A]=V E(a) = E(b); n Se A P(a 1, . . . , an), então I[A]=V PE(E(a 1), . . . , E(an)); n Se A ( B), então I[A]=V I[B]=F; n Se A (B C), então I[A]=V I[B]=V e I[C]=V; n 9/26/2020 DEInfo - Prof. Paulemir Campos 28

Lógica de Predicados: Semântica n A interpretação I[A] de uma fórmula A de L(E) é dada por: (Continuação) n n n 9/26/2020 Se A (B C), então I[A]=V I[B]=V ou I[C]=V; Se A (B C), então I[A]=V I[B] V e I[C] F; Se A (B C), então I[A]=V I[B]=V e I[C]=V ou I[B]=F e I[C]=F; DEInfo - Prof. Paulemir Campos 29

Lógica de Predicados: Semântica n A interpretação I[A] de uma fórmula A de L(E) é dada por: (Continuação) n n 9/26/2020 Se A ( x)B, então I[A]=V I[Bx(i)]=V para todo i (em L(E)); Se A ( x)B, então I[A]=V I[Bx(i)]=V para algum i (em L(E)). DEInfo - Prof. Paulemir Campos 30

Referências Bibliográficas n n Abe, J. M. ; Scalzitti A. ; Silva Filho, J. I. Introdução à Lógica para a Ciência da Computação. 2ª. ed. São Paulo: Arte e Ciência, 2002. Dalen, D. van Logic and Structure. 3 rd. ed. Berlin: Springer-Verlag, 1994. 9/26/2020 DEInfo - Prof. Paulemir Campos 31