UFBA Universidade Federal da Bahia ENG 309 Fenmenos

UFBA – Universidade Federal da Bahia ENG 309 – Fenômenos de Transporte III Prof. Dr. Marcelo José Pirani Departamento de Engenharia Mecânica

CAPÍTULO 5 - CONDUÇÃO TRANSIENTE Introdução Trata da transferência de calor por condução em regime não-estacionário, ou seja, dependente do tempo. Objetivo ● Desenvolver procedimentos para determinar a dependência da distribuição de temperaturas no interior de um sólido em relação ao tempo durante um processo transiente; ● Determinar a transferência de calor entre o sólido e a vizinhança.

CAPÍTULO 5 - CONDUÇÃO TRANSIENTE 5. 1. Método da Capacitância Global Admite a hipótese de que a temperatura do sólido é uniforme no espaço, em qualquer instante durante o processo transiente. Rcond pequena Rconv grande Figura 5. 1: Resfriamento de um metal quente

5. 1. Método da Capacitância Global Aplicando a equação da Energia (5. 1) (5. 2) Fazendo (5. 3) Separando as variáveis e integrando a partir das condições iniciais e onde (5. 4)

5. 1. Método da Capacitância Global Efetuando as integrações (5. 5) ou (5. 6)

5. 1. Método da Capacitância Global Interpretando tempo térmica: como uma constante de (5. 7) onde - Resistência a transferência de calor por convecção - Capacitância térmica global do sólido

5. 1. Método da Capacitância Global A distribuição de temperatura fica: Qualquer aumento em Rt ou Ct causará uma resposta mais lenta do sólido a mudanças em seu ambiente térmico. Esse comportamento é análogo ao decaimento da voltagem que ocorre quando uma capacitor é descarregado através de um resistor em um circuito elétrico RC

5. 1. Método da Capacitância Global Para determinar o total de energia transferida Q Substituindo integrando Obs. : da equação (5. 6)

5. 1. Método da Capacitância Global ou ou ainda finalmente (5. 8 a)

5. 1. Método da Capacitância Global Q está relacionada com a variação de energia interna do sólido (5. 8 b)

5. 2. Validade do Método da Capacitância Global Seja considerada a figura a seguir Para regime estacionário Rearranjando (5. 9) onde É o Número de Biot

5. 2. Validade do Método da Capacitância Global Fornece uma medida da queda de temperatura no sólido em relação a diferença de temperatura entre a superfície e o fluido Para a utilização do Método da Capacitância Global, deve-se ter: (5. 10) onde Escala de comprimento correspondente a máxima diferença espacial de temperatura

5. 2. Validade do Método da Capacitância Global Fornece uma medida da queda de temperatura no sólido em relação a diferença de temperatura entre a superfície e o fluido

5. 2. Validade do Método da Capacitância Global Por conveniência define-se: onde Volume do sólido Área superficial do sólido

5. 2. Validade do Método da Capacitância Global Retomando a equação (5. 6) Escrevendo o expoente da equação em função de Lc Multiplicando o numerador e o denominador por Lck

5. 2. Validade do Método da Capacitância Global Definindo Então e lembrando que resulta: (5. 13)

Exemplo 5. 1 Uma placa de alumínio [k=160 W/(mo. C), r =2790 kg/m 3, cp=0, 88 k. J/(kg o. C) ] com L=3 cm de espessura e uma temperatura uniforme T 0=225 o. C é repentinamente imersa em um fluido agitado, mantido a uma temperatura constante Too =25 o. C. O coeficiente de transferência de calor entre a placa e o fluido é h=320 W/(m 2 o. C). Determine o tempo necessário para que o centro da placa atinja 50 o. C.

Exemplo 5. 1 Verificação do número de Biot A capacitância global pode ser aplicada pois Bi é menor que 0, 1 Utilizando a equação (5. 6)

Exemplo 5. 1 substituindo os valores

Exercícios Exercício 5. 5 do Incropera Bolas de aço com 12 mm de diâmetro são temperadas pelo aquecimento a 1150 K seguido pelo resfriamento lento até 400 K em um ambiente com ar a T∞=325 K e h=20 W/m 2 K. Supondo que as propriedades do aço sejam k=40 W/m. K, =7800 kg/m 3 e c=600 J/kg. K. Estime o tempo necessário para o processo de resfriamento.

Exercícios Exercício 5. 7 do Incropera O coeficiente de transferência de calor para o ar escoando sobre uma esfera deve ser determinado pela observação do comportamento dinâmico da temperatura de uma esfera, que é fabricada de cobre puro. A esfera que possui 12, 7 mm de diâmetro, encontra-se a 66 o. C antes de ser inserida em uma corrente de ar que tem a temperatura de 27 o. C. Um termopar sobre a superfície externa da esfera indica 55 o. C após 69 s da inserção da esfera na corrente de ar. Admita e então justifique, que a esfera se comporta como um objeto espacialmente isotérmico e calcule o coeficiente de transferência de calor.

5. 3. Análise Geral Via Capacitância Global Seja considerada a figura a seguir

5. 3. Análise Geral Via Capacitância Global Aplicando o balanço de energia, tem-se: (5. 14) (5. 15)

5. 3. Análise Geral Via Capacitância Global Uma solução exata pode ser encontrada, admitindo-se a ausência de fluxo térmico, de geração de energia e de convecção na equação (5. 15), ou seja: (5. 16) Separando as variáveis e aplicando a integral (5. 17)

5. 3. Análise Geral Via Capacitância Global Repetindo a equação Efetuando a integral, resulta: (5. 18) Obs. :

5. 3. Análise Geral Via Capacitância Global Para a situação onde Tviz=0 (radiação para o espaço infinito) , da equação (5. 17) Resolvendo, tem-se: (5. 19)

5. 3. Análise Geral Via Capacitância Global Outra situação onde se pode encontrar uma solução exata ocorre se, na equação (5. 15), for desprezada a radiação e se h for independente do tempo. Nessa situação: (5. 15) (5. 20) Onde: , e

5. 3. Análise Geral Via Capacitância Global Eliminando a não homogeneidade pela introdução da transformação: (5. 21) Torna-se: (5. 22) Separando as variáveis e integrando de 0 até t ( até (5. 23) )

5. 3. Análise Geral Via Capacitância Global Substituindo as definições de e , (5. 24) Donde (5. 25)

5. 4. Efeitos Espaciais Quando os gradientes de temperatura no interior do meio não são desprezíveis a aplicação do Método da Capacitância Global é inadequada e outras alternativas de abordagem devem ser utilizadas. Em problemas de condução transiente de calor uma alternativa é a solução da equação do calor desenvolvida no Capítulo 2. No caso de coordenadas retangulares a equação de calor tem a forma: (2. 17)

5. 4. Efeitos Espaciais Considerando uma parede plana, sistema unidimensional, sem geração interna e k constante, a equação de calor toma a forma: (5. 26) Para resolver a equação (5. 26) é necessário especificar uma condição inicial e duas condições de contorno: (5. 27) (5. 28) (5. 29)

5. 4. Efeitos Espaciais As temperaturas na parede dependem de uma série de parâmetros físicos, como segue: Para reduzir a quantidade de parâmetros físicos e facilitar o tratamento do problema a adimensionalização das equações pode ser utilizada, como segue:

5. 4. Efeitos Espaciais Temperaturas adimensional Coordenada espacial adimensional Tempo adimensional

5. 4. Efeitos Espaciais A equação da condução de calor juntamente com as condições de contorno na forma adimensional tomam a forma (5. 34) Condições iniciais e de contorno. (5. 35) (5. 36) (5. 37)

5. 4. Efeitos Espaciais A dependência funcional fica: (5. 38) Comparando com a equação (5. 30) Para uma dada geometria a distribuição transiente de temperatura é uma função universal de e

5. 5. A Parede Plana com Convecção Figura 5. 6 a: Sistema unidimensional com temperatura inicial uniforme submetido subitamente a condições convectivas.

5. 5. A Parede Plana com Convecção 5. 5. 1. Solução exata A solução da equação (5. 34) com as condições iniciais e de contorno dadas pelas equações de (3. 35), (5. 36) e (5. 37) é dada por: (5. 39 a) Onde: (5. 39 b) (5. 39 c)

5. 5. A Parede Plana com Convecção 5. 5. 2. Solução aproximada Para Fo > 0, 2 * pode ser aproximado pelo 1º termo da série (5. 40 a) ou (5. 40 b) onde

5. 5. A Parede Plana com Convecção 5. 5. 3. Transferência total de energia fazendo: segue ou

5. 5. A Parede Plana com Convecção 5. 5. 3. Transferência total de energia Adimensionalisando com a grandeza resulta Utilizando * dado pela Eq (5. 40 b) e integrando, resulta:

5. 6. Sistemas Radiais com Convecção Para um cilindro ou uma esfera com raio ro (Figura 5. 6 b) inicialmente a uma temperatura uniforme, resultados semelhantes aos obtidos para parede plana podem ser obtidos. Figura 5. 6 b: Cilindro infinito ou esfera.

5. 6. Sistemas Radiais com Convecção 5. 6. 1. Soluções Exatas Cilindro Infinito (válido para L/ro 10) (5. 47 a) (5. 47 b) (5. 47 c) J 1 e Jo são funções de Bessel

5. 6. Sistemas Radiais com Convecção 5. 6. 1. Soluções Exatas Esfera (5. 48 a) (5. 48 b) (5. 48 c)

5. 6. Sistemas Radiais com Convecção 5. 6. 1. Soluções Aproximadas Cilindro Infinito (Válida para Fo 0, 2) (5. 49 a) (5. 49 b) (5. 49 c)

5. 6. Sistemas Radiais com Convecção 5. 6. 1. Soluções Aproximadas Esfera (Válida para Fo 0, 2) (5. 50 a) (5. 50 b) (5. 50 c)

5. 6. Sistemas Radiais com Convecção 5. 6. 1. Soluções Aproximadas Coeficientes 1 e C 1 para parede plana, cilindro e esfera

5. 6. 3. Transferência total de energia Cilindro Infinito (5. 51) Esfera (5. 52)

EXERCÍCIOS Exercício 5. 37 - Incropera Têmpera é um processo no qual o aço é reaquecido e, então, resfriado para ficar menos quebradiço. Seja o estágio de reaquecimento para uma placa de aço com 100 mm de espessura ( =7830 kg/m 3, c=550 J/kg. K, k=48 W/m. K) que está inicialmente a uma temperatura uniforme de Ti=200 o. C e deve ser aquecida a uma temperatura máxima de 550 o. C. O aquecimento é efetuado em um forno de fogo direto, onde produtos de combustão a T∞=800 o. C mantém um coeficiente de transferência de calor de h=250 W/m 2 K em ambas as superfícies da placa. Quanto tempo a placa deve ser deixada dentro do forno?

EXERCÍCIOS Exercício – Prova de 2008. 1 Considerar o processo de preparação de ovos cozidos. Um ovo comum pode ser aproximado por uma esfera com 55 mm de diâmetro e propriedades iguais as da água ( =999 kg/m 3, c=4184 J/kg. K, k=0, 598 W/m. K). Inicialmente, os ovos apresentam temperatura uniforme, igual a 6 o. C, quando são colocados em água fervente, a 100 o. C. O coeficiente de transferência de calor da água em ebulição é estimado em 1400 W/m 2 o. C e os ovos podem ser considerados cozidos depois de permanecer um minuto com temperatura mínima de 75 o. C. Contudo, o aquecimento acima de 80 o. C leva a um endurecimento indesejado do produto. a) Admitindo que seja válido, aplicar o método da capacitância global para determinar o tempo mínimo de cozimento dos ovos e se os mesmos terão endurecido demais até o final do processo; b) Levando em conta os efeitos espaciais, determinar o tempo mínimo de cozimento; c) Admitindo que o resultado do item anterior seja 20 minutos (pode não ser), determinar qual a espessura da camada que fica endurecida demais no processo; d) Discutir, tendo como base as resistências de condução e de convecção da superfície, qual a validade das soluções obtidas nos itens anteriores.

5. 7. Sólido Semi-Infinito Idealização de um sólido finito de grande espessura Figura 5. 7: Sólido Semi-Infinito, três condições de superfície.

5. 7. Sólido Semi-Infinito Governado pela Equação (5. 26) (5. 27) (5. 53)

5. 7. Sólido Semi-Infinito Figura 5. 7: Distribuições de temperatura em um sólido semi-infinito para as três condições na superfície

5. 7. Sólido Semi-Infinito Caso 1: Temperatura na superfície constante (5. 57) (5. 58) Função erro de Gauss tabelada no apêndice B

5. 7. Sólido Semi-Infinito Caso 2: Fluxo Térmico na superfície constante (5. 59) Caso 3: Convecção na superfície (5. 60) Função erro complementar de Gauss